不同损失函数下偏正态分布的Bayes估计

不同损失函数下偏正态分布的Bayes估计 Bayes 不同损失函数下偏正态分布的 估计 ,孙玉莹王德辉 ( ,130012)吉林大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 学院长春 : ,Bayes ,摘要在二次损失函数和平衡损失函数下研究偏正态分布的 估计及估计的优良性 ,Bayes ,给出了不同模拟方法的结果并比较了不同损失函数下 估计的差异性 : ; ; ; Bayes 关键词二次损失函数平衡损失函数偏正态分布估计 : O212, 7 : A : 1671-5489(2012)04-0638-09中图分类号文献标志码文章编号 Bayes Estimation for the Half-normal Distribution er Different Loss Function und SUN Yu-yng,WANG De-hu ii ( College of Mathematics,Jilin University,Changchun 130012,China) Abstract: The present paper covers the Bayes estimation of the half-normal distribution and compares the goodness of estimation under the quadratic loss function and the balance loss function, And it also proposes the similar result under Monte Carlo simulation and numerical simulation,and compares the differences of the estimations between different loss functions, Key words: quadratc oss functon; baance oss functon; haf-norma dstrbuton; Bayes estmaton ilillilliiiii ,实际应用中通常假设某个模型的测量误差服从正态分布但通过对这些数据进一步处理分析发,、, HN( ,) ,,现此时误差具有重尾多峰性及有偏等性质不服从正态分布本文称其服从偏正态分布 ξη 2 / 2 π( x , )ξ 槡 exp ,x ， , ， ， ; ， 0; ,,: =f( x) , ξ其中? ξ ? η ξη 分别称为位其分布密度函数为 , 2,η 2 η ,置参数和尺度参数 , ,,偏正态分布是正态分布的一种推广有许多类似于正态分布的性质同时它保留了正态分布的 优,, ,、,、、点如简单性可操作性并在处理有偏重尾多峰性数据时有较好的效果目前偏正态分布的 研究,1-2,,Pewsey、Bayes ; 已有许多结果如 给出了该模型参数的矩估计极大似然估计及平方损失下的 估 计,3,Wiper t Bayes ,等针对偏正态分布和偏 分布分别给出了平方损失下的 推断结果并与最大似然估 计进 , ,行了对比本文引入二次损失和平衡损失函数在广义先验分布下基于样本和先验信息对参数进 行 Bayes ,推断 1 Bayes 二次损失函数和 估计 ,X,…,X, ,X,X,…,XXHN( ,) n 设 为来自偏正态分布 ξη的一组容量为 的简单样本显然关 于未1 2 n 1 2 n ( ,) 知参数ξη的联合密度为 -08-10,: 2011收稿日期 : ( 1988—) ,,,,,E-mail: 837992451 @ qq, com, : 作者简介孙玉莹女汉族硕士研究生从事时间序列分析的研究通讯作者王德辉 ( 1969—) ,,,,,,,E-ma wangdh@ u, edu, cn,il:jl男汉族博士教授博士生导师从事数理统计的研究 n n /2 2 12 f( x,…,x) = exp ( x , , ,)1 n ξ2? i 2 ， ，, , πη 2 η i = 1 2 ( ,) ( ,) ,: , ， ， + ; 0 ， ， + , ,1,取ξη的广义先验分布 π ξη? η其中? ξ ? η ? 