高等代数试题二

第五章 二次型 一、单项选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.(6.2) 下列二次型正惯性指数等于2的是( ) A: B: C: D: 2.(6.3) 下列矩阵合同于单位矩阵( ) A: B: C: D: 3.(6.4) 下列二次型属于正定的是( ) A: B: C: D: 4.(6.1) 与二次型 相对应的实对称矩阵是( ) A: B: C: D: 5.(6.4) n阶实对称矩阵正定的充要条件是( ) A: A的主对角线上元素全大于零 B: A的所有元素都大于零 C: A的所有主子式都大于零 6.(6.4) 如果任意 代入实二次型 中都有 则 是( ) A:正定 B:负定 C:不是正定 D:不一定正定, 7.(6.1) 设二次型 ， 则这个二次型应是( ) A: B: C: D: 答案：1、B; 2、C; 3、C; 4、B; 5、C; 6、D; 7、B; 二、判断题 1.(6.1) (1) 是二次型。( ) (2) 为 阶对称矩阵，且对任意 维向量 ，都有 则 。( ) (3) 为 阶反对称矩阵，当且仅当对任意 维向量 ，都有 。( ) (4) 设 ， 为 阶对称矩阵，若存在 阶矩阵 ，使 则 与 合同。( ) 答案： (1) √ (2)√ (3)√ (4) ╳ 2.(6.2) (1) 数域 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角形矩阵。( ) (2) 数域 上，两个 阶矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( ) (3) 二次型的秩等于它的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形中不为零的平方项的个数。( ) (4) 二次型的标准形中平方项的个数，与所作的非退化线性替换有关。( ) (5) 两个对称矩阵一定合同( ) 答案： (1) √ (2) ╳ (3)√ (4) ╳ 3.(6.2) (1) 复数域上两个 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( ) (2) 实数域上两个 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( ) (3) 矩阵 与矩阵 在复数域上不合同。( ) (4) 矩阵 与矩阵 在实数域上不合同。( ) (5) 对称矩阵的秩 和符号差 具有相同的奇偶性。( ) 答案： (1) √ (2) ╳ (3) ╳ (4) √ (5) ╳ 4.(6.4) (1) 实二次型 正定当且仅当 正定。( ) (2) 实二次型 正定当且仅当 。( 为正惯性指数 为它的秩)( ) (3) 实二次型 正定当且仅当它的正惯性指数 。( 为二次型秩) ( ) (4) 二次型 的主子式全大于零则 正定。( ) (5) 正定矩阵的各阶主子式均大于0。( ) (6) 正定矩阵合同于单位矩阵。( ) (7) 实二次型 负定当且仅当 ， 。( 为正惯性指数 为它的秩) ( ) (8) 实二次型 负定，则它的矩阵 的偶数阶顺序主子式全小于零。 ( ) (9) 实二次型 负定，则它的矩阵 的奇数顺序主子式全大于零。( ) (10) 实二次型 半负定当且仅当 。( 为正惯性指数) ( ) 答案： (1) √ (2) √ (3) ╳ (4) ╳ (5) √ (6)√ (7) √ (8) ╳ (9) ╳ (10) √ 5.(6.4) 下列二次型是否正定 (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) 答案： (1) √ (2) ╳ (3) ╳ (4)√ (5) ╳ 6.(6.2) (1) 若数域 上二次型 与 等价则 与 的秩相等反之成立吗？( ) (2) 若 与 合同则 ，反之如何？( ) (3) 对称矩阵只能与对称矩阵合同。( ) (4) 两个二次型相等当且仅当它们的矩阵相等。( ) 答案： (1) ╳ (2) ╳ (3) √ (4) √ 7.(6.2) (1) 设 实矩阵则 ， 都是对称矩阵。 ( ) (2) 若 为反对称矩阵则 是对称矩阵。( ) (3) 若 可逆对称矩阵则 与 合同。( ) (4) 若 为实 阶可逆矩阵 与 合同，则 必为偶数。( ) (5) 令 EMBED Equation.3 如果 与 合同， 与 合同，则 与 合同。 ( ) 答案： (1) √ (2) √ (3) √ (4)√ (5) √ 8.(6.4) (1) 正定矩阵与单位矩阵合同，负定矩阵 合同。( ) (2) 如果二次型 的各项系数都大于零，则 是正定二次型。( ) (3) 正定矩阵只能与正定矩阵合同。( ) (4) 若 为实对称， 实可逆，则 与 的正定性一致的。( ) 答案： (1) √ (2) ╳ (3) √ (4) √ 9.(6.4) (1) ， 为 阶正定矩阵， 也是正定的矩阵。( ) (2) ， 正定，则 也正定。( ) (3) 为正定矩阵，则对任意正整数 ， 也是正定的。( ) (4) 正定对称矩阵的主对角线上元素都是正的。( ) 答案： (1) ╳ (2) √ (3) √ (4) √ 10.(6.4) (1) 设 为正定矩阵， 为实数可逆方阵，则 是正定的。