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数学物理方法_课件.pdf

数学物理方法_课件.pdf

上传者: 冰棒 2012-09-17 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《数学物理方法_课件pdf》,可适用于工程科技领域,主题内容包含数学物理方法数学物理方法配套电子教案配套电子教案梁昆淼梁昆淼编编高等学校试用教材高等教育出版社上课时间:每学年春季学期上课地点:德润楼主讲教师:王松符等。

数学物理方法数学物理方法配套电子教案配套电子教案梁昆淼梁昆淼编编高等学校试用教材高等教育出版社上课时间:每学年春季学期上课地点:德润楼主讲教师:王松平(Email:phspwangqdueducn)讲课学时(周):(共周复习考试周)学时其中:五月一放假学时。学分:学分学习成绩:平时成绩%+期中%期末=平时作业:习题(梁昆淼书)考试方式:期中、末考试闭卷第一章复数与复变函数第二章复变函数的积分第三章幂级数展开第四章留数定理第五章傅里叶变换第六章拉普拉斯变换学习内容(学时):第七章定解问题第八章分离变量法第九章级数解法本征值问题第十章球函数第十一章柱函数第十二章格林函数,解的积分公式第十三章积分变换法引言数学物理方法:物理学中的数学方法主要强调应用数学解决物理问题。如:力学中的微分方程电动力学量子力学中的篇微分方程等特点:与物理学紧密联系不是纯数学为物理学提供数学工具它属于物理课程。用到的数学知识和物理知识多繁杂必须具备良好的数学基础基本的基础物理知识,如何学习:太难了!太重了!枯燥!乏味!Thekey:下功夫多做习题不要畏惧有王老师呢!第一章复数与复变函数复数与复数运算复变函数导数解析函数平面标量场多值函数复数与复数运算复数是数的扩张(完善化)u自然数u减法不封闭整数u除法不封闭有理数u不完备实数u方程可解性复数复数的基本概念()复数:一对有序实数(x,y)记为z=xiy称为复数(i=)规定:)z=z=xiy=xiy,当且仅当x=x,y=y)zz=(xx)i(yy))zz=(xxyy)i(xyyx))(==yxyxyxyxiyxyyxxiyxiyxiyxiyxiyxiyx)()按定义:容易验证加法交换律、结合律乘法交换律结合律分配律均成立。()共轭复数:iyxz=与互为共轭复数。iyxz=()复平面:一对有序实数(x,y)平面上一点(x,y)复数xiy如果把x和y当作平面上的点的坐标复数z就跟平面上的点一一对应起来这个平面叫做复数平面或z平面x轴称为实轴y轴称为虚轴,,Im,Re,,zzzzzzzzzzzzzizzzzzyxzzzz=øöççèæ======xyz=xiyθ()复数的几种表示法:)几何表示:一矢量与一复数z构成一一对应复数的加减与矢量的加减一致。zzzzzzzzzyxzyzx,xyz=zzzzxyz=zzzzz)复数的三角形式和指数形式用极坐标r,φ代替直角坐标x和y来表示复数z有ïîïíì==)(xyarctgyxjrîíìjr=jr=sincosyx则复数z可表示为三角式:)sin(cosjjriz=代数式:jriez=z=rArgz=j分别叫做该复数的模,和辐角讨论:i)复数的幅角不能唯一地确定如果φ是其中一个幅角则φ=φkπ(k=,,,…)也是其幅角把属于,π)的幅角称为主值幅角记为argzargz<πii)复数“零”的幅角无定义其模为零jjjieisincosz==iii)当ρ=时,称为单位复数利用复数的指数形式作乘除法比较简单如:)sin(i)cos(ezz)(ijjjjrrrrjj==)sin()cos()(jjjjrrrrjj==iezzi()复数的乘方与开方:)sin(cosjjrrjninezninnn==非零复数z的整数n次幂为:ArgArgArgArgArgArgzzzzzzzzzzzzzzzz====jjjjnininsincos)sin(cos=ρ=时非零复数z的整数n次根式为:),,()sin(cos===nknkinkeznnkinnpjpjrrpj无穷远点复平面上一点与球面上的点一一对应复平面上点与球面上N相对应点的幅角无意义。