由文献可得 , 2 ( ,) ,( RTNG) ,ξη 的后验联合分布称为右截断正态 Γ 分布记为 2 2 ( ,1 / ) : RTNG( x,x,n,( n ,1) /2,( n ,1) s/2) ,ξη 珋 ( 1) x, ,,其中 为样本的最小次序统计量显然可得 ξη 的边际后验密度为 ( 1) ,x ξ 珋 n ,1 ， ，? s / n n 槡 槡 f( ) = f( ,) d= , , ， ， x, ( 1)ξ ξη η ? ξ xx( 1)?0 sx,x 珋 ( 1) Φ n ,1 ， ，s /n 槡 x, x珋( 1) Φ ， ，2 ( n ,1) /22 ,1) s )( ( n /n( n ,1) s η , n 槡 f( ) = 2 η xexp , , 0 ， ，+ , ( 2)η η ? , 2, x,x n ,1 珋2( 1) η ΓΦ， ， n ,1 ， ， 2s /n 槡 其中 t t 2 , ( d +1) /2 ( ( d + 1) /2)Γ tdt, ( 3) ( t) = ( t) dt Φ1 + d d ， ??， , ? , ? d( d /2)πΓ d槡 1, 1 Bayes 二次损失函数下 ξ 的 估计,4-5,取二次损失函数为 2 2 , ( 4) L( ,) = ( , / , , ， ， x) δξδ ξξ? ξ ( 1) ( 4) ,,,损失函数消除了量纲避免了数据单位的影响提高了不同数据分析的可靠程度 ,,Bayes ,在上述二次损失函数下对于任何先验分布可得 ξ 的 估计 1 X f( x) ,,定理 设随机变量 的密度函数为 其中 ξ 和 η 分别称为位置参数和尺度参数在二次损 ( 4) ,,Bayes 失函数下对 ξ 的任何先验分布ξ 的 估计为 ,1 E( )ξ x =, ( 5)δ ,2 B E( ) ξ x 2 2 : L( ,) = ( , / ,( x) ,Bayes ) 证明由于 δξδ ξξ令 δ是 ξ 的任一估计则其 风险为 2, ( )δ ξ ( ) d, πξ ξR( ) = EL( ,) = xδδξ2? ξ ( x) ,x , Bayes 其中 πξ 是 ξ 先验分布的密度函数等式左端为 ξ 和 的联合分布取期望若使 风险达到最 ,Bayes , ,( 5) ,( 1) ,小只需关于 δ 求最小值解得 δ 的 估计为式进一步利用式有 , n /2, ,1 ， ， ? , ξ 1 + , 2 dξ x= , ( 6)( 1) δ,x 珋 ξ , B , 1 s /n , ? 槡,, n /2 n,1 , d2 ξ ，，? s / n , 2 ,x ξ 珋 x,, , ( 1) , ? ξ1 + 槡 , , n ,1 ( 6) ,,n ,由于式较复杂计算较困难故本文针对不同的样本容量 进行计算 1) ,,,对于较小的样本容量考虑将积分转化为级数的方法直接对其进行计算 :先用变量替换方法计算分子 , n /22 1 ， ， A d,ξ ,? , ,x 珋 ξ x,,( 1) ξ , ? 1 +, , ,1 n s /n 槡, ,x n n , 1 珋ξ ,= sx + x, A x = 不妨假设 则 ξ 珋故分子 可以简化为s n , 1 n 槡槡 , n /22 1 ,1 1 n 2 , n /2 ， ， A = , d= s ( 1 + x) dx, ( 7) ξ ,? , ,x 珋 ξ ?x,, , c( 1) , n ? ( x + a), ξ ? 1 + 槡 s /n 槡,, n ,1 ,x x珋 xn n 珋( 1) : a = ; c = ,其中s n , 1s n , 1 槡槡 ,( 6) 同理式中的分母可以化简为 2, n /2 1 ,1 1 n 2 , n /2 ，，B , s ( 1 + x) dx, ( 8) d= ξ ,? s / n , 2 ,x 2珋 ? ξ x,, , c, ( 1) n ? ( x + a) , ? ξ1 +槡 槡 , , n ,1 ,6, ,Romberg A,B ,的近似值再采用 求积公式分别对 积分估算即可得到 δB 2) ,( 6) ,对于较大的样本容量先用变量替换的方法对式进行化简得 ,1 ,1,n /2 0 ( ( x,x珋) / s) n / ( n ,1)( 1) 槡n ,1 ，sx n ，?sx + x+ x珋 珋 2 ， ，， ，,1 / c ,? xn =, ( 9)δ,2 B 2 ,n /2 n ,1 dx 1,1 x dx ( 1 + x) 1 + ? 槡 = 槡 ,2 ,2 ,n /2( ( x,x) / s) n / ( n ,1)珋槡( 1) 0 n ,1 ,2 ,1 ? x dx x+ sx珋，?