( ) (2) 设 ， 是 阶正定矩阵，当 正定时 。( ) (3) 设 的主对角线上一个元素 ，则 不是正定矩阵。( ) 答案： (1) √ (2) √ (3) √ 二、填空题 1.(6.2) 实二次型的正惯性指数为 负惯性指数为 。秩为 符号差为 (1) 已知 ， 则 ， (2) 已知 ， 则 (3) 已知 ， 则 ， (4) 已知 ， 则 ， (5) 已知 ， 则 ， (6) 已知 ， 则 ， 答案： (1) ， (2) (3) ， (4) ， (5) ， (6) ， 2.(6.1) (1) 二次型 的矩阵 。 (2) 的矩阵为 。 (3) 的矩阵 。 (4) 的矩阵 。 (5) 的矩阵 。 答案： (1) (2) (3) (4) (5) 3.(6.1) (1) 写出实对称矩阵 所决定的二次型 。 (2) 写出 所决定的二次型 。 答案： (1) (2) 4.(6.1) 两个复二次型等价充分必要条件是 。 答案： 秩相等 5.(6.1) 两个实二次型等价充分必要条件是 。 答案： 秩相等，正惯性指数相同。 三、计算题 1.(6.2) 已知二次型 试对它作如下非退化线性替换。 (1) (2) (3) 解： (1) (2) 方法同(1)得 (3) 方法同(1)得 2.(6.2) 用配方法化下列二次型为标准形。 (1) (2) (3) (4) (5) 解： (1) 二次型 所以 (2) 同样方法可求得 (3) 二次型 故 (4) 同(1)的方法得 (5) 同样方法得 3.(6.2) 用合同变换化二次型为标准形，并写出相应的可逆矩阵。 (1) (2) (3) (4) 解： (1) 二次型矩阵 故 相应的可逆矩阵为 (2) 同样方法可得 (3) (4) 4.(6.2) 用可逆线性变换化下列二次型为标准形。 (1) (2) 解： (1) 作如下线性替换 得 (2) 得 5.(6.2) 求把二次型 化为二次型 的非退化线性替换。 解： 二次型 的矩阵 二次型 的矩阵 则有 6.(6.3) 在复数域中化下列二次型为规范形并写出相应线性变换。 (1) (2) 解： (1) 则 则 (2) 同样可得 7.(6.3) 在实数域中化二次型为规范形并写出相应线性替换。 (1) (2) (3) 解： (1) 实二次型 的矩阵为 由合同变换可求得 则 (2) 同样方法可得 (3) 同样方法可得 8.(6.3) 求下列二次型的秩与符号差。 (1) (2) (3) (4) 解： (1) 二次型矩阵 对 进行合同变换 化为对角形 (2) 同样方法可得 的秩为3，符号差1 (3) 同样方法可得 的秩为4，符号差0 (4) 同样方法可得 的秩为3，符号差1 9.(6.3) 求下列二次型的秩与符号差 (1) (2) 解： (1) 作非退化线性替换 则 故二次型秩为2n，符号差为0。 (2) 用同样方法可得 秩为2n，符号差为0。 10.(6.4) t取什么值时下列二次型为正定二次型 (1) (2) (3) 解： (1) 二次型矩阵 (2) (3) 无论t取何值时，二次型都不是正定的 11.(6.4) 求 的值，使二次型 为正定。 解： 二次型 的矩阵秩为 12.(6.4) 判断下列二次型是否正定 (1) (2) (3) 解： (1) 二次型 的矩阵为 的任意 阶顺序主子式 (2) 二次型矩阵 的任意 阶顺序主子式 (3) 同样方法知(3)也为正定二次型 四、证明题 1.(6.2) 证明：秩等于 的对称矩阵可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成 个秩为1对称矩阵和。 证：设 为 阶对称矩阵且秩等于 ，则存在可逆矩阵 ，使得 ， 故 ，其中 ， 即 且 的秩等于1,又是对称矩阵 2.(6.2) 令 , 如果 与 合同， 与 合同，则 与 合同。 证：如果 与 合同，所以 所以( 是可逆矩阵)； 与 合同，有 ( 是可逆矩阵)， 作矩阵 ,显然 可逆，而 故 与 合同。 3.(6.2) 求证：非零反对称矩阵 合同于下列形式的矩阵 证：用数学归纳法 当 时， ，故 与 合同。 假设 时结论成立，今考察 时的情形，这时 如果最后一行(列)元素全为零，则由归纳假设结论已经成立，不然经过行列的同时对换，可设 ，最后一行和最后一列都乘以 则 化成 ， 再利用1，-1将最后；两行两列的其他元素化成零，则 又化成 由归纳假设知 与 合同，从而 合同于矩阵 再将最后两行和两列交换到前面去，便知结论对 级矩阵也成立，从而对于任意级数的反对称矩阵结论成立。 4.(6.4) 设 是一对称矩阵，且 证明：存在 ，使 ，其中*表示一个阶数与 相同的矩阵。 证：令 因为 , ,所以 5.(6.2) 设 是 阶对称矩阵， 的秩是 证明：存在秩为 的对称矩阵 ，使 。 证：据题设可知， 的合同标准形 是 ， 则存在可逆矩阵 使 ，对 来说，显然有秩为 的矩阵 ， 使 ，于是 ，所以 ，从而 。令 ，因为 是可逆的， 与 的秩相等，而且 是对称的，所以 是秩为 的对称矩阵，而且 。 6.(6.2) 在实数域上，将相互合同的 阶对称矩阵放在一起组成一个合同类，问一共有多少个合同类？ 解： 元实二次型的秩有 种可能： ，而秩为 的实二次型的正惯性指数有 种可能： 因此 元实二次型按合同关系分类的情况如下表 秩 数 0 1 2 3 … 正惯性 指 数 0 0,1 0,1,2 0,1,2,3 … 合 同 类 数 1 2 32 4 … 因此 元实二次型的合同总数为 7.