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实变函数课后习题答案.pdf

实变函数课后习题答案.pdf

上传者: 灰麒麟 2012-09-15 评分1 评论0 下载10 收藏0 阅读量168 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《实变函数课后习题答案pdf》,可适用于高等教育领域,主题内容包含习题.证明下列集合等式.()()()()CABACBA=()()()()CBCACBA=()()()()CABACBA=.证明())()CB(cCB符等。

习题.证明下列集合等式.()()()()CABACBA=()()()()CBCACBA=()()()()CABACBA=.证明())()CB(cCBAA=)()(ccCBAABA=cCABA)()(=)()(CABA=()cCBAA)(CB)(=)()(ccCBCA==)()(CACA())(C)(BcCBAA=ccCBA)(=)(CBAc=)()(CABAc=)()(CABA=.证明下列命题.()()ABBA=的充分必要条件是:AB()()ABBA=的充分必要条件是:=BAØ()()()BBABBA=的充分必要条件是:=BØ.证明()ABABBBABBABBAcc====)()()()(的充要条是:AB()ccccBABBBABBABBA===)()()()(必要性设ABBA=)(成立则ABAc=,于是有cBA,可得=BA反之若,BA取BAx,则BxAx且,那么BxAx且与cBA矛盾充分性假设=BA成立,则cBA,于是有ABAc=,即)(ABBA=()必要性假设BBABBA)()(=,即cCABABA==若,B取,Bx则,cBx于是,cBAx但,BAx与cCABA=矛盾充分性假设=B成立,显然BABA=成立,即BBABBA)()(=.证明定理.定理()如果{}nA是渐张集列,即),(nAAnn则{}nA收敛且==limnnnnAA()如果{}nA是渐缩集列,即),(nAAnn则{}nA收敛且==limnnnnAA证明()设),(nAAnn则对任意=,nnAx存在N使得,NAx从而),(NnAxN所以,limnnAx则limnnnnAA=又因为=,limlimnnnnnnAAA由此可见{}nA收敛且==limnnnnAA()当)(nAAnn时,对于,limnnAx存在)(<knnkk使得),(kAxkn于是对于任意的,n存在k使得nnk>,从而,nnAAxk可见lim=nnnnAA又因为,limlimnnnnnnAAA=所以可知{}nA收敛且==limnnnnAA.设f是定义于集合E上的实值函数c为任意实数证明:()=>=ncfEcfEn()<==ncfEcfEn()若))(()(limExxfxfnn=则对任意实数c有>=>=====kcfEkcfEcfEnnknNnNklim.证明()对任意的,cfEx>有,)(cxf>则存在Zn使得ncxf)(成立即,ncfEx那么=nncfEx故=>nncfEcfE另一方面,若,=nncfEx则存在Zn使得,=nncfEx于是cncxf>)(,故cfEx>则有=>nncfEcfE()设cfEx,则cxf)(,从而对任意的Zn,都有ncxf)(<,于是=<nncfEx,故有=<nncfEcfE另一方面,设=<nncfEx,则对于任意的Zn,有ncxf)(<,由n的任意性,可知cxf)(,即cfEx,故=<nncfEcfE()设cfEx,则cxf)(由),)(()(limExxfxfnn=可得对于任意的Zk,存在N使得)(|)()(|Nnkxfxfn<,即)()()(>kkckxfxfn,即kcxfn)(>,故)(lim>kkcfExnn,所以=>limknnkcfEx,故=>limknnkcfEcfE另一方面,设=>limknnkcfEx,则对任意Zk有>kcfExnnlim由下极限的定义知:存在N使得当Nn时,有)(>ZkkcfExn,即对任意Zk有kcxfn)(>又由),)(()(limExxfxfnn=知),()(limxfxfnn=即对任意的Zk,存在N使得当Nn时,有kxfxfn|)()(|<取},max{NNN=,则有kcxfn)(>与kxfxfn|)()(|<同时成立,于是有kcxfkxfn)()(>>,从而kcxf)(>,由k的任意性知:cxf)(,即cfEx,故有=>limknnkcfEcfE综上所述:lim====>=>=kNNnnnnnkcfEkcfEcfE.证明集列极限的下列性质.()cnncnnAA=limlim()cnncnnAAlimlim=()()nnnnAEAE=limlim()()nnnnAEAE=limlim.