数学竞赛趣味题目

广东博文学校奥数 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 中心 六年级 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 第一章 五猴分桃1 有5只猴子分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家先去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃了一个桃子，剩下的桃子正好分成相等5的份，它把自己的一份收藏起来就睡觉去了。又有一只猴子偷偷起来，也吃了一个桃子，所剩的桃子也刚好分成相等的5份，它把自己的一份收藏起来后也睡觉去了。另外三只猴子先后都照此办理。问这堆桃子开始共有多少个？ 这个有趣的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 流传很广，有人还把它编成小故事登在报刊上，李政道博士在1979年春专程访问中国科技大学少年班时，曾把这个趣题拿给少年大学生去解。 根据题意，设桃子总数为N，夜间每只猴子藏起的桃子数分别是A、B、C、D、E，可列出方程组： N＝5A＋1 4A＝5B＋1 4B＝5C＋1 4C＝5D＋1 4D＝5E＋1 经逐个代入，可得 256N＝3125E＋2101 要求这个不定方程的非负整数解，过程比较繁。特别是猴子数目比较大时，计算起来更费事。 著名数理逻辑学家怀德海有一个异乎寻常的想法，先求出负整数特解后，再求正整数解。 设想，当E＝－1时，由方程 256N＝3125E＋2101 得出N＝－4。 由于桃子数N被连续5次分成5堆，因此，如果一个数是上述方程的特解，那么此数再加上面55后仍然是方程的解。既然－4是特解，于是－4＋55也是解，于是，桃子总数是 －4＋3125＝3121 如何理解－4是特解呢？怀德海的解释是：假定当初有－4个桃子，一只猴子从中硬拿出一个吃掉，还剩下－4－1＝－5个桃子，分成5份，每份恰好是－1个桃子。私藏起一份之后，还剩－4个桃子，仍然回到没有分以前的情况，照这样的分法，不仅可分5次，能一直分下去。因此－4是个神奇的特解。这正是怀德海想法的异乎寻常之处。 这个问题可以用还原法解答，依题意列方程， {【〔[（N－1）· EQ \F(4,5) －1] · EQ \F(4,5) －1〕· EQ \F(4,5) －1】· EQ \F(4,5) －1}· EQ \F(1,5) ＝E 其中N是桃子总数，E是第五次分得的每份数，逐次还原可得 N＝{〔[（5E＋1）· ＋1] · ＋1〕· ＋1}· ＋1 ＝ ＋( )4＋( )3＋( )2＋ ＋1＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 由于4与5互质，只有当 取得最小正整数1时，才能得Ｎ的最小正整数解，所以 E＝44－1＝255 N＝55－4＝3125－4＝3121 在这个方法中，用到了公式 an－1＝（an－1＋an－2＋…＋a＋1）（a－1） 由此得 ( )4＋( )3＋( )2＋ ＋1＝ 更一般地， an－bn＝（an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1）（a－b） 下面是这个问题另一种简单解法。 设桃子总数为x，n只猴子自藏起来的桃子数依次为k1，k2，…，kn，得方程组 nk1＝x－1 nk2＝（n－1）k1－1 …… nkn＝（n－1）kn－1－1 从第二个方程开始，每个方程的等号两边都加上n，得 n（k2＋1）＝（n－1）（k1＋1） n（k3＋1）＝（n－1）（k2＋1） …… n（kn＋1）＝（n－1）（kn－1＋1） 再把这些等式两边乘起来，得 nn－1（kn＋1）＝（n－1）n－1（k1＋1） 因为对于任何自然数n，n－1的每个质因数都不是n的因数，所以k1＋1必是nn－1的倍数。记作 k1＋1＝k·nn－1 将此式代入 nk1＝x－1 得 x＝n（nn－1k－1）＋1 ＝nnk－（n－1） 取k＝1，得最小正整数解为 x＝nn－n＋1 令n＝5，得本题中桃子总数为 55－5＋1＝3121 在这种解法中，我们推导出了一个一般公式 x＝nn－n＋1 对于任意的n（n＞2）只猴子的情况，只需将n代入公式，就可得桃子的总数。 第二章 四色问题1（国标P108） 画在纸上的任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。 用数学语言表示，即“将平面任意分成不相重叠的区域，每一区域总可用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的，如果两个区域只相遇于一点或有限多个点，就不叫相邻的，因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆，如图1。 1852年，英国伦敦大学学生格思里（Guthrie）面对地图发现：不论多么复杂的地图，只须四种颜色便可将任何相邻区域区分开。他把这一想法告诉他的哥哥。他们又就这个问题请教德·摩根（De Morgan，1806～1871），试图得到这一问题的证明。摩根没能证出来，便将此事告诉了哈密尔顿（Hamilton，1805～1865），但他们始终没有得到结果。 1878年英国数学家凯莱（Cayley，1821～1895）在伦敦数学会会刊上发表一篇文章，将上述问题归结为“四色猜想”。凯莱的文章引起了很大的反响。