(6.2) 证明： 与 在复数域上合同，但在实数域上不同 证： 复数域上两对称矩阵合同 秩相同 EMBED Equation.3 与 秩相同 它们合同 又实数域上两个对称矩阵合同 秩相同，符号差相同 而 与 秩相等，但符号差不同 不合同 8.(6.2) 证明：实二次型 的秩和符号差均与 无关 证：实二次型 的矩阵为 因为 与 合同，而 秩符号差与 无关 EMBED Equation.3 的秩符号差与 无关 9.(6.2) 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1。 证：必要性：设 若 与 成比例，设 ，且 ， 则可对 进行非退化线性替换 化成 ，此时 的秩为1。 若 与 不成比例，不妨设 与 不成比例， 从而 ，则可对 连续进行下列非退化线性替换 及 ，即此时 的秩为2且符号差为0。 必要性：设 的秩为2，符号差为0，则 可通过非退化线性替换 ，化为 由 ，即 可由 线性表示，代入上式，即知 是 的两个一次齐次式的乘积 若 的秩为1，则 的规范形为 ，根据同样道理知，结论成立。 10.(6.4) 证明：实二次型 是正定的当且仅当 且 。 证：二次型矩阵 11.(6.4) 设 为正定矩阵 是 的 级顺序主子式。 证明： 并且等式成立的充分必要条件是 证： 而 两边取行列式 12.(6.4) 如果 是正定矩阵，那么 ，那么当且仅当 为对角线形时等号成立。 证：用归纳法 假设 阶时成立 看 阶矩阵 经合同变换 其中 为 阶方阵有 为 阶正定矩阵，由归纳假设 又 13.(6.4) 如果 是 级实可逆矩阵，那么 证： 为正定。而 的主对角线上元素为 ， ， 由上题 14.(6.4) 设 其中 为 阶正定方阵， 为 维实列向量， 为实数。 证明： 为正定矩阵的充分必要条件是 证： 正定 正定 是由 经合同变换而得到的。 15.(6.4) 设 实矩阵 实向量 证明：齐次线性方程但 只有零解 是正定矩阵。 证：必要性 若 是任意非零实列向量，则 又 为实对矩阵 是半正定的 下面证 反证法，若 则 齐次线性方程组 有非零解 设有 于是 从而 与 只有零解矛盾。故 故 正定 充分性 正定 对任意非零实向量 ，都有 若 有非零解 ，则 ，这 正定矛盾 只有零解 16.(6.3) 设 是一个 阶实对称矩阵，且 。 证明：必存在实 维向量 使 。 证： 存在非退化线性替换 使 其中 ,由 必定有 令 由 有唯一的非零解 使 即存在 使 17.(6.3) 设是 一实二次型，若有实 维向量使用 使 ， 。 证明：必存在 维向量 使 。 证：设 作非退化线性替换 有 维向量 使 则 不是半负定 正惯性指数 有 维向量 使用 则 不是半负定 负惯性指数 于是 的规范形中至少有一项为正1，设 系数为1。 至少有一项为-1，设 系数为-1。 代入 得 使 18.(6.4) 证明：二次型 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证：必要性 有反证法若正惯性指数 秩 则( 不可能大于 )则 即 令 ， 可得非零解 使 与已知条件 矛盾 故 充分性 正惯性指数 秩 有 19.(6.4) 证明： 是半正定的。 证： 由此看到(1)当 不全相等时 (2) 当 时 按定义二次型 是半正定的。 20.(6.4) 证明：如果 是正定矩阵，那么 的主子式全大于零。 所谓主子式就是行指标和列指标相同的子式。 证：设 正定 二次型 并令 ， 则得新二次型 是正定的 故 的 级主子式 主子式全大于零 21.(6.4) 设 是实对称矩阵。证明：实数 充分大之后， 是正定矩阵。 证： 实对称 EMBED Equation.3 为实对称 设 的 阶顺序主子式为 当 充分大时，即 使 令 为所有 中最大的，则可使 的所有顺序主子式都大于0 正定 22.(6.1) 设实二次型 证明： 的秩等于矩阵 的秩 证： 二次型 的矩阵 二次型 的秩等于 的秩 23.(6.2) 设 是一对称矩阵，且 。证明：存在 使 其中 表示一级数与 相同的矩阵。 证： ,有 而 24.(6.2) 设 是 阶实对称矩阵。证明：存在一正实数 使对任一个实 维向量 都有 。 证： 令 则 利用 即 其中 25.(6.4) 证明：如果 是正定二次型 那么 是负定二次型 证：设 则有 两边取行列式 正定 正定且 故 正定 是负定的 26.(6.4) 证明：实二次型 是半正定是充分必要条件是存在可逆实矩阵 使 其中 证： 实对称 可逆实矩阵 使 半负定 半负定 27.(6.4) 实对称矩阵 半正定的充分必要条件是存在实方阵 使 。 证：必要性 EMBED Equation.3 半正定 有可逆矩阵 使 令 这里 故 充分性 由 对任意 都有 则 有 故 半正定，即 半正定 28.(6.4) 证明：对任何实数 若 都半正定矩阵则 是半正定矩阵。 证：任取非零向量 则 故 为半正定 29.(6.4) 已知实二次型 是半正定， 为正实数。 证明： 是正定的。 证：设 是任意 个不全为零的实数 取 则 由于 而 因此 即 是正定的 30.(6.2) 设 为 阶实对称矩阵，试问 与 合同充分必要条件，说明理由。 证：秩是偶数且符号差为零 理由 设 ，正惯性指数为 ，那么实数域上 合同于 即存在可逆实矩阵 使 ,由此 而 可见 的秩是 ，正惯性指数为 与 在实数域合同的 充分必要条件是 即 所以符号差为零。 