证明()cnnnnmcmncnmmcnnmmcnnAAAAA==========lim)()(lim()cnnnnnmcmcnmmcnnmmcnnAAAAAlim)()(lim==========()()=========))(()()(limnnmnnmcmcmnnmmnnAEAEAEAEcnnmmncnmmnnmcmAEAEAE)())(()(=============limnnmnnmAEAE()()=========))(()()(limnnmcmnnmnnmcmmnnAEAEAEAEcnnmmncnmmnnmcmAEAEAE)())(()(=============limnnmnnmAEAE.如果}{},{nnBA都收敛则}{},{},{nnnnnnBABABA都收敛且()()nnnnnnnBABA=limlimlim()()nnnnnnnBABA=limlimlim()()nnnnnnnBABA=limlimlim.习题.建立区间),(与,之间的一一对应.解令{,,,,}E=,{,,,,}F=,(,)DE=,则(,)ED=,,FD=定义:(,),φ为:()(,,)xxDxxnnnxφ====则φ为(,),之间的一个一一对应.建立区间,ba与,dc之间的一一对应其中dcba<<,.解定义::,,abcdφ为:()()(,)dcdcbcadxxacxxabbababaφ==可以验证::,,abcdφ为一个一一对应.建立区间),(ba与,dc之间的一一对应其中dcba<<,.解令{,,,}bababaEaaa={,,,,}dcdcFcdcc=(,)DabE=定义:(,),abcdφ为:()(,)dcbcadxxDbabadcbaxcxannnbacxaφ====可以验证::(,),abcdφ为一个一一对应.试问:是否存在连续函数把区间,一一映射为区间),(是否存在连续函数把区间,一一映射为,,答不存在连续函数把区间,一一映射为(,)因为连续函数在闭区间,存在最大、最小值也不存在连续函数把区间,一一映射为,,因为连续函数在闭区间,上存在介值性定理,而区间,,不能保证介值性定理永远成立.证明:区间~),(),(~),(RRRR且ℵ=RRRR.证明记(,)A=,则(,)(,)AA=任取(,)xyAA,设,,xaaaybbb==为实数,xy正规无穷十进小数表示,并令(,)fxyabab=,则得到单射:fAAA因此由定理知AAA若令AA=,则~AAAA从而由定理知:AAA最后,根据Bernstein定理知:(,)~(,)(,)对于(,)(,)(,)xy,定义:(,)(,)Rφ为:(,)((),())xytgxtgyππφππ=,则φ为(,)(,)R的一个一一对应,即(,)(,)~R又因为:(,)~R,则由对等的传递性知:(,)~(,)(,)~~RR且RR==ℵ.证明:{}:),(=yxyxA与{}:),(<=yxyxB对等并求它们的基数.证明令{(,):(,,,)}Exyxynn===,DAE=,{(,):(,,,)}Fxyxynn===则,AEDBFD==定义::ABφ为:(,)(,),(,)(,,,),(,)xyxyDxyxyxynxyEnnφ====可以验证::ABφ为一一对应,即~AB又因为~(,)(,)~~BRR,所以AB==ℵ.证明:直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ.证明对任意的,IJR取有限区间(,)abI则(,)abIRℵ==ℵ,则由Bernstern定理知I=ℵ,同理J=ℵ故IJ==ℵ习题.证明:平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M是可数集.证明因为有理数集Q是可数集平面上的三角形由三个顶点所确定而每个顶点由两个数决定故六个数可确定一个三角形所以M中的每个元素由Q中的六个相互独立的数所确定即Q},,,,:{=xxxaMxxx所以M为可数集.证明:由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M最多是可数集.证明对于任意的MO,使得QQQQ)(Of因此可得:QQQQMf:因为O与O不相交所以)()(OfOf故f为单射从而aM=QQQQ.证明:()任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并()任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并.证明()当E可数时存在双射QQQQ),(:Ef因为==,),(nnnQQQQQQQQ所以ASUS备注缺少nASUS备注应写为{(x,y)|x^y^=n)},x^y^=n=====,)),((nnnAnnffEQQQQQQQQ其中:)(),,,(,jiAAnnnfAjinΦ===且QQQQ又因为QQQQQQQQnnnnf,~,且QQQQnn,可数所以E可表示成可数个两两不交的无限集之并.