复平面为闭平面。(全平面扩充平面)。AA’NS例求iiK,k==úûùêëé=kπ)π(eeiikππii)(例求argp<<iziz表示的图形argp<<iziz)(,>><yxyxx于是有:解:)(i)()()(==yxxyxyxyixyixiziz解:)()(>>yxxyxyx复变函数复变函数的定义:E为复数集对E上每一复数有唯一确定的复数w与之对应则称在E上确定了一个单值函数记w=f(z)(zE)。若z与多个w对应则称在E上确定义了一个多值函数E为函数的定义域。区域的概念:满足一定条件的特殊集合首先说明:点的邻域:以Z为中心(任意小正数)为半径的圆内点的集合称为z的ε邻域即εzz<内点:若z及其邻域的场属于E则称z为E的内点边界点:若z的任意邻域总有属于点集E和不属于点集E的点称为E的边界点。边界点的全体构成边界。区域:满足下列两个条件的点集B称为区域。()每一点均为内点。(开集性)()连续性:B内任意两点都可用完全属于B的曲线连接起来。闭区域:B边界Γ=闭区域单连域:在区域B作任何简单闭曲线(没有重点)内所包围的点全属于B否则为多连通区域。例:是闭区域但不是区域。z<<iz为多连通区域复变函数的极限和连续()复变函数的极限和连续的定义同实变函数极限、连续定义完全相同。只不过当zz时从任意方向。f(z)在B上各点连续称f(z)在B上连续。由于:f(z)=u(x,y)iv(x,y)如z=xyixy)()(limibawzfzz==ayxuyyxx=),(limbyxvyyxx=),(lim这样f(z)在z连续可归结为u,v在(x,y)连续。复变函数中极限、连续在定义形式上与微积分中相对应关于其中的函数极限连续的性质和运算法则在复变函数中亦成立。复变函数分类复变函数分类(广义)复数数列复变函数(狭义)初等函数非初等函数代数函数超越函数有理函数无理函数整式函数分式函数无限次运算无限次复合级数无穷乘积幂级数傅立叶级数例:初等单值函数幂函数:w=znn=,,多项式:aazazanznn为整数有理分式:nnnnzbzbbzazaaLLn为整数指数函数:)sin(cosyiyeeewxiyxz===zkizee=p(k=,…)以πi为周期zzzzeee=不存在=µzzelimlim,lim==µµeezz正余弦:)(sinzizizeei=)(coszizizee=sinz为奇函数cosz为偶函数均以π为周期)(),(zzzzeechzeeshz==若复数内不一定成立cos,sinzzcos)(yyyiyiiyeeeeeiy>==如y充分大cosiy可以大于任意指定函数初等多值函数后面专门讨论!导数定义:设w=f(z)在B上游定义。若在B内某zB,极限zzfzzfzwzzDD=DDDD)()(limlim存在则称f(z)在z可导记为)()(zfdzzdf或注:复变函数和实变函数的导数的定义虽然形式上相同实质上却有很大的区别这是因为实变函数Δx只沿实轴逼近零而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多zx例:iyxzzf==)(在复平面上处处不可导zzzzzzDD=DDQ当Δz沿实轴,DD=DDD=Dxxxzxz沿虚轴,=D=DD=Diyyizziyz极限不存在因而不可导。可导必定连续连续不一定可导这样的函数在实变函数中不易找到但是在复变函数中屡见不鲜如iyxzzf==)(求导法则:复变函数导数的定义在形式上跟实变函数的导数定义一样因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数。例如:ïïïïïïîïïïïïïíì=====dzdwdwdFwFdzddwdzdzdwwwwwwwwdzddzdwwwdzdwwwdzddzdwdzdwwwdzd)()()()(ïïïïïïîïïïïïïíì=====zzdzdzzdzdzzdzdeedzdnzzdzdzznnlnsincoscossin可导的必要条件CauchyRiemann条件若f(z)=u(x,y)iv(x,y)在z=xiy可导则yixviuzwzfyxzDDDD=DD=DDDlimlim)(沿x轴时Δy=vvixuxviux=DDD=Dlim上式沿y轴时Δx=yuiyvyiviuy=DDD=Dlim上式条件RiemannCauchy,==xvyuyvxu函数f(z)可导的充分必要条件:函数f(z)的偏导数存在且连续并且满足柯西黎曼方程。