人们被这样一个简简单单却又解决起来困难重重的问题所吸引，一大批很有才华的人士踏上了探索奥秘的路途。 大约在凯莱公开“四色猜想”后一年左右的时候，伦敦数学学会会员肯普（Kempe，1849～1922）给出了该猜想的第一个证明。 肯普的论据是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇一点，这种地图就是“正规的”。一张地图往往是非正规的，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需颜色的种数，要证明四色猜想成立，只要证明不存在正规五色地图就够了。肯普采用了归谬法。大意是如果有一张正规的五色地图，就存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国少于6个，就存在一张国数更少的正规地图仍为五色。这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图。从而得到“四色猜想”的认定。 然而在肯普给出证明后的第11年，在牛津大学就读的年仅20岁的希伍德（Heawood，1861～1955）发现了肯普证明中的错误，然后把证明作了修改。按照肯普提供的方法成功地证明了“五色定理”。 对四色猜想给出一般性的 结论 圆锥曲线的二级结论椭圆中二级结论圆锥曲线的二级结论圆锥曲线的二级结论探究欧姆定律实验步骤 确实困难，但对若干种特殊情形证明是可以实现的。人们很快就弄清楚了，当区域不超过12时，四色猜想是对的。 1939年，富兰克林（Franklin，1898～1965）把四色地图的区域提高到25。一直到1968年，奥尔（Ore，1899～1968）达到了39。 尽管长时间没有解决四色猜想，但是从直觉上许多研究者都认为它是对的。有人还设计了一种风行一时的“染色游戏”。游戏由两个以上的人参加。第一个人任画一个闭合区域，由第二个人着色，然后再画一个闭合区域，由第三个人着色，之后又画一个闭合区域，如此循环进行。游戏规定，相邻区域必须是不同颜色，不论谁，若着色完毕并画出闭合区域后，迫使后继者不得不染上第五种颜色时，便判谁为输。按此规定，参加游戏的每个人在染色及画闭合区域时都要为后继者着想。不能迫使他用第五种颜色。如图2，第四个人画的闭合区域是“5”，那么在给区域“4”染色时别无选择，只可用黄色，否则第五个人非得用第五种颜色染区域“5”不可。这样第四个人就是输者。 游戏很有意思，当图画得区域越来越多，越来越复杂时，差色就要很小心了，着色后画的闭合区域如果仅与一个原有区域相邻，那么着色就容易了，而如果着色后画的闭合区域是随意的，那么着色就要受更多的限制。不过，自倡导染色游戏以来，没有谁真正输过一次，这在客观上生动地表明，四色猜想很可以是对的。但游戏毕竟是游戏，它无法证明猜想。 电子计算机的发明，发数学的研究提供了新的工具，使许多人工几乎算不完的事情用电子计算机可以实现了。1960年，美国伊利诺大学的哈肯（Haken）开始研究用电子计算机去解决“四色猜想”。1972年哈肯与阿佩尔（Appel）合作，到1974年问题有了进展。1976年初，他们终于完成了论证四色问题的计算程序。 1976年6月，哈肯和阿佩尔同时启动三台IBM－360型高速电子计算机，花了1200个机时，进行了大约60亿个逻辑判断，终于证明了四色问题的正确性，从而称之为四色定理。 在四色问题的研究过程中，新的数学理论也随之产生，还发展了数学计算技巧，丰富了图论的内容。四色问题还在有效地设计航空班机日程表、设计计算机编码程序上都发挥了作用，推动了数学的发展和应用。 {国标108} 1976年9月，美国数学家阿沛尔和哈肯宣布：他们在电子计算机的协助下，把古典的世界教学难题“四色猜想”证明出来了。这个消息震动了整个数学界。因为，自古以来数学家都认为数学的推理是最优美的，不少数学家都陶醉于“一枝笔，一张纸，几本参考书”这种研究思维方法。而今电子计算机突然破天荒地解决了长期以来数学家所无法解决的这个问题，这不能不使得一些数学家哀叹：“数学上优美的时代应该宣布让位了”！ 那么到底什么是“四色猜想”呢？1852年，英国数学家狄·摩根的学生格思里在绘制地图时发现，“无论多么复杂的地图，只需要四种颜色就能够将它区分开来”。也就是说，用四种颜色就能使得没有两个相邻地区的颜色相同。 关于四色猜想，有一个很有趣的小故事。 19世纪末期，著名数学家闵可夫斯基在一堂课上给学生介绍四色猜想，自负地说：“这个猜想至今没有人能够证明，因为对这个问题进行专门研究的只有一些三流数学家。我相信我能够证明它。”于是他拿起粉笔当场开始证明。下课了。闵可夫斯基没能当堂解决这个问题，于是下一节课又去解答。一连好几天，他都未能解决这个问题，弄得进退两难，十分尴尬。 有一天在课堂上，当闵可夫斯基再次拿起粉笔要继续他的证明时，天空突然电闪雷鸣，这时他严肃地对学生们说：“老天被我的骄傲激怒了，我对四色猜想的证明也是不完全的。”于是这种天真的做法才戏剧性的结束了。 闵可夫斯基确实够狂妄自大了。别看谁都能弄懂四色猜想的意思，可要解决它，并不比攀登珠穆朗玛峰容易多少。 第三章 欧拉遗产问题1 是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题。问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；……按这种方法一直分下去，最后发现这种分法好极了，因为所有儿子分得的财产数字恰好相等。问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？ 