当E不可数时由于E无限所以存在可数集EE,且EE不可数且无限从而存在可数集EEE且)()(EEEEEE=无限不可数如此下去可得),,,(=nEn都可数且不相交从而)()(EEEEEEiini====其中)(iEi无限且不交.证明:可数个不交的非空有限集之并是可数集..证明:有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.证明有限个互不相交的有限集之并是有限集而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.证明:单调函数的不连续点之集至多是可数集.证明不妨设函数f在),(ba单调递增则f在x间断当且仅当)(lim)(lim)()(>==xfxfxfxfxxxx于是每个间断点x对应一个开区间))(),((xfxf下面证明:若xx′′′<为()fx的两个不连续点则有()()fxfx′′′事实上任取一点x使xxx′′′<<于是()lim()inf{()}()sup{()}lim()xxxxxxxxxfxfxfxfxfxfx′>′′′′′′<<′===从而x′对应的开区间((),())fxfx′′与x′′对应的开区间((),())fxfx′′′′不相交即不同的不连续点对应的开区间互不相交又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.证明:若存在某正数d使得平面点集E中任意两点之间的距离都大于d则E至多是可数集.证明定义映射}:),{(:ExdxEf即))(,()(ExdxDxf=其中),(dxD表示以Ex为中心以d为半径的圆盘显然当yx时有=),(),(dyDdxD即)()(yfxf于是f为双射由第题知:aExdx}:),{(故aE习题.直线上一切闭区之集具有什么基数?区间,ba中的全体有理数之集的基数是什么答直线上一切闭区间之集的基数是c这是因为:),(,:RRRRbabaf为单射而RRRRabaf,:为满射所以cMc==RRRRRRRR区间,ba中的全体有理数之集的基数是c这是因为:abaa=QQQQQQQQ,.用,baC表示,ba上的一切连续实值函数之集证明:()设},,,,{,nrrrba=QQQQ,,baCgf则=gf),,)(()(==krgrfkk()公式)),(,),(),(()(nrfrfrff=π定义了单射)(,:RRRRSbaCπ()cbaC=,.证明()必要性显然充分性假设),,)(()(==krgrfkk成立因为},,,{,rrrbax存在有理数列=}{nnx使得xxnn=lim由,,bacgf可得)()lim()(limxfxfxfnnn==及)()lim()(limxgxgxgnnn==又因为=}{nnx为有理点列所以有)()(nnxgxf=故,bax都有)()(xgxf=(),,bacgf设)()(gfππ=即)),(,),(),(()),(,),(),((nnrgrgrgrfrfrf=由()知:gf=故π为单射()由()知:cRSbac=)(,又由,bacRRRR可得,bacc=RRRR故cbaC=,.设,baF为闭区间,上的一切实值函数之集证明:()},:))(,{()(baxxfxf=π定义了一个单射)(,:RRRRPbaFπ(),EEEχα=)(定义了单射,),(:baFPα(),baF的基数是c.证明(),,baFgf设)()(gfππ=即},:))(,{(},:))(,{(baxxgxbaxxfx=从而),)(()(baxxgxf=故π为单射(),,FE设)()(FEαα=则FEFEχααχ===)()(故α为单射()由()知:cPbaF)(,=RRRR又由()知:,),(baFPc=故cbaF,=.证明:cn=CCCC.证明因为RRRRRRRRCCCC~而c=RRRRRRRR故c=CCCC又由定理知:cn=CCCC.证明:若E为任一平面点集且至少有一内点则cE=.证明显然cE=RRRRRRRR设Ex则>δ使得ExB),(δ可知ExBc=),(δ故cE=第一章总练习题证明下列集合等式.()()()FFEFEEFE==()()()()GFGEGFE=.证明()因为()()()()()cccccEEFEEFEEFEEEFEF====,()()()()cccEFFEFFEFFFEF===所以()()EFEEFEFF==()因为()()()()()(),ccccEFGEFGEFGEGFGEGFG====所以()()()GFGEGFE=证明下列集合等式.()()BABAnnnn===()()BABAnnnn===.证明()()()()ccnnnnnnnnABABABAB=======()()()()ccnnnnnnnnABABABAB=======.证明:ccEfgcEfEg其中gf,为定义在E的两个实值函数c为任一常数.