xvyuyvxu,,,证明:由于这些偏导数连续二元函数u和v的增量可分别写为:DDDDD=DDDDD=Deeeee时当zyxyyvxxvvyxyyuxxuu的方式无关)这一极限与()()(lim)()(limlimlimD=DDDDDD=DDDDD=DDD=DDDDDDDzxvixuyixyixxviyixxuOzyyvxxviyyuxxuzviuzfyxzzze由上述定理可得:复变函数与实变函数的导数有本质上的差别复变函数可微不但要求复变函数的实部与虚部可微而且还要求其实部与虚部通过CR条件联系起来。例如:函数在z=点满足CR条件但不可微。由于于是),(=yxv显然满足CR条件但在z=点并不可微因为:yixyxzfzfxyzfyxzDDDD=DD=DDDlim)()(lim,)(当Δz沿射线Δy=kΔx趋于零时:ikkxikxxkzfzfyxz=DDD=DDDDDlim)()(lim与k有关沿不同的射线k值不同所以该极限不存在从而函数在z=点不可微哥西黎曼条件为:ïïîïïíìr=jrjr=rvuvu在极坐标系中jriez=),(),()(jrjrivuzf=解析函数定义:若函数f(z)在点z及其邻域上处处可导,则称f(z)在点z解析。又若函数f(z)在区域B上每一点都解析则称f(z)是区域B上的解析函数注意:)有时说:“函数f(z)在某点解析”是指在该点的某一邻域内处处可导。在B上解析与在B上可导等价在一点解析与在一点可导不等价。)“函数f(z)在闭区域上解析”是指它在包含的某个区域上解析BB)如果f(z)在点z点不解析则称z为f(z)的奇点。例:考察函数f(z)=|z|是否解析方法按照定义或者求导公式方法按照充要条件,,,,)(=======yvxvyyuxxuvyxuyxzf解:CR条件仅在x=y=成立|z|仅在z=可导故在复平面上处处不解析。解析函数的性质()若函数f(z)=uiv在区域B上解析,则曲线族u(x,y)=C,v(x,y)=C在B上正交。证明:u=C,=C中任意两条曲线的斜率为yvxvkyuxudxdyk===,)()()()(===yvxvxvyvyvxvyuxukk()若函数f(z)=uiv在区域B上解析,则u,v分别为B上的调和函数调和函数:如果函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数而且满足普拉斯方程则H(x,y)为区域B上的调和函数îíì==yuxvyvxu,前一式对x求导,后一式对y求导,然后相加,这就消去了v而得到=yuxu同理消去u得到=yvxv即:他们都是调和函数,是同一复变函数的实部和虚部,所以也叫做共轭调和函数(由CR条件联系的函数)注:解析函数必定调和但任意两调和函数不一定组成一解析函数()解析函数的实部和虚部通过CR方程相互联系并不独立只要知道解析函数的虚部(或实部)就可求出相应的实部(或虚部)例如:给定的二元调和函数u(x,y)是解析函数的实部,试求相应的虚部v(x,y)首先,二元函数v(x,y)的微分式是:dyyvdxxvdv=dyxudxyudv=)()(xuxxuyuyuy===可见:上式是全微分可用下列方法计算出:ò=dvyxv),(例:已知解析函数的实部u=xxy,求该解析函数解:方法一曲线积分法。Cyyxdyyxxydxvdyyxxydxdyxudxyudyyvdxxvdvyxxx=====òò),(),(),(),()()(方法二凑全微分。Cyyxvyyxddyyxxydxdyxudxyudyyvdxxvdv=Þ====)()(x,x,y方法三:不定积分法。xyxv=)()(yyxyxydxvjj==ò)(yxyxyv==jcyyxvcyyyy==Þ=)()(jjicziciyxcyyxixyxf===)(z()()平面场(解析函数的应用)平面场:场中所有矢量平行于某一平面S而垂直于S的任意直线上的所有点矢量相等。