， ， ,1 / c 2 ,n /2 n ,1 1 n 槡 ( 1 + x ) dxsx + x1 + 珋 ， ， 2，,? n x 槡 Monte Carlo ( 9) ,,再分别采用数值模拟和方法对式进行模拟得到 δ的近似值 B 1, 2 Bayes 二次损失函数下 η 的 估计 1 ,( 4) ,,Bayes 由定理 可知在二次损失函数下对 η 的任何先验分布η 的 估计为 2? , n ,1 x,x ,1) s( n 珋( 1) exp Φ d η,η,1 2η ,， ? , ，槡0 E( ) η 2η xη = ==ηB ,2 2? x , x珋E( ),1) s( n η , n ,2 x( 1) exp dη ,Φηη , 2 ,，，? 槡0 2 ηη 2, x) / ( s /n)( x2珋 ?槡( 1) , 1 ) s ( n , n ,1 t exp exp dt d, ηη, 2， , , ，, , ?? 0 , ? 2η 2 = 2( x, x) / ( n /n)珋 2?槡( 1) ( n , 1 ) s , n ,2 t exp dt d, exp ηη, 2， , ，, , , ?? 0 , ? 2 η 2 2 ( n +1) /2x, x珋( 1) ( n , 1 ) s n + 1 dt,1 sn Γ 槡 ， ， ， 2，? , 2?1 + ( nt) , ( 10) 2 ( n +2) /2x, x珋( 1) n + 2 ( n , 1 ) s 2dtΓ 2槡， ， ， ， ? 1 + ( nt) , ?2 1, 3 参数估计的优良性 2 ,、,定理 在二次损失函数下参数 ξ 和 η 的估计值具有相合性渐近无偏性和渐近正态性 ^ : = x, s / ( , 2) 、2 证明易证由矩估计得到参数 ξ 的估计值 ξ珋π 具有相合性渐近无偏性和渐近正 槡 ^ , , 态性下面证明二次损失函数下得到的参数估计值 δ与 ξ足够接近即证 B x, n /22 1 1 ny ,x 珋 1 + dy， ， ，， ? = 0, 11 x 2 x, s珋1 ，， , n /2 1ny ,x 珋 π n?+ ? ,2 ? s,1 n m s li 2 y, ? ( ), 槡dy 1 + 2 ， ， ， ， n ,1 , y? 2 ,n /22 1 y , x n 珋 ,即证 ( y) = y ,x + sf( y) = 1 + g,令 珋n n 2 ， ， ，， s n , 1 , 2 π y槡 xx11 , ( 12)= 0mlif( y) dy g( y) f( y) dy n n n ? ? n? + ? , ? , ? ( ,) ,由于样本取自以ξη为参数的偏正态分布故 m x= +P x/ n) ,i = 1,2,…,n = 1,li{( ,+ 1 }珋ξ ? ξξ 2 / , lim s =( ,2) / , limπηπ πη( i) 槡槡n?+n?n?++? ? ? g( y) g( y) = y , ( x) g( ) = 0, ，0 ,,g所以 依概率收敛到 ξ 且 依概率收敛到 ξ故对σ 足够大 n n ( 1) x ) ( 1af( y) dy ， , σ同理 n , ,) ,n ，N ( y) ， ，N ,N a( ,g; n 的 和 ?? ξ使得当 时σ当 f( y) dy 1 n 2 n ? ? a , ? x 1x1 ，f ( y) dy ( y) ,g ( y ) , n ，N = m ax { N ,N } lim , f也有类似性质故 当 时n g( y) f( y) dyn n 1 2 n n ? ? n + ?? , ? , ? ( 1 + ) , ,( 12) , 、σ由 σ 的任意性得式故二次损失下 ξ 的估计值满足相合性渐近无偏性和渐近正态 σ ,性 E( x) ,,1,,设 η 是 η 的估计值由文献有 x,x 珋n ,2 ( 1) n ,2 Φ ?n ,2 Γ， ， ， ，n ,1 2n ,1 槡s /n 槡 E( y ) =s?, ( 13)?x ,x n ,1 2 x珋( 1) 槡 Γ Φ，， n ,1 ， ，2 s /n 槡 Stirling 由公式 z 2π z 1 ( z) = 1 + O , ( 14)Γ，， ， ， ， ，z z e 槡 经计算得 ( x, x珋) / ( s /n) 2, ( n ,1) /2槡( 1) tn ,1 1 + Γ ， ，，， ? , ? n ,1 2n ,1 E( ) = η s , ( 15)x( n /2)2Γt 槡1 + ， ，? ( x, x) / ( s /n)珋 槡( 1) 2 , n /2 , ? n ,1 ( ( n , 1) /2) , 1 n Γs ,,7,,由文献及偏正态的性质易证是 η 的渐近无偏估计和渐近正态估计具有( n /2) 2Γ 槡 ,E( x) 、, 相合性从而 η 具有相合性渐近无偏性和渐近正态性 2 Bayes 平衡损失函数和 估计 ,8,取平衡损失函数为 n 2 w2 2 U( ,) = + ( 1 ,w) ( , ) , ( 16)ξδξ δ X, , ?