证明若()()ccxEfEg,则有()cfx<且()cgx<,于是()()()()fxgxfgxc=<,故()xEfgc所以()()()ccEfgcEfEg.证明:nRRRR中的一切有理点之集nQQQQ与全体自然数之集对等.证明因为Q=ℵ,所以QQQQn==ℵ(推论)又因为N=ℵ,所以QnN==ℵ,故Q~nN.有理数的一切可能的序列所成之集)(QQQQS具有什么基数?.证明:一切有理系数的多项式之集xQQQQ是可数集.证明设},Q,,,,,,:{Q==nnnnnnnnnnaaaaaaxaxaxaxPxPx于是QQ==nnxx显然,Q~Qnxn所以,QQnaxn==因此由定理知:Qax=.证明:一切实系数的多项式之集xRRRR的基数为c.证明记},R,,,,,,:{R==nnnnnnnnnnaaaaaaxaxaxaxPxPx于是RR==nnxx显然,R~Rnxn所以,RRncxn==因此由定理知:Rcx=.证明:全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在而且全体超越数之集的基数是c.证明由于有理系数多项式的全体是可数集设其元素为,,,,,,nPPPP记多项式)(xPn的全体实根之集为,nA由于n次多项式根的个数为有限个故nA为有限集从而代数数全体==nnAA为可数个有限集的并故A为可数集即aA=设超越数全体所成之集为,B即,RAB=则R,=BA从而B必为无限集由于A为可数集而任一无限集添加一个可数集其基数不变故RcBAB===.证明:ABBA~则BA~.证明因为),()(),()(BAABBBABAA==又因为,)()(,~,~==BAABBABABABAABBA所以由保并性知),()(~)()(BAABBABA即~BA.证明:若,,DBBA<则DA<.证明(反证法)假设,DA=则由已知可得,BD这与DB<矛盾故有DA<.证明:若cBA=则cA=或cB=.证明假设,aBA==则有,aBA=这与cBA=矛盾故有cA=或cB=.证明:若cAkk=ZZZZ则存在ZZZZk使得cAk=.证明同上习题.若E是区间,,中的全体有理点之集求bEEEE,,,′.解E=,,bEEE′===。.设)},{(sin,:),(=<=xyxyxE求bEEEE,,,′.解E={(,):,}bEExyxyEE′====.下列各式是否一定成立若成立证明之若不成立举反例说明.()nnnnEE==′′=())()(BABA′′=′()nnnnEE===()BABA=()=BABA)(())(=BABA解()不一定。如设={,,,,}nrrrQQQQ{}nnEr=(单点集)则()nnE=′′==QRQRQRQR,而nnE=′=但是总有nnnnEE==′′。()不一定。如A=QQQQ,B=RQRQRQRQ,则(),AB′=而AB′′=RR=RRR=RRR=RRR=R()不一定。如设={,,,,}nrrrQQQQ{}nnEr=(单点集)则nnE===QRQRQRQR,而nnE==QQQQ但是总有nnnnEE==。()不一定。如(,)Aab=(,)Bbc=则AB=而{}ABb=。()不一定。如,Aab=,,Bbc=,则(,)Aab=,(,)Bbc=而()(,)ABac=(,){}ABacb=()成立。因为ABA,ABB,所以()ABA,()ABB。因此有()ABAB。设xAB,则存在δ>δ>使得(,)BxAδ且(,)BxBδ,令min(,)δδδ=,则(,)BxABδ。故有()xAB即()ABAB。因此()ABAB=.试作一点集A使得A′而=′′)(A.解令{,,,,,,}An=则{}A′=()A′′=.试作一点集E使得bEE.解取E=QQQQ则bE=RRRR。.证明:无聚点的点集至多是可数集.证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集所以只要证明:任一只有孤立点的点集A是最多可数。对任意的xA都存在xδ>使得(,){}xBxAxδ=。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)(,)(,)xxxBPrBxδ使得(,)xxxBPr从而(,){}xxBPrAx=。显然对于任意的,xyA当xy时有(,)(,)xxyyBPrBPr从而(,)(,)xxyyPrPr。令()(,)xxfxPr=则得到单射:nfAQQQQQQQQ。由于nQQQQQQQQ可数所以A是最多可数。.无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同答不相同。例如点集{,,,,,,}An=只有孤立但是有一个聚点:{}A′=。.对无聚点的点集,是否一定存在一个正数d,使得该点集中任意二点间的距离大于d答不一定。例如取{(,):,,}{(,):,,}Annnnn===则A无聚点。