欧拉（Leonard Euler，1707～1783）是著名的数学家、物理学家、天文学家。生于瑞士的巴塞尔。他的父亲对数学颇有研究，是欧拉的第一个数学教师。欧拉从19岁起开始写作，直到76岁。半个多世纪，他写下浩如烟海的书籍和论文。至今几乎每一个数学分支都可以看到欧拉的名字。从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法，到数论中的欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论中的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数论的欧拉公式等等。特别是在他双眼失明到逝世的确良7年间，他仍发表了几百篇论文以及有关纯数学和应用数学各方面问题的巨著10部。欧拉不仅对高深的数学、物理学和天文学造诣极高，而且对代数应用题也很重视，他认为这些古老的问题在数学发展史中起着重大作用，他并不认为解这类初等数学问题是有损尊严的事。因此他在他的名著《代数基础》中就搜集了很多生活上的趣题，其中也包括遗产问题。 下面我们来求解这个问题： 设：这位父亲共有财产x克朗，每个儿子分得的财产为y克朗，这位父亲有儿子的个数为n。 根据所设的条件可知：x＝ny，并依据下图进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 如下： （下图中假设某一线段长为y克朗） 第一个儿子分得财产为 （1） 第二个儿子分得财产为 （2） 第三个儿子分得财产为 （3） …… y y x＝ny y …… y 第n个儿子分得财产为 y＝ 在上述方程中，有未知量三个：x，y，n。但根据关系式x＝ny，只要知道其中两个未知量的值就可以得到第三个未知量的值。由题意，每个儿子分得的财产一样多，所以由（1）、（2）式可得 ＝ － ＝100 x－100－x＋y＋200＝1000 ∴y＝1000－100＝900 将y＝900代入（1）式得 900＝100＋ ∴x＝8000＋100＝8100 ∵x＝ny ∴n＝ ＝9 代入（3）式验算： 右边＝300＋ ＝300＋600 ＝900＝左边 因此，这位父亲有财产8100克朗，有儿子9个，每人分得财产900克朗。 这个问题起初看起来很复杂，有几个方程，三个未知数，但通过分析，找出等量关系后，问题就显得比较简单。所以，读者应养成分析问题的习惯，使头脑变得更加聪明。 第四章 百鸡问题1 是中国算经十书之一的《张丘建算经》中卷下的最后一题。问题是：今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？其意是：现有公鸡一只值五个钱，母鸡一只值三个钱，小鸡三只值一个钱，如果有一百个钱要买一百只鸡，那么公鸡、母鸡、小鸡各应多少只？ 张丘建是公元5世纪时中国的一位数学家。《张丘建算经》是中国古代重要数学著作之一，这部菱成书于公元484年之前，全书分为上、中、下三卷。 张丘建给出了问题的人武部答案，共三组。见下表： 鸡 翁 4 8 12 鸡 母 18 11 4 鸡 雏 78 81 84 张丘建对解题方法没有详述，只给出：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三。”可以看出，术曰中仅指出了三组答案之间的关系，并没有指出具有这种关系的三组答案是怎么得出的。不过，张丘建本人肯定有自己的解法，但他没有详细记载下来。 这个问题包含三个未知数，但只能列出两个方程，因此属于不定方程问题。用现在的解法如下。 解：设x、y、z分别为鸡翁、母、雏的只数，则可以列出以下方程： x＋y＋z＝100 （1） 5x＋3y＋ z＝100 （2） 采用消元法，消去其中一个元 （1）×5－（2）得2y＋ z＝400 即 y＝200－ z （3） （2）－（1）×3得2x－ z＝－200 即 x＝ z－100 （4） 由题意，y表示买鸡母的只数，y的取值范围是 0＜200－ z＜ 同理，x表示买鸡翁的只数，x的取值范围是 0＜ z－100＜ 把两式联立： 0＜200－ z＜ （5） 0＜ z－100＜20 （6） 解这两个不等式，可以确定z的取值范围如下： ＜z＜ （7） 75＜z＜90 （8） （7） （8） 70 75 80 90 z 由上图看出，不等式组的解为 75＜z＜ （9） 由题意，z既要满足（9）式，又必须是3的倍数。要同时满足这两个条件，z的取值只能是78、81和84。 将z＝78代入（3）和（4）式，得 y＝200－ ×78＝200－182＝18 x＝ ×78－100＝104－100＝4 从而得到第一组解 x＝4 y＝18 z＝78 同理可得其他两组解 x＝8 x＝12 y＝11 x＝4 z＝81 z＝84 这三组解就是术曰中提到的，鸡翁每增四只，鸡母就要减七只，鸡雏相应的增加三只。 张丘建之后，中国古代数学家不断对不定方程进行研究。宋代著名数学家杨辉在其《续古摘奇算法》一书中曾引用已失传的《辨古通源》中一题： “钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只去温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？” 国外出现与“百鸡问题”同类型的题目，时间是相当晚的。如中亚细亚数学家卡西（Al－kashi）的《算述之钥》（1427）中就有这样一题： “今有鸭一值四钱，雀五值一钱，鸡一值一钱。凡百钱买百鸟，问鸭、雀、鸡各几何？” 