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11[1].6高斯公式 - 高数课件nullnull静能生慧null还能想起三重积分怎样求么？§11.4与§11.5 内容回顾§11.4与§11.5 内容回顾1. 定义:null设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用对称性、形心公式(线性函数的积分)2. 计算:第一类曲面积分的计算null 若则有若则有(前正后负)(右正左负)第二类曲面积分的计算(上正下负) 若则有3.性质:3.性质:4.联系:其中对坐标的(3条):线性运算性质; 可加性; 有向性.是有向曲面指定侧的法向量的方向余弦.对面积的(8条)思考与练习思考与练习1. P228 题2提...

nullnull静能生慧null还能想起三重积分怎样求么？§11.4与§11.5 内容回顾§11.4与§11.5 内容回顾1. 定义:null设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用对称性、形心公式(线性函数的积分)2. 计算:第一类曲面积分的计算null 若则有若则有(前正后负)(右正左负)第二类曲面积分的计算(上正下负) 若则有3.性质:3.性质:4.联系:其中对坐标的(3条):线性运算性质; 可加性; 有向性.是有向曲面指定侧的法向量的方向余弦.对面积的(8条)思考与练习思考与练习1. P228 题2提示: 设则 取上侧时, 取下侧时,2. P246 题 1．P229 题3(3). P229 题3(3). 提示:求出  的法向量方向余弦,转化成第一类曲面积分来求。null一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(略) 三、通量与散度(简介)11.6 高斯公式通量与散度第十一章一、高斯公式一、高斯公式定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲面所的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在 上有连续围成,  的方向取外侧, 则有 (高斯公式) 证明 :证明:：XY–型区域下面先证设左=null：XY–型区域则为侧面. 右=null所以若  不是 XY–型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY–型故上在辅助面正反两侧面积分正负抵消,区域,类似可证三式相加, 即得所证高斯公式.式仍成立 .null高斯公式两类曲面积分的关系null表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上高斯公式的实质:使用高斯公式时应注意:1.的搭配及对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件；3.Σ是取闭曲面的外侧.的曲面积分之间的关系,常用于计算曲面积分(如上次例１的方法2)(内侧时需相应变化)(反用).例1. 用高斯公式计算例1. 用高斯公式计算其中 为柱面空间闭域  的整个边界曲面的外侧. 及平面 z = 0 , z = 3 所围解: 这里利用高斯公式, 得原式 =null(先二后一)思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? (均比教材上快捷,注意体会!)(结果不变呢！)之二之一（利用形心坐标）例1*. 用高斯公式计算例1*. 用高斯公式计算其中* 为柱面间曲面的外侧. 介于平面 z = 0 , z = 3 之利用高斯公式, 得作Σ1 ,Σ2如图，解: = *+ 1+ 2原式所以例2. 利用高斯公式计算积分例2. 利用高斯公式计算积分其中  为锥面解: 作辅助面取上侧介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为,则所以null利用高斯公式, 得zDz注意：x、y的积分为零; 先二后一比教材上简单.例3.例3.设 为曲面取上侧,解: 作辅助面(下侧 ) 求利用高斯公式, 得null用极坐标例4.计算例4.计算解: 作辅助面(上侧 )其中为旋转介于平面(P228例3)2抛物面z= 0及 z = 2 之间部分的下侧.例5. 设函数在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式例5. 设函数其中  是整个  边界面的外侧. null分析:高斯公式证:令null移项便得证。由高斯公式定义:定义:设有向量场其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,  是场内的一片有向则称曲面, 有向曲面  的通量(流量) .三、通量与散度(简介)*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件(略)。null在场中点 M(x, y, z) 处 null引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度理意义可知, 为场中任一有向曲面, 单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系, 还可表示为场为null若 为某闭曲面的外侧, 当 > 0 时,说明流入 的流体质量当 < 0 时,说明流入 的流体质量则单位时间通过 的流量为当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 . 少于流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;多于流出的,null根据高斯公式, 流量也可表为(※)M 且方向向外的任一闭曲面 , 记设 是包含点为了揭示场内任意点M 处的特性, 在(※)式两边同除以并令 以任意方式则有所围域为, 的体积 V,缩小至点 Mnull此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. 中值定理null表明该点处有正源, 表明该点处有负源, 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:null应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 可推出闭曲面积分为零的充要条件: 与曲面无关的充要条件（只与边界线有关）即(略)。null2. 通量与散度设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶连续偏导数, 为则向量场通过有向曲面  的通量(流量) G 内任意点处的散度为作业P236 习题11-6 作业P236 习题11-6 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3例7. 设  是曲面例7. 设  是曲面取足够小的正数, 作曲面取下侧使其包在  内, 为xoy平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧, 计算则解:…null第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得例6.例6.证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证例6*.例6*.证明: 设(常向量)则单位切向量, 试证T 为L的

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