δ η ， ，i n i = 1 π 槡 ,平衡损失函数 ( 16) ,已知 由模型的拟合度和估计的精度两方面综合衡量估计的好坏所 、,以它是一个更合理更全面的衡量 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ( 16) ,,Bayes ,在平衡损失函数下对于任何先验分布都可以得到 ξ 的 估计 3 X f( x) ,,定理 设随机变量 的密度函数为 其中 ξ 和 η 分别称为位置参数和尺度参数在平衡损 ( 16) ,,Bayes 失函数下对 ξ 的任何先验分布ξ 的 估计为 = wx, 2 / w + ( 1 ,w) E( ) , ( 17) δ珋ηπ ξ xB 槡 : ( x) ,Bayes 证明令 δ是 ξ 的任一估计其 风险为 R( ) = EU( ,) = U( ,) , ( ) dδδξδξπξ ξx? x , Bayes ,,其中等式左端为 ξ 和 的联合分布取期望若使 风险达到最小只需关于 δ 求最小值解得 ξ 的 Bayes , ,( 17) 估计为式证毕 3 Bayes 由定理 可得平衡损失函数下参数 η 的 估计为 E( ) ( 1 ,w) + wx 2 / ,w 2 / η 珋π ξπx槡槡=, ( 18)η B 1 ,w + w( 2 / ) π ,,、易证在平衡损失函数下参数 ξ 和 η 的估计值具有相合性无偏性和渐近正态性 3 对平衡损失函数的修正 ,9,取参数 ξ 的修正后平衡损失函数为 2 2 ^ ^^, ( X) ), )δ ξ , ( 19) U( ,) = w( + ( 1 ,w) ( ξξξξ0 : ( X) Bayes , Bayes ; w 其中δ为二次损失函数下 ξ 的 估计为事先给定的权重则 ξ 的 估计为0 = w( X) + ( 1 ,w) E( ) , ( 20) δδξ xB 0 ,同理取参数 η 的修正后平衡损失为 2 2 ^ ^^, ( X) ), )μ η , ( 21) ,) =U( w( + ( 1 ,w) ( ηηηη0 : ( X) Bayes , Bayes ; w 其中μ为二次损失函数下 η 的 估计为事先给定的权重则 η 的 估计为0 = w( X) + ( 1 ,w) E( ) , ( 22) ημη xB 0 2 ,、由定理 易证在修正后的平衡损失函数下参数 ξ 和 η 的估计值具有相合性渐近无偏性和渐近 ,正态性 4 数值模拟 4, 1 Bayes 不同损失函数下参数 ξ 的 估计 4, 1, 1 = 1 ,( 9 ) , 二次损失函数下 ξ 的模拟结果 在 ξ 的条件下对式进行数值模拟先将积分区域 ( , 1 / c,0) N ,n,进行 等分再对不同的样本容量 分 别 atab ( 9 ) ,Ml利用 软件计算式的分子和分母得到 参 1 , 数 ξ 的估计值与样本容量的关系如图 所示由 图 1 ,n ,可见样本容量 越大参数 ξ 的估计越接近 于 1,真值 ,Monte Carlo 下面在不同的样本容量下再用 方法对参数 ξ 的估计值进行随机模拟并进一步分 , Bayes 2析参数 ξ 的 估计与样本容量的关系如图 1 Bayes 图 数值模拟下 ξ 的 估计值与样本容量的关系 ; Bayes 所示参数 ξ 的 估计值标准化后的渐近分布 Fig, 1 Relationship between the estimation of under ξ 3 ,如图 所示 the numerical simulation and the sample size ( AAE ) ( MSE )进一步用绝对误差和均方误差 ,1,1 1 000 衡量二次损失函数下 ξ 估计的优良性模拟结果列于表 表 中数值均为随机模拟 次的平均 ,ABE Bayes Bayes ,,MSE AAE 值表示 ξ 的 估计值和 分别表示 ξ 的 估计值的平方偏差和绝对偏差 2 3 图 二次损失函数下参数估计与样本容量的关系图 二次损失函数下估计值标准化后的渐近分布Fig, 2 Relationship