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微分方程.ppt

微分方程

139*****064@sina.cn 2012-09-17 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《微分方程ppt》,可适用于工程科技领域,主题内容包含数学建模与数学实验微分方程实验目的实验内容.学会用MATLAB求微分方程的数值解..学会用MATLAB求简单微分方程的解析解..求简单微分方程的解析符等。

数学建模与数学实验微分方程实验目的实验内容.学会用MATLAB求微分方程的数值解..学会用MATLAB求简单微分方程的解析解..求简单微分方程的解析解..实验作业..求微分方程的数值解..数学建模实例.求微分方程的数值解(一)常微分方程数值解的定义(二)建立数值解法的一些途径(三)用MATLAB软件求常微分方程的数值解返回.目标跟踪问题一:导弹追踪问题.目标跟踪问题二:慢跑者与狗.地中海鲨鱼问题返回数学建模实例微分方程的解析解求微分方程(组)解析解的命令:dsolve(‘方程’,‘方程’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)ToMATLAB(ff)结果:u=tg(tc)解输入命令:y=dsolve('Dy*Dy*y=','y()=,Dy()=','x')结果为:y=exsin(x)ToMATLAB(ff)解输入命令:x,y,z=dsolve('Dx=*x*y*z',  'Dy=*x*y*z','Dz=*x*y*z','t')x=simple(x)将x化简y=simple(y)z=simple(z)结果为:x=(ccccetcet)ety=cetcetcetcetccc)etz=(cetcetccc)etToMATLAB(ff)返回微分方程的数值解(一)常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解.而实际中的对初值问题一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式.因此研究常微分方程的数值解法是十分必要的.返回(二)建立数值解法的一些途径.用差商代替导数此即欧拉法..使用数值积分对方程y’=f(x,y),两边由xi到xi积分并利用梯形公式有:实际应用时与欧拉公式结合使用:此即改进的欧拉法.故有公式:.使用泰勒公式以此方法为基础有龙格库塔法、线性多步法等方法..数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk)(其中k为正整数h为步长)时称它是一个k阶公式.k越大则数值公式的精度越高.欧拉法是一阶公式改进的欧拉法是二阶公式.龙格库塔法有二阶公式和四阶公式.线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式.返回(三)用MATLAB软件求常微分方程的数值解tx=solver(’f’,ts,x,options).在解含n个未知数的方程组时x和x均为n维向量M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出..使用MATLAB软件求数值解时高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:.建立M文件vdp.m如下:functiondy=vdp(t,y)dy=zeros(,)dy()=y()dy()=*(y()^)*y()y().取t=tf=输入命令:T,Y=odes('vdp',,)plot(T,Y(:,),'').结果如图ToMATLAB(ff)解.建立M文件rigid.m如下:functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(,)dy()=y()*y()dy()=y()*y()dy()=.*y()*y().取t=tf=输入命令:T,Y=ode('rigid',,)plot(T,Y(:,),'',T,Y(:,),'*',T,Y(:,),'').结果如图ToMATLAB(ff)图中y的图形为实线y的图形为“*”线y的图形为“”线.返回导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(,)处的乙舰发射导弹导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v(常数)沿平行于y轴的直线行驶导弹的速度是v求导弹运行的曲线方程.乙舰行驶多远时导弹将它击中?解法一(解析法)ToMATLAB(chase)轨迹图见程序chase解法二(数值解法).建立M文件eq.mfunctiondy=eq(x,y)dy=zeros(,)dy()=y()dy()=*sqrt(y()^)(x).取x=xf=.建立主程序ff.m如下:x=xf=.x,y=odes('eq',xxf,)plot(x,y(:,),’b.')holdony=:.:plot(,y,’b*')结论:导弹大致在(.)处击中乙舰ToMATLAB(ff)令y=y,y=y’将方程()化为一阶微分方程组.解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的坐标为(X(t)Y(t))导弹的坐标为(x(t)y(t))..