平面静电场:jEiEEyxrrr=若空间无电荷无源场:yExEyExEEyxyx=Þ==Ñr而等值线u(x,y)=C的切向量:xyEEyuxudxdy==所以E与等值线u(x,y)=C相切可见u(x,y)=C就是电力线方程则存在可微函数:dyEdxEdyyudxxuduxy==()又因为E为无旋场:yExEyExEEEzyxkjiExyxykyxk=Þ==Ñ)(rrrrdyEdxEdyyvdxxvdvyx==则存在可微函数:()EjEiEjyvixvvyxrrrrr===Ñ即:v是电场E的势函数(电势)v=C是等势线。即:u(x,y),v(x,y)构成调和函数),(),()(yxivyxuzf=称为静电场的复势)()(zfixvixuixuixviEEEjEiEEyxyx======rrrr可见:只要知道复势可求得电势分布电力线的方程由()和()式可见:xyExvyuEyvxu====,电通量:jdsdxidsdyjijinjdsdyidsdxjinEnEnEEyyxxnrrrrrrrrrrrrrr=======aapapaaatcossin)sin()cos(sincosdsdxxudsdyyuEn=),(),(yxuyxududsENBABABAn===òòu是通量函数。多值函数azw=根式函数)(aziArgeazazw==()多值性把w的模或辐角分别记作r和θp==p=q=q=p==q=iaziazieazweazwazaznnazazArgazr)arg()arg()arg(),arg(),()arg()(,可见多值性来源于宗量(za)复角得多值性l’lzaaz()支点当z沿着l变化一周时Arg(za)由φφπ若开始对应关系是qieazw=qieazw=绕l一周后对应值变化为:但是沿l’一周后还原。对多值函数w=f(z)若z绕某点一周函数值不还原则称该点为多值函数的的支点若z绕支点n周w值复原则该点为多值函数的n阶支点。Z=也是函数的支点因为可令,),(==µ==tztwazt时绕z=a一周等价于绕z=一周()对应关系的确定单值分支:适当规定宗量za辐角的变化范围辐角变化的各个周期给出多值函数的的各个单值分支每一单值分支是一单值函数。)(当pp)(,,<<=azArgArgweazwiArgw)(当pppp)(,,<<=azArgArgweazwiArgw例:有两个单值分支azw=支割线(单值分支几何意义):在z平面上从支点z=a到支点z=任意引一条射线称为割线。规定上岸Arg(za)=时给出w规定上岸Arg(za)=π时给出w割线将z平面割开z连续变化时不得跨越支割线限制了z的变化范围这就使得在割开的z平面上的任意闭曲线不含支点z=a在内这样相应的函数值也只能在w平面上的一个单值分支上取值而不会由一支变到另一支这样就将多值函数变成了独立的单值函数。aaArg(za)=Arg(za)=πZ平面Argw=Argw=πw平面注意:把一个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关的对不同的支割线多值函数各单值分支的定义域和值域也就不同。现在让我们来观察一下当z在这双叶黎曼面上变化时函数值w如何变化。Riemann面两个单值分支在割破的z平面上都是解析的且:)(=azazdzd例:,)(,===)(求沿负实轴割开wwzw解:先确定那一分支iewzArgzArgezwzArgwizziArgz===<=====)()()(,)(,)(pppp)(又)QπZ平面π对数函数定义:若复数z且满足z=ew复数w称为z的对数函数并记为w=Lnz注意:z=时,w=Lnz没有意义对数函数为多值函数:iArgzzLnzwkzArgzvzruerreeerezivuwuiivui==p==j===Þ=Þ===jjlnarglnln,若限定Argz取argz(πargz<π)则z的对数只有一个称它为w=Lnz的主值分支记为:L,,lnarglnln=p==kkizLnzzizz单值分支、支点、支割线:对数函数只有两个支点从点到点作支割线即可得到在这割破的z平面上的无穷多单值分支。