人教版高中数学习题 必修二第二章 点直线平面之间关系 单元测试

人教版高中数学习题 必修二第二章 点直线平面之间关系 单元测试 高一数学必修二第二单元:点、直线、平面之间的位置关系 单元过关试卷 命制学校:沙市五中 命制老师:雷燕 一、选择题(本大题共10小题～每小题5分～共50分(在每小题给出的四个选项中～只有一项是符合题目要求的) 1(设直线m与平面α相交但不垂直～则下列说法中正确的是( )( A(在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B(过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C(与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D(与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 2((2012?聊城二中高一检测)如图～α?β,l～A?α～B?α～AB?l,D～C?β～C?l～则平面ABC与平面β的交线是( )( A(直线AC B(直线AB C(直线CD D(直线BC 3(对两条不相交的空间直线a与b～必存在平面α～使得( )( A(a?α～b?α B(a?α～b?α C(a?α～b?α D(a?α～b?α 4(已知平面α?平面β～α?β,l～点A?α～A?l～直线AB?l～直线AC?l～直线m?α～m?β～则下列四种位置关系中～不一定成立的是( )( A(AB?m B(AC?m C(AB?β D(AC?β 5(设直线l?平面α～过平面α外一点A与l～α都成30?角的直线有且只有( )( A(1条 B(2条 C(3条 D(4条 6(如图～?ABC中～?ACB,90?～直线l过点A且垂直于平面ABC～动点P?l～当点 P逐渐远离点A时～?PCB的大小( )( A(变大 B(变小 C(不变 D(有时变大有时变小 7((2012?泰安高一检测)设m、n 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不同直线～α、β表示不同平面～则下列结论中正确 的是( )( A(若m?α～m?n～则n?α B(若m?α～n?β～m?β～n?α～则α?β C(若α?β～m?α～m?n～则n?β D(若α?β～m?α～n?m～n?β～则n?β 8(已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等～A在底面ABC内的射影为?ABC的1111中心～则AB与底面ABC所成角的正弦值为( )( 1 1232A. B. C. D. 3333 9(在四面体A-BCD中～已知棱AC的长为2～其余各棱长都为1～则二面角A-CD-B的平面 角的余弦值为( )( 1132A. B. C. D. 2333 10(如图所示～在正方体ABCD-ABCD中～E～F分别为棱AA～CC的中点～则在空间中111111 与直线AD～EF～CD都相交的直线( )( 11 A(不存在 B(有且只有两条 C(有且只有三条 D(有无数条 二、填空题(本大题共4小题～每小题4分～共16分～把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在题中横线上) 11((2012?成都高一检测)`已知平面α～β和直线m～给出条件:?m?α,?m?α,?m?α,?α?β.当满足条件________时～有m?β.(填所选条件的序号) 12(如图～四棱锥S-ABCD中～底面ABCD为平行四边形～E是SA上一点～当点 E满足条件:________时～SC?平面EBD. 13(已知矩形ABCD～AB,3～BC,a～若PA?平面AC～在BC边上取点E～使PE?DE～则满足条件的E点有两个时～a的取值范围是________( 14(如图～圆锥SO中～AB、CD为底面圆的两条直径～AB?CD,O～且AB? CD～SO,OB,2～P为SB的中点(则异面直线SA与PD所成角的正切值为________( 15(如图，正方体ABCD,ABCD的棱长为1，点M?AB，N?BC，且AM,BN?2，有111111 以下四个结论: ?AA?MN;?AC?MN;?MN?平面ABCD;?MN与AC是异面直线(其中正111111111 确命题的序号是________((注:把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共5小题～共54分(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16((12分)如图～四棱锥P-ABCD中～底面ABCD是正方形～侧棱PD?底面ABCD～PD,DC～E是PC的中点～作EF?PB交PB于点F. (1)证明:PA?平面EDB, (2)证明:PB?平面DEF. 17((12分)某几何体的三视图如图所示～P是正方形ABCD对角线的交点～G是PB的中点( (1)根据三视图～画出该几何体的直观图, (2)在直观图中～?证明:PD?平面AGC, ?证明:平面PBD?平面AGC. 18((12分)(2012?宁波高一检测)如图所示～正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直～G是AF的中点( (1)求证:ED?AC, (2)若直线BE与平面ABCD成45?