因乙舰以速度v沿直线x=运动设v=则w=X=Y=t.解导弹运动轨迹的参数方程建立M文件eq.m如下:functiondy=eq(t,y)dy=zeros(,)dy()=*(y())sqrt((y())^(ty())^)dy()=*(ty())sqrt((y())^(ty())^)取t=tf=建立主程序chase.m如下:t,y=ode('eq',,)Y=:.:plot(,Y,'')holdonplot(y(:,),y(:,),'*')ToMATLAB(chase).结果见图导弹大致在(.)处击中乙舰与前面的结论一致.返回在chase.m中按二分法逐步修改tf即分别取tf=.,.,…,直到tf=.时得图.结论:时刻t=.时导弹在(.)处击中乙舰.ToMATLAB(chase)慢跑者与狗一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=跑步,设椭圆方程为:x=cost,y=sint.突然有一只狗攻击他.这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=,w=时狗的运动轨迹..模型建立设t时刻慢跑者的坐标为(X(t)Y(t))狗的坐标为(x(t)y(t)).则X=cost,Y=sint狗从(,)出发,与导弹追踪问题类似狗的运动轨迹的参数方程为:.模型求解()w=时,建立M文件eq.m如下:functiondy=eq(t,y)dy=zeros(,)dy()=*(*cos(t)y())sqrt((*cos(t)y())^(*sin(t)y())^)dy()=*(*sin(t)y())sqrt((*cos(t)y())^(*sin(t)y())^)取t=tf=建立主程序chase.m如下:t=tf=t,y=ode('eq',ttf,)T=:.:*piX=*cos(T)Y=*sin(T)plot(X,Y,'')holdonplot(y(:,),y(:,),'*')在chase.m中不断修改tf的值,分别取tf=,.,.,…,至.时,狗刚好追上慢跑者.ToMATLAB(chase)建立M文件eq.m如下:functiondy=eq(t,y)dy=zeros(,)dy()=*(*cos(t)y())sqrt((*cos(t)y())^(*sin(t)y())^)dy()=*(*sin(t)y())sqrt((*cos(t)y())^(*sin(t)y())^)取t=tf=建立主程序chase.m如下:t=tf=t,y=ode('eq',ttf,)T=:.:*piX=*cos(T)Y=*sin(T)plot(X,Y,'')holdonplot(y(:,),y(:,),'*')在chase.m中不断修改tf的值,分别取tf=,,,…,可以看出,狗永远追不上慢跑者.ToMATLAB(chase)()w=时返回地中海鲨鱼问题意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究从第一次世界大战期间,地中海各港口几种鱼类捕获量百分比的资料中他发现鲨鱼等的比例有明显增加(见下表)而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降从而食用鱼增加鲨鱼等也随之增加但为何鲨鱼的比例大幅增加呢?他无法解释这个现象于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra希望建立一个食饵捕食系统的数学模型定量地回答这个问题.该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用是Volterra提出的最简单的模型.首先建立M文件shier.m如下:functiondx=shier(t,x)dx=zeros(,)dx()=x()*(.*x())dx()=x()*(..*x())其次建立主程序shark.m如下:t,x=ode('shier',,)plot(t,x(:,),'',t,x(:,),'*')plot(x(:,),x(:,))ToMATLAB(shark)求解结果:左图反映了x(t)与x(t)的关系.可以猜测:x(t)与x(t)都是周期函数.模型(二)考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为e相当于食饵的自然增长率由r降为re捕食者的死亡率由r增为re模型求解:.分别用M文件shier.m和shier.m定义上述两个方程.建立主程序shark.m求解两方程并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例x(t)x(t)x(t)的图形ToMATLAB(shark)实线为战前的鲨鱼比例“*”线为战争中的鲨鱼比例结论:战争中鲨鱼的比例比战前高!返回实验作业.一个小孩借助长度为a的硬棒拉(或推)某玩具.此小孩沿某曲线行走计算并画出玩具的轨迹..讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系.()若国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时国民平均收入才是增长的.()作出k(x)和r(x)的示意图分析人口激增会导致什么后果.返回

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