between the parameter estimation Fig, 3 Asymptotic distribution of the standardization er the quadratic loss function and the parameter estimation under quadratic loss und sample size function 1 = 1 表 参数 ξ 时二次损失函数下的模拟结果 Tabel 1 Simulation results under the quadratic loss function when = 1ξ nABEAAEMSE 500, 974 50, 025 50, 655 8 1000, 988 30, 011 70, 140 3 2000, 994 90, 005 10, 028 0 5000, 997 50, 002 10, 007 0 1 0000, 999 70, 001 10, 002 3 4, 1, 2 ,w n,平衡损失函数下 ξ 的模拟结果 在平衡损失函数下对不同的权重 及不同的样本容量 用Monte Carlo ( 17) , Bayes 4 方法对式进行模拟及分析可得参数 ξ 的 估计值与样本容量的关系如图 所 ,5 ,示其标准化后的渐近分布如图 所示 4 5 图 平衡损失函数下参数估计与样本容量的关系图 平衡损失函数下估计值标准化后的渐近分布Fg, 4 Reatonshp between the parameter estmaton Fg, 5 Asymptotc dstbuton of the standadzaton iliiiiiiiriirii e the baance oss functon and the sampe parameter estmaton unde baance oss rlliliirllund size function ,( AAE) ( MSE) ,进一步用绝对误差和均方误差衡量平衡损失函数下估计的优良性模拟结果列于 2,2 1 000 ,表 表 中数值均为随机模拟 次的平均值 4, 1, 3 ,w 修正后平衡损失函数下 ξ 的模拟结果 在修正后的平衡损失函数下对不同的权重 及不同 n,Monte Carlo ( 20) ,6 的样本容量 用 方法对式进行分析模拟得到 ξ 估计值与样本容量的关系如图 所 ,示 ,( AAE) ( MSE) ,进一步用绝对误差和均方误差衡量修正后平衡损失函数下估计的优良性模拟结 3,3 1 000 ,果列于表 表 中数值均为随机模拟 次的平均值 2 = 1 3 = 1 表 参数 ξ 时平衡损失函数下的模拟结果 表 参数 ξ 时修正后平衡损失函数下的模拟结果 Table 2 Simulation results under the balance Table 3 Simulation results under the adjusted loss function when = 1alance loss function when = 1ξ ξ b w n ABE AAE MSE w n ABE AAE MSE 0, 2250, 939 90, 060 13, 763 20, 2251, 053 20, 052 926, 711 0 500, 975 10, 024 90, 806 0501, 013 60, 032 1148, 794 4 1000, 992 50, 014 10, 280 61001, 000 40, 011 60, 250 8 2000, 992 20, 013 70, 280 32001, 000 20, 006 00, 071 2 3000, 998 30, 012 80, 257 53000, 999 50, 003 60, 021 7 0, 5250, 987 50, 035 12, 586 10, 5251, 001 00, 002 10, 007 5 501, 011 40, 021 82, 127 9501, 001 00, 002 10, 007 4 1001, 034 70, 037 41, 999 01001, 000 90, 002 10, 007 3 2001, 030 10, 027 31, 610 22001, 001 00, 002 10, 007 6 3001, 000 60, 027 91, 212 43001, 000 90, 002 20, 007 6 0, 8251, 036 40, 036 