1、集合的概念:某些研究对象的全体叫集合,用大写字母表示;集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母表示;
2、集合的表示方法有:(1)列举法(把集合的所有元素一一列举并写在大括号内);
(2)描述法(把集合中元素的公共属性描述出来写在大括号内);
3、集合中元素的特征有无序性、互异性、确定性;
4、元素与集合的关系有:属于(
)和不属于(
);
5、集合分类:
(1)把不含任何元素的集合叫做空集(
); (2)含有有限个元素的集合叫做有限集;
(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集;
6、常用数集及其记法:
(1)自然数集
:记作
; (2)正整数集
:记作
;
(3)整数集
:记作
;(4)有理数(包括整数和分数)集:记作
;
(5)实数(包括有理数和无理数)集:记作
;
7、集合与集合的关系有:子集(包含于,
)、真子集(真包含于,
)、相等(=);
8、子集的概念:如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作
;
9、真子集的概念:若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作
;(真子集是除本身以外的子集)
10、子集、真子集的性质:
(1)传递性:若
,
,则
;
(2)空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集;
(3)任何一个集合是它本身的子集;(在写子集时首先注意两个特殊的子集----空集和它本身)
11、集合相等:
(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同,则称集合A等于集合B,记作
;
(2)
(即互为子集)。
12、n
个元素的集合其子集个数共有
个;真子集有
个(比子集少了它本身);
非空子集有
个;非空的真子集有
个;
13、集合的运算:
(1)交集(公共元素) :A∩B={x|x∈A且x∈B};
(2)并集(所有元素) :A∪B={x|x∈A或x∈B};
(3)补集(剩余元素) :
={x|
且x∈U},U为全集。
14、集合运算中常用的结论:
①
; ②
;
③
;
; ④
。
注意:集合问题的处理要养成画数轴的好习惯,在用区间表示结果时要注意小括号和中括号的合理使用.
15、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系
,使对于集合A中的任意一个数
,在集合B中都有唯一确定的数
和它对应,那么就称
:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作:
。其中:
叫做自变量,
的取值范围A叫做函数的定义域;与
的值相对应的
值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
注意;我们现在用符号
来表示函数,其中
表示与
对应的函数值,而不是
乘
。
16、求函数定义域的方法:(1)分式
中分母
;(2)二次根式
中被开方式
;(3)对数式
中底数
,真数
;(4)有几个特殊运算时取其公共部分(交集);(5)函数的任何问题的处理都要注意定义域优先原则。
17、求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法(针对格式化定义的函数)----设、代、解、代;
(2)换元法(针对复合型函数);(3)配方法(针对二次型函数)。
18、区间的概念: (设
是两个实数且
) (1)闭区间:
;(2)开区间:
;(3)半开半闭区间:
;
;(4)实数集
可以用区间
表示。
19、同一函数:如果两个函数的定义域值域和对应关系完全相同,即称这两个函数相等(或者说是同一函数)。
20、函数的三种表示法是:解析法;图象法;列表法。
21、分段函数:按自变量
取值的不同情况将函数的对应关系(或者是解析式)用不同的式子分段表示的函数,处理的方法是分段处理;复合函数的处理方法是从里向外层层剥离。
22、函数的单调性:(1)增函数定义:若
,有
;增函数图象上升(同增)。
(2)减函数定义:若
,有
;减函数图象下降(异减)。
(3)用定义法证明(或判断)函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
取值: 任取两个x1,x2∈D,且x1
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