L,,)(ln)(ln=pj=kkizzk无穷多个单值函数都是解析函数且:L,,)(ln==kzzdzdk)()()()()()(zLnzLnzzLnzLnzLnzzLn==LnznzLnnLnzLnznn==不成立一般幂函数定义:一般幂函数zα=eαLnz(α为复常数)对z都有意义,由于Lnz的多值性zα一般是多值函数(除α为整数)。由z=sinw定义反正弦函数w=Arcsinz由z=cosw定义反余弦函数w=Arccosz)(cos)(sin==Þ===Þ=zzLnizArcweezzizLnizArcwieeziwiwiwiw反三角函数)lnsinln(cos)()()(ln)(ieeeikkiiiiLni===pppp例:从认知世界中获得快乐!继续努力拼搏!!第二章复变函数的积分复变函数的积分Cauchy定理不定积分和原函数Cauchy积分公式智慧的爆发来自不断的学习和的积累!复变函数的积分定义及其计算:()定义:设在复平面的某段光滑曲线l上定义了连续函数f(z)在l上取一系列分点,zz……zn把l分成n个小段在每个小段zk=zkzk上任取点ζk,作和:å=Dznkkkzf)(于n而且每一小段都无限缩短时,如果这个和的极限存在,而且其值与各个ζk的选取无关,则这个极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B路积分,记作åò=Dz=nkkknlzfdzzf)(lim)(()复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分:),(),()(,yxivyxuzfiyxz==Qdyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzflll),(),(),(),()(=òòò()计算:设在αβ上曲线l的方程是:z(t)=x(t)iy(t)òòba=dttztzfdzzfl)()()(为半径的圆周)为中心为以(的整数r=îíì=p=òazlnniazdzln)(例证明证:dteidzeazlititr=r=,的方程:设òòpp=rr==,iedteiazdznititlòòòpp=r=rr=)(int)(,dteiedteiazdzntninnitln例计算:òò==Re,RellzdzIzdzI==òòxdxidyoIiidyxdxI==òò解:Oiyxllll可见,两个积分,虽然被积函数相同,起点,终点亦相同,但由于积分路径不同,其结果并不相同,一般来说,复变函数积分之不仅依赖与起点和终点,同时还与积分路径有关()积分性质:òòò=llldzzfadzzfadzzfazfa)()()()(òòò=)()()(lllldzzfdzzfdzzfòò=lldzzfdzzf)()(òòò=lllzfMMLdszfdzzfdzzf的上界)是)(()()()(åååD=DDkkkkkksfzfzf)()()(zzzQCauchy定理单连通区域Cauchy定理证明:单通区域:是这样的区域,在B上作任何简单的闭合围线,围线内的点都是属于该区域B单通区域柯西定理:如果函数f(z)在闭单通区域解析,则沿上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是的边界),有BBB)(=òldzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzflll),(),(),(),()(=òòò由于f(z)在上的解析,因而在上连续,对上式右端实部和虚部分别用格林公式yvxvyuxu,,,BBòò=sldxdyyPxQQdyPdx)(òòòòò=ssldxdyyvxuidxdyyuxvdzzf)()()(由于f(z)在上的解析其实部u和虚部v满足柯西黎曼条件代入之即得结论。定理条件还可以减弱:如果函数f(z)在单通区域B上解析,在闭单通区域上连续,则沿上任一段分光滑l(也可以是的边界),有BBB)(=òldzzf推论:f(z)在上解析与积分路径无关。