51, 590 70, 8251, 124 50, 243 9234, 32 501, 028 20, 030 41, 028 2501, 199 60, 199 6269, 22 1001, 002 40, 077 89, 573 91001, 005 00, 008 40, 102 9 2001, 002 00, 052 84, 541 32001, 000 20, 005 90, 059 3 3001, 000 90, 044 33, 120 83001, 000 00, 004 20, 030 6 : 、:1 3 14 6 ,通过对表 表 及图 图 和图 的分析可得如下结论 1 ) n ,1, ; w,样本容量 越大参数 ξ 的估计值越接近真值 故该估计为渐近无偏估计对同一权重 样 n ,AAE MSE ,0,Bayes Bayes ,;本容量 越大和 越小并且趋于 估计越精确故该 估计为参数的相合估 计 n ,,样本容量 越大参数 ξ 估计值标准化后的分布越接近标准正态分布故该估计为参数的渐近正 态估,计 2) n 、w ,,w ,AAE MSE ; 当样本容量 相同权重 不同时在平衡损失函数下权重 较小时和 较小在 ,w = 0, 5 ,AAE MSE ,Bayes , ,修正后平衡损失函数下时和 较小估计精度较高所以合适的权重能使 Bayes ,估计更精确 3) n ,Bayes 当样本容量 较小时二次损失和平衡损失函数下的 估计优于修正后平衡损失函数下的 , ,Bayes ,w = 0, 5 ,估计随样本容量的增加估计越来越精确且在权重 时修正后平衡损失函数下的 Bayes , ,,; 估计更精确故对于参数 ξ当样本容量较小时建议采取二次损失或平衡损失函数下的估计当 ,w = 0, 5 ,样本容量较大时采取 的修正后平衡损失函数下的估计 4, 2 Bayes 不同损失函数下参数 η 的 估计 4, 2, 1 = 2 ,( 10) , 二次损失函数下 η 的模拟结果 在 η 的条件下对式进行数值模拟先将积分区域化 ( 0,1) N ,n,Matlab ( 10 ) , 为并对其进行 等分再对不同的样本容量 分别用 软件计算式的分子和分母得 7 ,到参数 η 的估计值与样本容量的关系如图 所示 6 Bayes 图 修正平衡损失函数下 ξ 的 估计值7 Bayes 图 数值模拟下 η 的 估计值与 与样本容量的关系 样本容量的关系Fig, 6 Relationship between the Bayes estimation of ξ Fig, 7 Relationship between the estimation of under η under the modified balance loss function and the numerical simulation and the sample size the sample size Bayes , n , 7 ,n ,由图 可见样本容量 越大参数 η 的 估计越精确下面在不同的样本容量 下再用Monte Caro Bayes Bayes l,方法对 η 的 估计值进行模拟及进一步分析得到参数 η 的 估计值与样本容量 8 ,9 ,的关系如图 所示其标准化后的渐近分布如图 所示 8 9 图 二次损失函数下参数 η 估计值与样本数的关系图 二次损失函数下参数 η 估计值标准化后的渐近分布Fig, 8 Relationship between the estimation of under η Fig, 9 Asymptotic distribution of the standardization pa- the quadratic loss function and sample size rameter estimation under quadratic loss functionη ,( AAE) ( MSE) ,进一步用绝对误差和均方误差衡量二次损失函数下估计的优良性模拟结果列于 4,4 1 000 ,表 表 中数值均为随机模拟 次的平均值 4, 2, 2 ,w n,平衡损失函数下 η 的模拟结果 在平衡损失函数下对不同的权重 及不同的样本容量 对 ( 18) ,10 ,式进行随机模拟得到参数估计值与样本容量的关系如图 所示其标准化后的渐近分布如 11,图 所示 ,( AAE) ( MSE) ,进一步用绝对误差和均方误差衡量平衡损失函数下估计的优良性模拟结果列于 ,5,5 1 000 表 表 中数值均为随机模拟 次的平均值 4 = 2 