由此可见，中国古代对不定方程的研究时间早，而且卓有成效，对世界数学的发展作出了重大的贡献。 第五章 阿基米德的牛群问题1 是《阿基米德文集》中比较著名的一个问题。但问题是否真正出自于阿基米德之手尚有不同意见。有史料记载是阿基米德向亚历山大的数学家提出这个“牛群问题”；也有书记载是阿基米德当时将它献给他的挚友、古希腊后期伟大的天文学家厄拉多塞尼（Eratosthenes）。也有人认为问题不是出自阿基米德之手，只是由于阿基米德的名声卓著，人们才将这一数学难题冠以他的名字，以提高问题的声誉，使它能广泛流传。 牛群问题 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。 白色公牛数是黑色公牛数的（ ＋ ）加上棕色公牛数；黑色公牛数是花色公牛数的（ ＋ ）加上棕色公牛数；花色公牛数是白色公牛数的（ ＋ ）加上棕色公牛数。白色母牛数是黑色牛数的（ ＋ ）；黑色母牛数是花色牛数的（ ＋ ）；花色母牛数是棕色牛数的（ ＋ ）；棕色母牛数是白色牛数的（ ＋ ）。 问各种颜色的公牛和母牛各有多少？ 阿基米德（Archimedes，公元前287～前212）是古希腊伟大的物理学家、数学家。诞生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，儿童时期得到了良好的专门教育，这为他后来的数学、物理学方面的研究奠定了基础。阿基米德在数学和物理学方面作出过很多成就。在以他的名字命名的科学成就中，以阿基米德浮力定律最为名，因为定律记述了一个被后人传诵了两千年的轶事。有一次叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一个纯金的王冠，做成后国王怀疑里面掺有银子。便请阿基米德来鉴定一下。阿基米德一时也想不出好办法来。正在苦闷之际，他到浴室去洗澡，当他进入装满水的浴盆时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻。这使他想到，重量相同的由不同物质组成的东西，因体积不同，排出的水必不相同。根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺的杂质，而且还可以知道偷掉黄金的重量。这一发现非同小可，它像闪电一般通过大脑，阿基米德高兴得跳了起来，口中大呼“我找到了”冲出浴室。经过仔细的实验，他缍发现了“阿基米德浮力定律”。阿基米德一生孜孜不倦地研究科学问题，直到罗马人入侵，他被杀害时，还在聚精会神地深思几何问题。 下面我们用现代常用的代数方法来解“牛群问题”。 解：设用字母X、Y、Z、T分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数；用x、y、z、t分别表示、白、黑、花、棕各色母牛数，则得到这8个未知数的如下7个方程，问题归结为解方程组 X＝（ ＋ ）Y＋T Y＝（ ＋ ）Z＋T Z＝（ ＋ ）X＋T x＝（ ＋ ）（Y＋y） y＝（ ＋ ）（Z＋z） z＝（ ＋ ）（T＋t） t＝（ ＋ ）（X＋x） 整理得 X－T＝ Y （1） Y－T＝ Z （2） Z－T＝ X （3） x＝ （Y＋y） （4） y＝ （Z＋z） （5） z＝ （T＋t） （6） t＝ （X＋x） （7） 这是7个方程解8个求知数为正整数的不定方程。由方程（1）、（2）、（3）分别得 6X－5Y＝6T，20Y－9Z＝20T，42Z－13X＝42T。 以这三个方程解三个未知数X，Y，Z，得 X＝ T，Y＝ T，Z＝ T 因为891和1580没有公因子，T必定是891的某一整倍数，假设为G倍，即T＝891G，因此得 X＝2226G，Y＝1602G，Z＝1580G，T＝891G。 将上面四式代入（4），（5），（6），（7）得 12x－7y＝11214G 20y－9z＝14220G 30z－11t＝9801G 42t－13x＝28938G 解这个方程组得 x＝ G y＝ G z＝ G t＝ G 因为x，y，z，t为整数，而上面各式右边G的系数的分子没有一个可以被4567整除，所以G必定是4657的整数倍，假设为g倍，则G＝4657g，g为正整数。 把这个G值代入X、Y、Z、T、x、y、z和t中，得 X＝10366482g x＝7206360g Y＝7460514g y＝4893246g Z＝7358060g z＝3515820g T＝4149387g t＝5439213g 这个不定方程，由于g可以是任何正整数，所以有无穷组解。若指定g值为1，则可得各色公牛和母牛数的最小值。 白色公牛为10366482头，白色母牛为7206360头； 黑色公牛为7460514头，黑色母牛为4893246头； 花色公牛为7358060头，花色母牛为3515820头； 棕色公牛为4149387头，棕色母牛为5439213头。 上述这组解仅是无穷组解中最小的一组解，是人为的将g值定为1而得的。可以设想以上表述问题的方式可能并不是阿基米德问题的完整和原始的形式。 可喜的发现 1773年莱辛（Gotthold Ephraim Lessing）在沃尔芬比特尔图书馆发现一本希腊文手抄本，其中有一篇关于该题“更完整”的阐述。该题以诗歌形式出现： “朋友，请准确无误地数一数太阳神的牛群。 要数得十分仔细，如果你自认为还有几分聪明： 多少头牛在西西里岛草地上吃过草， 它们分为四群，在那里来往踱步。 各群颜色不同：第一群像牛乳那样洁白， 第二群闪耀着深乌木般的光泽， 第三群毛色棕黄，第四群满身斑斓， 每群中公牛数总大大超过母牛。 