角～求异面直线GE与AC所成角的余弦值( 19((12分)如图～在直三棱柱ABC-ABC中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)～ 111 ?ACB,90?～AA,BC,2AC,2. 1 (1)若D为AA中点～求证:平面BCD?平面BCD, 1111 (2)在AA上是否存在一点D～使得二面角BCD-C的大小为60?. 11-1 20((13分)(2012?济南高一期中测试)如右图～在Rt?AOB中～?OAB,30?～斜边AB,4～Rt?AOC可以通过Rt?AOB以直线AO为轴旋转得到～且二面角BAOC是直二面角(动点D在斜边AB上( (1)求证:平面COD?平面AOB, (2)当D为AB的中点时～求异面直线AO与CD所成角的正切值, (3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值( 21((2013?江苏卷)如图，在三棱锥S,ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS,AB.过A作AF?SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点( 求证:(1)平面EFG?平面ABC; (2)BC?SA. (备选题) 22(如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平 1面垂直，且DE?BC，DC?BC，DE,BC. 2 (1)证明:EO?平面ACD; (2)证明:平面ACD?平面BCDE. 解析: (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题～每小题5分～共50分(在每小题给出的四个选项中～只 有一项是符合题目要求的) 1(设直线m与平面α相交但不垂直～则下列说法中正确的是( )( A(在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B(过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C(与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D(与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 解析 画图或在正方体模型中观察可得( 答案 B 2((2012?聊城二中高一检测)如图～α?β,l～A?α～B?α～AB?l,D～C?β～C?l～则 平面ABC与平面β的交线是( )( A(直线AC B(直线AB C(直线CD D(直线BC 解析 D?l～l?β～?D?β.又C?β～ ?CD?β.同理CD?平面ABC～?平面ABC?平面β,CD. 答案 C 3(对两条不相交的空间直线a与b～必存在平面α～使得( )( A(a?α～b?α B(a?α～b?α C(a?α～b?α D(a?α～b?α 解析 因为已知两条不相交的空间直线a和b～所以可以在直线a上任取一点A～则A?b.过A作直线c?b～则过a～c必存在平面α且使得a?α～b?α. 答案 B 4(已知平面α?平面β～α?β,l～点A?α～A?l～直线AB?l～直线AC?l～直线m?α～m?β～则下列四种位置关系中～不一定成立的是( )( A(AB?m B(AC?m C(AB?β D(AC?β 解析 容易判断A、B、C三个答案都是正确的～对于D～虽然AC?l～但AC不一定在平面α内～故它可以与平面β相交、平行～但不一定垂直( 答案 D 5(设直线l?平面α～过平面α外一点A与l～α都成30?角的直线有且只有( )( A(1条 B(2条 C(3条 D(4条 解析 如图～和α成30?角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线～当 ?ABC,?ACB,30?～直线AC～AB都满足条件～故选B. 答案 B 6(如图～?ABC中～?ACB,90?～直线l过点A且垂直于平面ABC～动点P?l～当点P逐渐远离点A时～?PCB的大小( )( A(变大 B(变小 C(不变 D(有时变大有时变小 解析 由于直线l垂直于平面ABC～?l?BC～又?ACB,90?～?AC?BC～?BC?平面APC～?BC?PC～即?PCB为直角～与点P的位置无关～选C. 答案 C 7((2012?泰安高一检测)设m、n表示不同直线～α、β表示不同平面～则下列结论中正确的是( )( A(若m?α～m?n～则n?α B(若m?α～n?β～m?β～n?α～则α?β C(若α?β～m?α～m?n～则n?β D(若α?β～m?α～n?m～n?β～则n?β 解析 A选项不正确～n还有可能在平面α内～B选项不正确～平面α还有可能与平面β相交～ C选项不正确～n也有可能在平面β内～选项D正确( 答案 D 8(已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等～A在底面ABC内的射影为?ABC的1111中心～则AB与底面ABC所成角的正弦值为( )( 1 1232A. B. C. D. 3333 解析 由题意知三棱锥AABC为正四面体～设棱长为a～则AB,3a～ 1-1 6222232,,棱柱的高AO, a,AO,a,,a(即点B到底面ABC的距离)～故AB与1×a11,,332 AO21底面ABC所成角的正弦值为,. AB31 答案 C 9(在四面体A-BCD中～已知棱AC的长为2～其余各棱长都为1～则二面角A-CD-B的平面 角的余弦值为( )( 1132A. B. C. D. 2333 解析 取AC的中点E～CD的中点F～连接EF～BF～BE～ ?AC,2～其余各棱长都为1～ EF?CD. ?AD?CD.? 