PAGE 25 _1106818276.unknown _1106854412.unknown _1108571616.unknown _1108573135.unknown _1108574256.unknown _1108574666.unknown _1108575226.unknown _1108575520.unknown _1108575686.unknown _1108575750.unknown _1108575823.unknown _1108575962.unknown _1108575961.unknown _1108575790.unknown _1108575719.unknown _1108575604.unknown _1108575620.unknown _1108575563.unknown _1108575354.unknown _1108575480.unknown _1108575511.unknown _1108575465.unknown _1108575305.unknown _1108575328.unknown _1108575240.unknown _1108574963.unknown _1108575156.unknown _1108575194.unknown _1108575208.unknown _1108575157.unknown _1108575047.unknown _1108575098.unknown _1108575114.unknown _1108575017.unknown _1108574767.unknown _1108574915.unknown _1108574933.unknown _1108574865.unknown _1108574692.unknown _1108574749.unknown _1108574679.unknown _1108574467.unknown _1108574558.unknown _1108574593.unknown _1108574611.unknown _1108574580.unknown _1108574504.unknown _1108574543.unknown _1108574496.unknown _1108574362.unknown _1108574407.unknown _1108574424.unknown _1108574382.unknown _1108574321.unknown _1108574346.unknown _1108574274.unknown _1108573784.unknown _1108574035.unknown _1108574178.unknown _1108574219.unknown _1108574236.unknown _1108574193.unknown _1108574121.unknown _1108574138.unknown _1108574065.unknown _1108574106.unknown _1108573915.unknown _1108573948.unknown _1108574014.unknown _1108573932.unknown _1108573884.unknown _1108573902.unknown _1108573801.unknown _1108573527.unknown _1108573683.unknown _1108573752.unknown _1108573770.unknown _1108573703.unknown _1108573654.unknown _1108573674.unknown _1108573599.unknown _1108573401.unknown _1108573505.unknown _1108573506.unknown _1108573451.unknown _1108573297.unknown _1108573365.unknown _1108573173.unknown _1108572333.unknown _1108572723.unknown _1108572891.unknown _1108572947.unknown _1108572960.unknown _1108572907.unknown _1108572783.unknown _1108572814.unknown _1108572739.unknown _1108572451.unknown _1108572535.unknown _1108572631.unknown _1108572646.unknown _1108572522.unknown _1108572415.unknown _1108572429.unknown _1108572390.unknown _1108571854.unknown _1108572078.unknown _1108572229.unknown _1108572295.unknown _1108572146.unknown _1108571961.unknown 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