现在，告诉你这些牛群间的比例： 白色公牛等于棕色公牛数再加上 黑色公牛数的三分之一和二分之一。 此外，黑色公牛数为花色公牛数的四分之一 加五分之一，再加上全部棕色公牛。 朋友，最后你必须记住， 花色公牛数是白色公牛数六分之一加七分之一， 再加上全部棕色公牛。 但是母牛群中，比例却大不相同： 白色母牛等于 黑色公、母牛全部的三分之一加四分之一。 而黑色母牛为全部花牛的 四分之一加五分之一，这里要注意， 每头花母牛和花公牛都要算进去。 同样，花色母牛的头数 是全部棕色牛的五分之一加六分之一。 最后，棕色母牛与全部白牛的 六分之一加七分之一相等。 朋友，如果你能确切地告诉我， 这些膘厚体壮、毛色各殊的公牛母牛， 一共多少聚集在那里？ 这样你才不愧为精通计数。 但是你还算不上一个聪明人， 除非用我给出的新数据来回答问题： 当所有黑白公牛聚集在一起， 就排出一个阵形，纵横相等； 辽阔的西西里原野， 布满大量的公牛。 当棕色公牛与花公牛在一起， 便排成一个三角形，一头公牛站在三角形顶端； 棕色公牛无一头掉队，花公牛也头头在场， 这里没有一头牛和它们的毛色不同。 如果你把这些条件一一牢记，胸有妙算， 朋友，如果人能说出每群牛的组成和头数， 那你就是胜利者，可昂首前进， 因为你的声誉将在智慧的世界里永放光芒。 这首诗歌在原有题目条件的基础上又提出了两个补充条件，即，X＋Y是一个平方数U2，而且Z＋T是个三角形数 V（V＋1）（一个三角形数n是指可以用这几个点来构造一个等边三角形点阵。例如，当n为1，3，6和10时，可表示为1＝ ·1·2，3＝1＋2＝ ·2·3，6＝1＋2＋3＝ ·3·4，10＝ ·4·5），因此得到下列关系式： X＋Y＝U2 （8） 2Z＋2T＝V2＋V （9） 将X，Y，Z，T的数值代入（8）和（9），上两式变成 3828G＝ U2及，4942G＝ V2＋V 用4a（3828＝4a＝4×3×11×29），b及cg分别表示3828，4942及G，上式变形为 U2＝4acg （10） V2＋V＝bcg （11） 从而U是2，a和c的整倍数，U可以表示为 U＝2acu 这样 U2＝4a2c2u2＝4acg 则 g＝acu2 将g代入（11）式中，得 V2＋V＝abc2u2 或 4V2＋4V＝4abc2u2 整理得（2V＋1）2＝4abc2u2＋1 （12） 令v＝2V＋1，d＝4abc2，（abc2＝4×3×11×29×4942×46572），则（12）式变为 v2－du2＝1 其中 d＝410286423278424 这就是所谓的佩尔（John Pell，1611～1685）方程，它是数论中一个很重要的不定方程。由于d的值如此之大，解答非常困难，这里就不详解了。最后解得满足条件的数据： 白色公牛为 1598×10206541头 公牛总数为 7766×10206541头 西西里岛的面积只有25500平方公里，把这么多的牛放牧在这个岛上是不可能的。难怪前苏联学者。И．Ｈ．维谢洛夫斯基在评论此题时写道：如果每页纸可写上2500个数字，那么这个数字完整地写出来就得用上660页纸。 第六章 五家共井与丢番图不定方程1 “五家共井”问题是《九章算术》《方程》章中出现的、迄今为止世界上最早的不定方程。问题：今有五家共井，甲二绠不足，加乙一绠；乙三绠不足，加丙一绠；丙四绠不足，加丁一绠；丁五绠不足，加戊一绠；戊六绠不足，加甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？ 题中的绠指汲水用的绳子。原题的意思是：五户人家共用一口小井，井深是：二条甲家的绳子加上一条乙家的绳长，或三条乙家的绳长加上一条丙家的绳长，或四条丙家的绳长加上一条丁家的绳长，或五条丁家的绳长加上一条戊家的绳长，或六条戊家的绳长加上一条甲家的绳长。试问井深、汲水绳长各为多少？ 《九章算术》中给出的答案是： 答曰：井深七丈二尺一寸，甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。 我们用现代方法讨论答案是如何得到的。 设甲、乙、丙、丁、戊家的绳长分别为x，y，z，u，v，并深为w。根据题意，可列方程组 2x＋y＝w 3y＋z＝w 4z＋u＝w 5u＋v＝w 6v＋x＝w （1）×3－（2） 6x－z＝2w （6）×4＋（3） 24x＋u＝9w （7）×5＋（4） 120x－v＝44w （8）×6＋（5） 721x＝265w ∴x＝ w 代入（1） y＝ w 代入（2） z＝ w 代入（3） u＝ w 代入（4） v＝ w 由于原题中没有给出答案的范围和其他特定的条件，因此本题应该有无穷多组解。而上面给出的《九章算术》中的答案，w＝721，x＝265，y＝191，z＝148，u＝129，v＝76，只是无穷组解中的一组解。 所以，“五家共井”问题的答案应是： 井深:甲绠长:乙绠长:丙绠长:丁绠长:戊绠长 ＝721:265:191:148:129:76。 由上面的讨论可以看到，这个方程组有6个未知数，但只有5个独立的方程，而且方程组中的各个方程均为一次齐次方程，故称其为一次齐次方程的不定方程（组）。 “五家共井”是世界上最早的不定方程，曾引起世界各国数学家的注意。而对不定方程作出广泛而深入研究的是古希腊亚历山大里亚时期的著名数学家丢番图（Diophantus，公元3世纪）。丢番图在世界数学史上具有突出的地位，他的数学成就主要有两个方面：最早在代数中采用一套缩写符号；开创对不定方程的广泛研究。现在人们一般把整系数不定方程称为“丢番图方程”。 下面，我们给出丢番图不定方程的例子： 问题：将一个给定的平方数分为两个平方数（之和）。 