又?BF?CD～??BFE是二面角A-CD-B的平面角( 123?EF,～BE,～BF,～ 222 222?EF，BE,BF. EF3??BEF,90?～?cos?BFE,,. BF3 答案 C 10(如图所示～在正方体ABCD-ABCD中～E～F分别为棱AA～CC的中点～则在空间中111111与直线AD～EF～CD都相交的直线( )( 11 A(不存在 B(有且只有两条 C(有且只有三条 D(有无数条 解析 在EF上任意取一点M～直线AD与M确定一个平面～这个平面与CD有且仅有1个11 交点N～当M取不同的位置就确定不同的平面～从而与CD有不同的交点N～而直线MN与这3条异面直线都有交点～如下图～故选D. 答案 D 二、填空题(本大题共4小题～每小题4分～共16分～把答案填在题中横线上) 11((2012?成都高一检测)`已知平面α～β和直线m～给出条件:?m?α,?m?α,?m?α,?α?β.当满足条件________时～有m?β.(填所选条件的序号) 解析 若m?α～α?β～则m?β.故填??. 答案 ?? 12(如图～四棱锥S-ABCD中～底面ABCD为平行四边形～E是SA上一点～当点 E满足条件:________时～SC?平面EBD. 解析 E为SA中点～连接AC交BD于O～连接OE～ 则OE?SC～?SC?平面EBD. 答案 E为SA中点 13(已知矩形ABCD～AB,3～BC,a～若PA?平面AC～在BC边上取点E～使PE?DE～则满足条件的E点有两个时～a的取值范围是________( 解析 如图所示～连接AE～ 要使PE?DE～ 由于DE?PA～则需DE?AE. ?在矩形ABCD中～?AED,90?～ 满足条件的E点有两个～ ?以AD为直径的圆与BC相割( ?圆心到直线BC的距离d,R～ AD即3,～得a,6. 2 答案 a,6 14(如图～圆锥SO中～AB、CD为底面圆的两条直径～AB?CD,O～且AB? CD～SO,OB,2～P为SB的中点(则异面直线SA与PD所成角的正切值为________( 解析 连接PO～则PO?SA～ ??OPD即为异面直线SA与PD所成角的平面角( 且?OPD为直角三角形～ ?POD为直角～ OD2?tan?OPD,,,2. OP2 答案 2 15.解析: 过N作NP?BB于点P～连接MP～可证AA?平面MNP～得AA?MN～?正确,111过M～N分别作MR?AB～NS?BC于点R～S～则当M不是AB的中点～N不是BC的中111111点时～直线AC与直线RS相交,当M～N分别是AB～BC的中点时～AC?RS～所以AC11111111与MN可以异面～也可以平行～故??错误,由?正确知～AA?平面MNP～而AA?平面11ABCD～所以平面MNP?平面ABCD～故?正确( 11111111 答案: ?? 三、解答题(本大题共5小题～共54分(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15((10分)如图～四棱锥P-ABCD中～底面ABCD是正方形～侧棱PD?底面ABCD～PD,DC～E是PC的中点～作EF?PB交PB于点F. (1)证明:PA?平面EDB, (2)证明:PB?平面DEF. 证明 (1)如图～连接AC交BD于O.连接EO. ?底面ABCD是正方形～ ?点O是AC的中点～ 在?PAC中～EO是中位线～ ?PA?EO. 而EO?平面EDB且PA?平面EDB. 所以PA?平面EDB. (2)?PD?底面ABCD且DC?底面ABCD～ ?PD?DC～ ?PD,DC～可知?PDC是等腰直角三角形～而DE是斜边PC的中线～ ?DE?PC～? 同理:由PD?底面ABCD～得PD?BC. ?底面ABCD是正方形～有DC?BC～ ?BC?平面PDC. 而DE?平面PDC～?BC?DE.? 由?和?推得DE?平面PBC. 而PB?平面PBC～?DE?PB～ 又EF?PB且DE?EF,F～所以PB?平面EFD. 16((10分)某几何体的三视图如图所示～P是正方形ABCD对角线的交点～G是PB的中点( (1)根据三视图～画出该几何体的直观图, (2)在直观图中～?证明:PD?平面AGC, ?证明:平面PBD?平面AGC. (1)解 (1)该几何体的直观图如图所示( (2)证明 如图所示～?连接AC、BD交于点O～连接OG～因为G为PB的中点～O为BD的 中点～所以OG?PD. 又OG?平面AGC～PD?平面AGC～ 所以PD?平面AGC. ?连接PO～由三视图可知PO?平面ABCD～ 所以AO?PO. 又AO?BO～所以AO?平面PBD. 因为AO?平面AGC～所以平面PBD?平面AGC. 17((10分)(2012?宁波高一检测)如图所示～正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直～G 是AF的中点( (1)求证:ED?AC, (2)若直线BE与平面ABCD成45?