表 参数 η 时二次损失函数下的模拟结果 Tabe 4 Simulation esuts unde the quadatc oss functon when = 2lrlrriliη nABEAAEMSE 501, 965 50, 054 64, 458 0 1001, 987 20, 072 13, 145 7 2001, 993 80, 041 62, 621 6 5001, 976 00, 052 51, 946 5 1 0001, 999 80, 067 31, 351 0 10 11 图 平衡损失函数下参数 η 估计值图 平衡损失函数下参数 η 估计值 与样本数的关系 标准化后的渐近分布 Fig, 10 Relationship between the estimation of under η Fig, 11 Asymptotic distribution of the standardization the balance loss function and sample size parameter estmaton unde baance oss functon iirlli 4, 2, 3 w n,Monte Carlo修正后平衡损失函数下 η 的模拟结果 对不同的权重 及不同的样本容量 用 ( 22) ,12 ,方法对式进行模拟得到修正后平衡损失函数下参数估计值与样本容量的关系如图 所示 ,( AAE) ( MSE) , 进一步用绝对误差和均方误差衡量平衡损失函数下估计的优良性模拟结果列于 6,6 1 000 ,表 表 中数值均为随机模拟 次的平均值 5 = 2 6 = 2 表 参数 η 时平衡损失函数下的模拟结果 表 参数 η 时修正后平衡损失函数下的模拟结果 Table 5 Simulation results under the balance Table 6 Simulation results under the adjusted loss function when = 2alance loss function when = 2η η b wnABEAAEMSEwnABEAAEMSE 0, 2252, 014 30, 237 888, 504 20, 2251, 983 60, 155 938, 915 4 502, 014 00, 161 741, 277 3502, 001 90, 121 822, 663 1 1002, 012 50, 111 819, 705 41002, 006 10, 115 420, 724 5 2002, 009 40, 081 910, 566 32002, 005 30, 078 49, 755 8 3002, 006 90, 063 36, 320 83002, 001 30, 064 76, 474 1 0, 5252, 098 30, 098 39, 732 00, 5251, 886 40, 253 926, 001 47 502, 064 00, 064 04, 206 6501, 933 50, 196 515, 597 1 1002, 045 30, 045 32, 248 81001, 959 20, 165 213, 224 6 2002, 042 90, 043 12, 262 92002, 090 80, 095 09, 220 6 3002, 042 70, 043 52, 455 03001, 997 70, 066 26, 886 4 0, 8251, 937 50, 132 726, 711 00, 8251, 919 30, 080 819, 196 1 501, 995 40, 125 321, 776 1501, 891 90, 118 215, 260 3 1002, 005 50, 113 720, 507 11001, 955 00, 055 04, 378 1 2002, 006 00, 083 611, 263 92002, 012 30, 053 34, 426 2 3001, 997 80, 067 67, 322 53002, 000 10, 063 46, 341 9 : 4 6 7、10 12,:由表 表 及图 图 和图 可得如下结论 1 ) n ,2,; w,样本容量 越大参数 η 估计值越接近真值 故该估计为渐近无偏估计对同一权重 样本 n ,AAE MSE ,0,Bayes容量 越大和 越小并且趋于 , Bayes ; 估计越精确故该 估计为参数的相合估计 n ,样本容量 越大参数 η 