按丢番图的解法，设16是给定的平方数，而所求的两个平方数分别为x2，16－x2。 由于16－x2是一个平方数，因此又设16－x2＝（2x－4）2 于是有 16－x2＝4x2－16x＋16 即 5x2－16x＝0 解这个二次方程得x1＝ ，x2＝0 （不合题意）。根据题目要求，其中一数为（ ）2＝ ，另一数为16－ ＝ ，并且（ ）2＝ 。 由上面的求解过程读者可以发现，为什么要设16－x2＝（2x－4）2呢？实际上，这种使16－x2为某数的平方数的假设并不是唯一的，我们还可以做出多种假设，但假设必须满足所求出的 x是正有理数，并且满足问题：一个给定的平方数分为两个平方数之和。例如，上题还可以设16－x2＝（5x－4）2，这样所得到的解是 和 ，并且 ＝（ ）2， ＝（ ）2。可以看出，满足上述条件的解是有无穷多个。 丢番图对不定方程有过深入的研究。他对方程的解的要求是有理数，而不是整数，与现在通常的对不定方程的求解要求不同。他在探讨不定方程的解时，也只找到了一些特殊的解，缺乏对一般解法的研究。后世的数学家在研究不定方程时，不得不另辟途径，研究不定方程的一般解法。 第七章 破碎的数（国标P41） 在拉丁文里，分数一词来源于frangere，是打破、断裂的意思，因此分数也曾叫做是“破碎数”。 在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。 在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变。视为畏途。7世纪，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很大一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容某人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。 一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。 古埃及人更奇特。他们表示分数时，一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点，表示这个数是 ；在7上面加一个小圆点，表示这个数是 。那么，要表示分数 怎么办呢？古埃及人把 和 摆在一起，说这就是 。 和 怎么能够表示 呢？原来古埃及人只使用单分子分数。也就是说，他们只使用分子为1的那些分数，遇到其他的分数，都得拆成单分子分数的和。 和 都是单分子分数，它们的和正好 ，于是就用 ＋ 来表示 。那时还没有加号，相加的意思要由上下文显示出来，看上去就像是把 和 摆在一起表示了分数 。 由于有了这种奇特地规定，古埃及的分数运算显得特别繁琐。例如，要计算 与 的和，首先得把这两个分数都拆成单分子分数： ＋ ＝（ ＋ ＋ ）＋（ ＋ ＋ ） 然后再把分母相同的分数加起来： ＋ ＋ ＋ 由于自然式中出现了一般分数，接下来又得把它们拆成单分子分数： ＋ ＋ ＋ ＋ 这样一道简单的分数加法题，古埃及人算起来都这么费事，不难想像，如果遇上复杂的分数运算，他们算起来又该是何等的吃力。 在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在计算 时，还用分母的乘积8000作为公分母！ 而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。 我国现在尚能见到的最早的一部数学著作，刻在汉朝初期的一批竹筒上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。 稍晚些时候，在我国古代数学名著《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。 例如：“又有九十一分之四十九，问约之为几何？”书中介绍的方法是：从91中减去49，得42；从49中减去42，得7；从42中连减去7，到第5次时得7。这时被减数与减数相等，7就是最大公约数。用7去约分子、分母，就得到 的最简分数。不难看出 ，现在常用的辗转相除法，正是由这样古老的方法演变而来。 公元263年，我国数学家刘徽注释《九章数学》时，又补充了一条法则：分数除法就是将除数的分子、分母颠倒与除数相乘。而欧洲直到1489年，才由维特曼提出相似的法则，已比刘徽晚了1200多年！ 前苏联数学史家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个最简短的论述中可以得出结论：在人类文化发展的初期，中国的数学远远领先于世界其他各国”。 第八章 借来还去（国标P82） 小宁在计算19998＋1998＋198＋18这道计算题时，只用了20秒钟就报出了得数22212。 小它告诉小兵：“我用了‘借来还去’的方法”。 原来，小宁一看19998，1998，198，18分别接近20000，2000，200，20。她就先借来了4个2，分别加到19998，1998，198，18上得到 20000＋2000＋200＋20＝22220 可是借来的4个2（＝8）要“还”，也就是要从22220中减去，这样，正确的答案应该是： 22220－8＝22212 小宁的思考方法可以从下面的式中看出来： 19998＋1998＋198＋18 ＝（19998＋2）＋（1998＋2）＋（198＋2）＋（18＋2）－（2＋2＋2＋2） ＝20000＋2000＋200＋20－2×4 ＝22220－8＝22212 这种“借来还去”的思考方法不公在计算上，而且在解决一些实际生活问题上也很有用！ 