角～求异面直线GE与AC所成角的余弦值( (1)证明 在矩形ADEF中～ED?AD～ ?平面ADEF?平面ABCD～且平面ADEF?平面ABCD,AD～ ?ED?平面ABCD～?ED?AC. (2)解 由(1)知:ED?平面ABCD～ ??EBD是直线BE与平面ABCD所成的角～即?EBD,45?～ 设AB,a～则DE,BD,2a～ 取DE中点M～连接AM～ ?G是AF的中点～ ?AM?GE～ ??MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角( 连接BD交AC于点O～连接MO. 62,2,2?AM,CM, a，,a～ a,,22 O是AC的中点～ ?MO?AC～ 2aAO23?cos?MAC,,,～ AM36a2 3?异面直线GE与AC所成角的余弦值为. 318((12分)如图～在直三棱柱ABC-ABC中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)～ 111?ACB,90?～AA,BC,2AC,2. 1 (1)若D为AA中点～求证:平面BCD?平面BCD, 1111 (2)在AA上是否存在一点D～使得二面角BCD-C的大小为60?. 11-1 (1)证明 ??ACB,?ACB,90?～ 111 ?BC?AC 1111 又由直三棱柱性质知BC?CC～ 111 ?BC?平面ACCA. 1111 ?BC?CD～ 11 由AA,BC,2AC,2～D为AA中点～ 11 可知DC,DC,2～ 1 222?DC，DC,CC,4～即CD?DC～ 111又BC?CD～ 11 ?CD?平面BCD～ 11 又CD?平面BCD～故平面BCD?平面BCD. 1111 2(2)解 当AD,AA时二面角BCDC的大小为60?. 1112 假设在AA上存在一点D满足题意～ 1 由(1)可知BC?平面ACCA～ 1111 如图～在平面ACCA内过C作CE?CD～ 1111交CD或延长线或于E～连EB～则EB?CD～ 11所以?BEC为二面角B,CD,C的平面角～ 1111??BEC,60?～ 11 23由BC,2知～CE,～ 1113 2设AD,x～则DC,x，1～ 1232??DCC的面积为1～?x，1?,1～ 123 2解得x,2～即AD,2,AA～ 12 ?在AA上存在一点D满足题意( 1 19((12分)(2012?济南高一期中测试)如右图～在Rt?AOB中～?OAB,30?～斜边AB,4～ Rt?AOC可以通过Rt?AOB以直线AO为轴旋转得到～且二面角BAOC是直二面角(动点D 在斜边AB上( (1)求证:平面COD?平面AOB, (2)当D为AB的中点时～求异面直线AO与CD所成角的正切值, (3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值( (1)证明 由题意～CO?AO～BO?AO～ ??BOC是二面角B-AO-C的平面角～ 又?二面角BAOC是直二面角( ?CO?BO. 又?AO?BO,O～ ?CO?平面AOB. 又CO?平面COD～ ?平面COD?平面AOB. (2)解 作DE?OB～垂足为E～连接CE(如右图)～则DE?AO. ??CDE是异面直线AO与CD所成的角( 在Rt?OCB中～CO,BO,2～ 1OE,BO,1～ 2 22?CE,CO，OE,5. 1又DE,AO,3～ 2 CE515?在Rt?CDE中～tan?CDE,,,. DE33 15即异面直线AO与CD所成的角的正切值是. 3 (3)解 由(1)知～CO?平面AOB～ ??CDO是CD与平面AOB所成的角～ OC2且tan?CDO,,. ODOD ?当OD最小时～?CDO最大～ 这时～OD?AB～垂足为D～ OA?OB23OD,,3～tan?CDO,～ AB3 23即CD与平面AOB所成角的正切值的最大值是. 3 21.证明: (1)因为AS,AB～AF?SB～垂足为F～所以F是SB的中点( 又因为E是SA的中点～ 所以EF?AB. 因为EF?平面ABC～AB?平面ABC～所以EF?平面ABC. 同理EG?平面ABC.又EF?EG,E～ 所以平面EFG?平面ABC. (2)因为平面SAB?平面SBC～且交线为SB～又AF?平面SAB～AF?SB～所以AF?平面 SBC. 因为BC?平面SBC～所以AF?BC. 又因为AB?BC～AF?AB,A～AF?平面SAB～AB?平面SAB～所以BC?平面SAB. 因为SA?平面SAB～所以BC?SA. (备选题) 22(如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平 1面垂直，且DE?BC，DC?BC，DE,BC. 2 (1)证明:EO?平面ACD; (2)证明:平面ACD?平面BCDE. 22.证明: (1)如图～取BC的中点M～连结OM、ME. 在?ABC中～O为AB的中点～M为BC的中点～?OM?AC～ 1在直角梯形BCDE中～DE?BC～且DE,BC,CM～ 2?四边形MCDE为平行四边形～?EM?DC～ ?面EMO?面ACD～ 又?EO?面EMO～ ?EO?面ACD. (2)?C在以AB为直径的圆上～?AC?BC～ 又?面BCDE?面ABC～面BCDE?面ABC,BC～ ?AC?面BCDE～ 又?AC?面ACD～ ?面ACD?面BCDE.