òBAdzzf)(B复连通区域Cauchy定理:()复连通区域:有奇点的情况ll()区域围线正向:当观察者沿着这个方向前进时,区域总在观察者的左边()定理:如果f(z)是闭复通区域上单值解析函数,则B)()(=åòò=nillidzzfdzzf式中:l为区域外境界线,诸li为区域内境界线,积分均沿境界线的正方向进行åòò==nillidzzfdzzf)()(逆逆或证明:作割线化复连通区域为单连通区域)(=òòòòòòòCDlCDABlABldzzf)()()(=òòòllldzzfdzzfdzzfåòòåòò====nillnilliidzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(逆逆或)闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。)闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零)复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分。DBA’B’D’C’ACllilîíì==pòa,a,)(不包含或的整数包含lnlnazdziln例:证明解:若回路l不包围点a,则被积函数在l在所在区域上是解析的,按照柯西定理,积分值为零llRRîíì=p==òò的整数)()(nniazdzazdzRlnlnl包围点a应用复连通区域Cauchy定理得:解:应用复通区域Cauchy定理:òlzzdz例:计算lll)()()(=pp==òòòiidzzzdzzzdzzflllF(z)在B上是解析的,且F’(z)=f(z),即F(z)是f(z)的一个原函数不定积分函数f(z)在单通区域B上解析,则沿B上任一路径l的积分的值只与起点和终点有关,与路径无关因此,当起点z固定时,这个积分就定义了一个单值函数:òldzzf)(òzz=zzdfzF)()(证明:我们只要对B上任一点z证明F’(z)=f(z)就行了以z为圆心作一含于B小圆在小圆内取点zzDòòzzzzD=DDDzzzzzdfdfzzzFzzF)()()()(òDzzD=DDzzzdfzzzFzzF)()()(zzzΔzòDzzD=DDzzzdzffzzfzzFzzF)()()()()(由于z在B上连续,对于任意给定的正数ε,必须存在正数δ使得当e<ze<z)()(,zffz时e=DDe=zeD<zzD=DDòòDDzzdzdzffzzfzzFzzFzzzzzz)()()()()()()()(limzfzzFzzFz=DDÞDF’(z)=f(z)的函数F(z)称为f(z)在B上的一个不定积分或原函数同实函数一样)()()(zFzFdfzz=zzò证明:应用复连通Cauchy定理得Cauchy积分公式单通区域Cauchy积分公式òap=aldzzzfif)()(若f(z)在闭单通区域上解析,l为的围线,a为内任意一点,则有柯西公式:BB)()()()()()()()(aaap=aaap=ap=apòòòòeeefdzzfzfidzzffzfidzzzfidzzzfillll可见只要证明上式右端第一项等于零即可。估计:llεεαpeeaaaòe)()(max)()(fzfdzzfzfl其中:max|f(z)f(a)|是|f(z)f(a)|在le上的最大值令则,由于f(z)连续性,因而有即,于是,,eael)()(afzf)()(maxafzf)()(maxlim)()(lim=apaaeeòfzfzfzfòzzzp=ldzfizf)()(一般写为:解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。证明方法dzazzfdzazzfrazrLòò==||)(lim)(jjjpjjjpdireafdirerereafiriiir)(lim)(lim==òò)()(afidiafpjp==ò复通区域Cauchy积分公式)()()(òòaap=alldzzzfdzzzfif无界区域Cauchy积分公式llαCRlz)()()(òòzzzzzzp=逆顺RCldzfdzfizf由于f(z)在无限远处连续,即任给ε>,总能找到相应的R,使得当|z|>R时有,其中有界,于是只要R>R,则有:e<)()(fzf)(fRzRdzffdzfidzfifdzfiRRRRCCCCpep<zzzpzzpzzzp=zzzpòòòò|||||)()(|)()()()()()(lim=zzzpòfdzfiRCR既有:)()()(zzzp=òfdzfizfl顺所以:òzzzp=顺ldzfizf)()(特别f()=:解析函数的无限次可微性:Cauchy积分公式积分号下对z求导,得zzzp=òdzfizfl)()(!)