问题1 一位农民卖鸡蛋，第一次卖去篮中的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个后，剩下一个。请问；篮中原有多少鸡蛋？ 这道题的解法有好几个，但是只有一个是最简单的。 你想想看，一篮子鸡蛋分了一半出现了半个，说明鸡蛋个数是奇数。为了避免出现半个鸡蛋，这位农民应当事先向别人借1个鸡蛋放在篮子里，这样，每一次都会出现半个鸡蛋了。也就是说，第一次卖去篮中的一半，第二次卖去剩下的一半，剩下2个。于是，篮中的鸡蛋为（2×2×2＝）8（个）。刚才借了一个鸡蛋再还给人家，这位农民篮子中原来有（8－1＝）7（个）鸡蛋。 当然，农民卖鸡蛋不会卖7个。但是，从上面巧算中，我们能找出一个规律。比如说说每次卖一半又半个，共卖了五次后剩下一个，那么农民篮子里原有鸡蛋数为（26－1＝64－1＝）63（个）。 借一还一，大大简化了计算。 问题2 会计发劳务费。张师傅应得全部劳务费的 零16元，李师傅应得全部劳务费的 零6元，还剩84元。问劳务费共多少元？两位师傅各得多少元？ 这道题可以假定会计把张师傅和李师傅应得钱数的零头借来放在剩余款中。这样剩余款为（84＋16＋2＝）102（元）。这时，这个量所对应的分率为（1－ － ＝） 。于是，全部芝务费为（120÷ ＝102× ＝）144（元）。 全部劳务费算出后，会计先给张师傅（144× ＝）18（元），再还给他16元，共（18＋16＝）34（元）；给李师傅（144× ＝）24（元），再还给他2元，共（24＋2＝）26（元）。 这道题会计把张、李二位师傅劳务费的零头先不发，就容易得到量率的对应关系了，题目就好解了。 问题3 爷爷对两个孙子说：“小明，你把这篮桃的 多2个给你奶奶， 少4个给你哥哥小聪，剩的6个你要好吗”？请你帮助小明分好这篮桃子。 先算这篮桃有多少个。 假如小明向奶奶借来2个桃，借给小聪4个桃，那小明还是（6＋2－4＝）4（个）。通过借来还去，原题变为：这篮桃子的 给奶奶， 给哥哥，自己分4个，问这篮桃有多少个？ 根据题意，可得这篮桃共有 （6＋2－4）÷（1－ － ） ＝4÷ ＝24（个）。 奶奶应得：24× ＋2＝8＋2＝10（个）； 小聪应得：24× －4＝12－4＝8（个）； 这道题假如不用借来还去的方法解，解起来是相当费事的。 无论真借真还，还是假借假还，目的是一个，使问题中的数量关系更加明晰，使解法由复杂变简单。 第九章 从类似问题入手（国标P101） 从前，奥地利有位医生叫奥恩布鲁格。他的父亲是个酒商，奥恩布鲁格小时候看见他父亲用手指敲击酒桶，从木桶发出的声响就能知道桶里还有没有酒，有多少酒。有一次，这位医生给一个病人看病，直到病人死了，还没有诊断出是什么病。后来，经过尸体解剖，他发现病人胸腔化脓，积满脓水。这件事在他的脑海里留下深深的印象。从此以后他苦苦思索如何才能诊断出病人的脓腔。有一天，他又看到父亲在敲击酒桶。这时，他突然想到，人的胸腔不也像木桶吗？不是也可以像用手指叩击木桶听声音判断酒桶内酒量那样，用手指叩击胸膛来判断是否脓胸呢？于是他反复试验，终于使这个想法获得成功，发明了“叩诊法”。用叩诊法不仅能够诊断脓胸，而且可以诊断胸部的很多疾病。 上面这个故事说明了一种重要的思考问题的方法：假如要解决问题甲，通过联想，找到一个很类似的问题乙，问题乙是可解决的，既然问题甲与问题乙很类似，那不妨试试看，能否用解决问题乙的方法来解决问题甲，这种思考方法就是类比法。 当我们遇到一个数学问题时，也可试用类比法来思考。 例1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒钟敲完？ 【分析】不要盲目地由倍数关系下结论说10秒敲完。找一个类似的问题分析一下“钟敲6下，5秒钟就能敲完”这个条件。我们可能有这样的经验，把一条长5厘米的线段平均分成5份，需要在线段上点4个点，加上两个端点，一共6个点，发现这一点是富于启发性的。如果用一个点表示敲一下，用1厘米长表示1秒钟，恰恰说明了钟是每隔1秒钟敲一下。再在一条直线上点12个点，相邻两点距离为1厘米，很容易看出来本题答案。 解 因为钟是每隔1秒敲一下，所以钟敲12下，11秒敲完。 例2 从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时钟正好与分针重合？ 【分析】本题可以与行程问题进行类比。如果用时针1小时所走的一格作为行程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分针在后，时针在前。分针的速度是每分钟 格；时针的速度是每分钟 格。如果分针与时针同时同向出发，问分针过多少分钟追上时钟？ 解 4÷（ － ）＝ （分钟） 答：过 分钟分针与时针重合。 说明 如果路程单位选取的不同，得到的综合式自然也就不同。利用钟面上的时针与分针可以编出许多的类似问题，请读者试一试。 例3 分数 的分子和分母同时加上一个相同的数，使分数变成 。问这个加上的数是多少？ 【分析】这道题要我们求分子和分母同加上什么数，使分数的分母是分子的5倍。分子和分母不管加上什么数，它们的差（71－3＝）68是不变的。根据这一特点，读者一定会想起这道题和年龄问题相类似。例如，女儿今年8岁，母亲38岁，问几年以后母亲的年龄正好是女儿的3倍。 女儿今年8岁，母亲38岁，母女俩年龄差为（38－8＝）30岁，因为女儿长几岁，母亲也长几岁，她们的年龄差不变。几年后母亲的年龄是女儿的3倍，30岁相当于几年后女儿年龄的（3－1＝）2倍。