但是()(,),(,)()dnnnnn=这说明:不存在一个正数d,使得该点集中任意二点间的距离大于d。.点集的聚点与点列的极限点有何异同证明:若Ex′则存在Exn}{且),(mnxxmn使得)(nxxn.证明不同。聚点是针对点集的概念而极限点(子列的极限)是针对点列的概念。对于一个点列{}nkkx=RRRR可以得到一个点集{:,,}kExk==。如果xE′,则x必是点列{}kkx=的极限点。反之不真。如取(,,)kxk==则是点列{}kkx=的极限点但它不是点集{:,,}kExk==的聚点(因为{}E=没有聚点)。对于可数点集{,,,,}(())nkijExxxxxij=RRRR得到点列{}kkx=。显然点集E的聚点与点列{}kkx=的极限点是相同的。设Ex′则对ε=,(,)Bxε中有E的无限个点。任取一点({})(,)xExBxε。令min{(,),}dxxε=则(,)Bxε中有E的无限个点。任取一点({})(,)xExBxε。如此下去,可得点列{}kkx=满足:({})(,)kkxExBxεmin{(,),}kkkdxxε=(kZZZZ)易见{}kkx=是E的各项互不相同的点列且(,)()kkdxxk<。可见()kxxk。.证明:Ex′的充要条件是对任意>δ),(δxB含有一个异于x的E的点.证明必要性显然充分性对δ=,在(,)Bx中有一点xE,而xx。令min{(,),}dxxδ=,在(,)Bxδ中有一点xE且xx。令min{(,),}dxxδ=,在(,)Bxδ中有xE且xx。这样继续下去得到E中各项互不相同的点列{}nx使得(,)()kdxxkk<。从而limnnxx=由上题知Ex′.ExExk}{使得)(kxxk.证明必要性。设xE则,(,)kkxEBxkZZZZ。显然{}kxE且)(kxxk。充分性设{}kxE使得)(kxxk则,Nε>使得当nN>时有(,)kdxxε<从而(,)NxBxEε。可见xE。设点列)(naxn,)(nbxn,证明:ba=证明由(),()nnxxnyyn可知:对任意的,,NNε>使得当nN时,有(,)ndxaε<当nN时,(,)ndxbε<。令{}max,NNN=,则当nN时,有(,)ndxaε<且(,)ndxbε<从而当nN时有(,)(,)(,)NNdabdaxdxbεεε<=。所以(,)dabε<。由ε的任意性知ab=设点列)(nxxn,)(nyyn,证明:RRRRβα,,有())(nyxyxnnβαβα()))(,(),(nyxdyxdnn证明()由(),()nnxxnyyn,可知对任意的,,NNε>使得当nN>时有(,)||ndxxεα<当nN>时有(,)||ndyyεβ<令{}max,NNN=,则当nN>时,有(,)||ndxxεα<且(,)||ndyyεβ<所以当nN>有(,)||(,)||(,)nnnndxyxydxxdyyεεαβαβαβε<=。从而nnxyαβxyαβ()n()因为(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,),nnnnnnnndxydxxdxydyydxydxxdxydyy所以|(,)(,)|(,)(,)()nnnndxydxydxxdyyn。因此))(,(),(nyxdyxdnn。习题.点集E为闭集当且仅当E中的收敛点列的极限仍然属于E.证明必要性设E为闭集,即EE′。取任一收敛点列{}nxE,且nxx()n下证xE事实上,若存在n使得nxx=,则xA否则对任一Nn都有nxx。因为()nxxn,所以对任意>δ),(δxB中必有E的异于x的点nx。从而由习题可知:x是E的聚点,所以xE充分性设E中任何一个收敛点列必收敛于E中的一点,则对任意的xE′,存在点列{}nxE使得nxx()n,由假设知xE。所以EE′,即E为闭集.证明:E是含于E内的一切开集的并.证明设{}Fαα,为所有含于E内的开集所组成的集合,则FEα(任意的α)记FFαα=,下证FE=。一方面,E显然是一个含于E的开集,所以EF。另一方面,αΛ有FEα,从而FEα。但是FFα=(Fα为开集),所以FFEαα=因此FFEαα=。因此EF=.证明:E是包含E的一切闭集的交.证明设{}Fαα为所有包含了E的闭集之集,则EFα(任意的α)记FFαα=下证FE=一方面E显然是一个含E的闭集所以EF。另一方面,对αΛ有EFα从而EFα。但FFαα=(Fα为闭集),所以EFα(αΛ)。因此EF故FE=.设RRRRF是非空有界闭集令,sup,infFFa==β证明:Faβ,.证明Fx>,ε使得εα<x。从而xαεαε<<,于是(,)xBαε因此(,)BFαε=再由ε的任意性知FFα=同理可得:,,Fy>δ使得,yβδββδ<<所以(,)yBβδ因此知(

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