平移、旋转、对称变换在几何难题中的应用.doc
平移、旋转、对称变换在几何难题中的应用 1 平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。 (((((((((((((((((
一般有2种方法:
1.平移已知条件
2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。
例1
在三角形ABC中，BD=CE,求证:AB+AC大于AD+AE。这是典型的平移条件问题。
解:我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。这里用了BD=EC的条件 。
设AB与FD交于P
这样，容易构造两个全等的三角形 AEC,FBD
由于
PA+PD大于 AD
PF+PB大于 BF
两式相加 PA+PB+PD+PF大于AD+BF
又因为BF= AE，AC= FD
所以AB+AC大于AD+AE
例2
线段AB与线段CD交于O, AB=CD=1且角BOD=60,求证:AC+BD?1
解:如果证明不等的话，毫无疑问，题目要扯到三角形的性质上面来。三角形的两边之和大于第三边，我们用的就是这个。 下面考虑怎么进行平移。平移的关键就是要把分散的条件集中。所以我们把AC平移到如图的BE位置，可以构造一个平行四边形(黄色部分)。 所以，AC=BE ,这一步就是把AC移向一个新的位置， 这样，在三角形DBE中，DB+BE大于DE.由于平行，可以导出DCE=60,又知道CE= AB = CD =1。所以?CDE是等边三角形， DE=1。 这样，利用DB+BE大于DE,可证明AC+BD,1，当AC平行于DB的时候，可以取等号。
2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起.
在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是经常用到的思维途径.
例1
如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,?A=90,M,N为斜边BC上两点且?MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2
解:要证BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。考虑到?ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将?ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到?ACD ，则?NCD为直角三角形
只需证明MN=ND即可
因为?MAN=45,所以?BAM+?NAC=45 ，即?NAD=45
又因为AM=AD
所以?AND??AMN
所以MN=ND，在直角?NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2
例2
O是等边三角形ABC内一点，已知?AOB=115, ?BOC=125, 求由线段OA, OB, OC构成的三角形的内角。
某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。 3.对称变换 通过作关于
当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换:1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。
例1
?ABC中,?BAC=90, ?ACD为等边三角形，已知?DBC=2?DBA，求?DBA。
解:由对称可知，?BAE全等于?BAD ，DE?AB,
所以BE=BD,AE=AD, ?ABE=?ABD
因为?DBC=2?DBA 所以?DBC=?DBE
在BC上取点F，使BF=BE
又因为?BAC=90 ，DE?AB
所以DE?BC ，?ADE=?DAC=60
所以ADE是等边三角形
DE=AD=DC
因为EF关于BD对称
所以DF=DE=DC ,BF=BE=BD,
设?DBA=a 则?DBF=2a
因为BF=BD，所以?BFD=(180-2a)/2=90-a
由于DF=DC ，所以?DCF=90-a
?ACB=180-60-(90-a)=30+a
因为?ABC+?ACB=90，即 a+2a+30+a=90 ，a=15 所以?DBA=a=15
例2
已知D是?ABC中BC边的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE?DF，证明BE+CF,EF。
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