用除法即可求出几年后女儿的年龄是：（38－8）÷（3－1）＝15岁，15－8＝7年，也就是7年后母亲的年龄是女儿的3倍。 从这道年龄问题的解题方法中，可以类比原题的解题方法。 原题的分母与分子的差是（71－3＝）68，分子和分母加上同一个数后，使分数变成 ，即分母是分子的5倍，68相当于新分子的（5－1＝）4倍，用除法求出新分子，进而再求出分子、分母同加上的是什么数 解 （71－3）÷（5－1）－3 ＝68÷4－3 ＝17－3＝14 答 这个加上的数是14。 我们已经初步体会到了类比方法的运用。遇到一个不太熟悉的问题，想一想，有没有以前见过的问题与这个问题类似。这往往会帮助你发现解题思路。 第十章 巧搏千斤（国标P121） 小读者们或许也有这样的经历：对于某一问题，我们往往久思而不得其解，纵令挖空心思，绞尽脑汁，冥思苦想，仍似一团乱麻，找不到答案。然而，有一天，突然听到了别人一句话，读了报刊上一篇文章，或是目睹某一自然景物，触景生“智”，于是灵机一动，“解”上心来，久悬的疑难，一下子就解开了。 请看下面的例题及其解决过程。 有两个容器，在第一个容器里放一升水，另一个容器空着，先把第一个容器里的水的 倒入第二个容器，然后把第二个容器里的水的 倒入第一个容器，再把第一个容器里的水的 倒入第二个容器……。如此下去，这样倒了999次以后，每个容器里各有水多少？ 这个问题从表面上看，似乎是利率或方程问题，但由于每次倒出水的比例不同，而又倒了999次之多，所以通过利率或方程的方法都难以求解。然而解题人由于一次喝水，却猛然闪现出这样的思想火花：“倒水”！于是决定不妨倒几次水试一试，从中看个究竟，得到下面的实验数据。 倒水次数 1 2 3 …… 第一个容器里的水 …… 第二个容器里的水 …… 观察这个实验数据，很自然地得到下面的结论：“每倒了奇数次水以后，两个容器里的水各占一半”。由此不难得知，当倒了999次水之后，两个容器里的水各占 升。 在探讨上例的求解过程中，我们应用通常的方法难以求解。但由于喝水而顿悟，构思出实验法，得出正确的结论，从而使问题瞬间得到解决。 诸如此类的事，真可谓“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”。然而，如果有人只知后半句，忘了前半句，殊不知“不费功夫”是以“踏破铁鞋”为前提条件的，不肯付出辛劳与血汗，却眼巴巴盼着偶然飞来的灵感，那就无异于画饼充饥了。 第十一章 跨出思维定势（国标P149） 注意克服思维定势的影响 人们经常习惯于按照固有知识或经验来思考问题，因此，在遇到一个新问题时，常常会有这样或那样的思维框框阻碍自己的思路，这就是所谓思维定势。例如，平时在计算圆的面积时，总是要先求出半径，然后运用求圆面积的公式进行计算。当再遇到求圆面积问题时，头脑中就会产生先求出半径的倾向，这种习惯的倾向，就是思维定势。这种思维定势在某种程度上会阻碍问题的解决。如下面这道题： 如右图正方形面积为10平方厘米，求圆的面积是多少平方厘米？在解答时，如果受思维定势的影响，一味地求圆半径是多少，就无法解答这道题。如果平时对知识理解透彻，并会开动脑筋，这道题不用求出半径就算出得数来。因为正方形的边长，正好是圆的半径，半径平方不正好是正方形的面积吗？又因为圆的面积公式：S＝πr2，所以，r2为10，圆的面积就等于3.14×10＝31.4（平方厘米）。 法国科学家贝尔纳说过：“构成我们学习的最大障碍是已知的东西，而不是未知的东西。”当然，这不是知识和经验本身的过错，而是我们应该对已有认识的阻碍作用，要有清醒的估计，使自己能够自觉地克服思维定势的消极影响，当解题发现“此路不通”时，就能够很快地“另辟蹊径”。 像数学家那样思考 化归法是数学家处理问题的一种独特的思维方法。匈牙利数学家P·罗莎曾对此作过十分形象的描述：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是烧水，你应该怎样做？”问题很简单，谁都知道“先在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着，罗莎又提出了这样的问题。“假设所有的条件都和原来一样，只是水壶中已有了足够的水，这时，你又应该怎样去做？”对于这一问题，人们往往会回答：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，罗莎指出，“这不是最好的回答，因为只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称：我已把后一个问题化归成先前的问题了。” 罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归法的根本特征：把没解决的问题转化，归结为已经解决了的问题。 实际上，化归法对同学们来说，并不是什么新东西。比如，当你刚刚学过“同分母分数的加减法法则”后，给你一道异分母分数相加或相减的计算题，你会怎么办呢？由于分母不同（分数单位不同）的分数不可以直接相加减，因而你会想到：把它们的分母转化为相同。只有一个办法，那就是通分。这里的“通分”，就是数学家们所说的化归。 现在，我们来讨论一个问题。 如右图，ABCD是正方形，边长8厘米，E、F分别是CB和CD的中点，求阴影部分的面积。显然，本题应对“需求问题”进行化归，因为阴影部分是三角形，其底和高都不知道，不容易直接求出其面积。那么怎样化归问题最简单呢？同学们一定会想到，将求阴影部分的面积化归为求正方形的面积和三个三角形的面积，即 阴影部分面积 ＝8×8－（ ×4×8×2＋ ×4×4） ＝24（平方厘米）。 想一想，有没有更好