估计值标准化后的分布越 ,接近标准正态分布故该估计为参数的渐近正态估 ,计 2) n ,w ,当样本容量 相同权重 不同在平衡损 ,w = 0, 5 ,AAE MSE ; 失函数下权重 时和 较小在 ,w = 0, 8 ,AAE MSE 修正后平衡损失函数下时和 ,Bayes , ,较小估计精度较高所以合适的权重能使 12 Bayes 图 修正平衡损失函数下 η 的 估计值 Bayes ,估计更精确 Fig, 12 Relationship between the estimation of η 3) n ,当样本容量 较小时二次损失函数下的 e the modfed baance oss functon riilliundBayes , 5 ; w = 0估计最优权重 时的平衡损失函数下 and sampe sze li , 8 , ,Bayes ,w = 0估计和 时的修正后平衡损失函数下的估计随样本容量的增加估计越精确且权重为 0, 5 Bayes , ,n ,时平衡损失函数下和二次损失函数下的 估计更精确故对参数 η当样本容量 较小时建 Bayes ,n ,w 议采取优先考虑二次损失或平衡损失函数下的 估计当样本容量 较大时优先采取权重 = 0, 5Bayes ,的平衡损失或二次损失函数下的 估计 参 考 文 献 ,1 , Pewsey A, Large-Sample Inference for the General Half-normal Distribution ,J,, Commun Statist Theor Meth,2002, 31( 7) : 1045-1054, ,2 , Pewsey A, Improved Likelihood Based Inference for the General Half-normal Distribution ,J,, Communications in Statistics: Theory and Methods,2004,33( 2) : 197-204, ,3 , Wiper M P,Giron F J,Pewsey A, Objective Bayesian Inference for the Half-normal and Half-t Distributions ,J,,C ommunications in Statistics: Theory and Methods,2008,37( 20) : 3165-3185, ,4 , ZHAO Zhi-wen,WANG De-hui,LI Han, Approximate Bayesian Estimation for Parameters in Poission Regression under Quadratc Loss Functon ,J,, Journa of Jn Unversty: Scence Edton,2008,46( 5) : 836-840, ( ,, iililiiiiii赵志文王德辉李 , Poisson Bayes J,, : ,2008,46 ( 5) :,涵二次损失函数下 回归模型中参数的近似 估计 吉林大学学报理学版 836-840, ) ,5 , ,, ,M,, : ,1994,张尧庭陈汉峰贝叶斯统计推断 北京科学出版社 ,6 , ,,, ,M,, : ,2005,黄明游刘播徐涛数值计算方法 北京科学出版社 ,7 , ,,, ,M,, : ,1988: 367-372,茆诗松王静龙濮晓龙高等数理统计 北京高等教育出版社 ,8 , WEN L-mn,LN Xia,WANG Jng-ong, The Credbty Mode under Baance Loss Functon ,J,, Chnese Journa of iiIiliililliil Applied Probability and Statistics,2009,25( 5) : 553-560, ( ,,, 温利民林霞王静龙平衡损失函数下的信度模型 ,J,, ,2009,25( 5) : 553-560, )应用概率统计 ,9 , HONG Le, Credibility Premium under Asymmetric Loss Function ,D,: ,Master’s Degree Thesis,, Changchun: Jilin University,2008, ( , ,D,: ,,, : ,2008, )洪乐非对称损失函数下的信度保费 硕士学位论文长春吉林大学 ( : )责任编辑赵立芹