(反复在积分号下求导,得zzzp=òdzfinzflnn)()(!)(可以证明求导是合法的模数原理:设f(z)在某个闭区域上为解析,则|f(z)|只能在境界线l上取最大值刘维尔定理:如f(z)平面上为解析,并且是有界的,即则f(z)必为常数Nzf)(推论:内解析)在lizeeieiizeiizldzizizedzzeizizizlizliz=p=p====òò():()(例:例:òòò=>)()():()(lzlzlzdzzedzzezldzzeiilll复连通柯西定理)sin()()()()()()(pp=úûùêëépúûùêëép====òòiizeiizeidzizizedzizizeizzizzlzlz从小小的环球到浩瀚的宇宙运动是和谐的揭示本质的规律是简单的人类就是要不断的认识还没有认识的世界的规律!第三章复变函数的幂级数展开复变项级数幂级数Talyor级数展开解析延拓洛朗级数展开孤立奇点的分类复数项级数复数项级数研究解析函数:连续、极限微分,积分级数LL=å=kkkwwww()每一项均为复数的级数为复数项级数ååå=====nkknnkknnkknKkkviuwivuwlimlimlim由于所以级数()的收敛归结为两个实数级数的收敛。柯西收敛判据()收敛的充要条件是:对任意给定小正数ε,存在N使得n>N时e<å=pnnkkw式中p为任意正整数绝对收敛级数的性质绝对收敛级数收敛称)(å=kkw))绝对收敛级数的和与求和次序无关)二绝对收敛级数åå====kkkkqspsqpqpqpqpqpqpqpqpqppppqqqL=)(qpqpqpss该级数也是绝对收敛的。一致收敛、判别法、性质)复变项级数:它的各项是z的函数)()()()()(=å=zwzwzwzwzwkkk如果在某个区域B(或某根曲线l)上所有的点,级数()都收敛,就叫做在B(或l)上收敛。())一致收敛的柯西判据:在B(或l)收敛的充分必要条件是,在B(或l)上各点z对于任意给定小的正数ε,必有N(z)存在,使得n>N(z)时,如果N跟z无关,就把复数项级数叫做在B(或l)上一致收敛。,)(e<å=pnnkkzw上绝对一致收敛。在则收敛若各项BzwmBzmzwkkkkkk)(),()(åå==Î)若一致收敛的外氏判别法,,)(上连续则其级数的和函数在上连续每一项在上一致收敛在若BBBzwå))(zwkkå=)一致收敛级数可逐项积分和微分ååòò===)()()()()()(knknlzwzwdzzfzw幂级数为中心的幂级数的级数称为以形如)(zzzaknkå=比值判别法收敛时〈正项级数)(limlim)()(zzaazzazzazzazzakkkkkkkkkkkk==åå绝对收敛。时〈即绝对收敛。即有åå===)(lim)(kkkkkkkkkzzwRzzaaRzzw)(,lim发散时即有即后面的项越来越大则另一方面若å=>=>>kkkkkkkkkkzzwRzzRaazzazzaRzz收敛圆,收敛半径在CR的内部级数一致收敛在圆外发散R为收敛半径CR为收敛圆。å=)(kkkzzwzR根值判别法kkkaRlim=()不变。积分微分和函数解析可以逐项闭圆内一致收敛在其收敛圆内任一圆心Rzzakkå()闭圆内一致收敛〈又收敛正项级数任一闭圆半径==ålimlim,,RRRaaRaRaRaRazzaRkkkkkkkkkkkkkkQQTalor级数展开定理:f(z)在以z为中心的圆CR内解析则对圆内任一点z()()()()()同心的圆且与内包含为!RRRKKckkkkCzCCzf

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