重心和形心
第十讲 重心和形心 目的要求:掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点:分割法和负面积法计算形心。
教学难点:对计算形心公式的理解。
教学
内容
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?3-4 重心和形心 一、重心的概念:
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。
2、重力的概念:重力就是地球对物体的吸引力。
3、物体的重心:物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。 二、 重心座标的公式:
(1)、重心座标的公式
三、物体质心的坐标公式
在重心坐标公式中，若将G=mg，G,mg代入并消去g，可得物体的质心坐 标公式如下: ii
四、均质物体的形心坐标公式
若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V，则G=ρgV,G,ρgV，代iii
入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下:
式中V=?Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。 五、均质等厚薄板的重心(平面组合图形形心)公式:
令式中的?A.x,A.x,S; cyii
?A.y,A.y,S iicx
则S、S分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。 yx
六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的
方法
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简介如下:
1、对称法
凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。
(1)、悬挂法
利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图
(2)、称重法
对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。 例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。
设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F, B
则由 ?M(F)=0 F.L,G.x,0 ABc
x,F.L/G cB
(3)、分割法:
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式:
(4)、负面积法:
仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例
例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:
方法一(分割法):
根据图形的组合情况，可将该截面分割成
两个矩形?，?，C1和C2分别为两个矩形
的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形?，
?的面积和形心坐标分别为
2 A=120mm×12mm,1440mm 1
x,6mm 1
y,60mm 1
A,(80-12)mm×12mm,816mm2 2
x,12mm，(80-12)/20=46mm 2
y,6mm 2
即所求截面形心C点的坐标为(20.5mm，40.5mm)
方法二(负面积法):
用负面积法求形心。计算简图如图。
2 A,80mm×120mm,9600mm 1
x,40mm y1,60mm 1
2A=,108mm×68mm,,7344mm 2
x,12mm，(80,12)mm/2=46mm 1 y,12mm，(120,12)mm/2=66mm 1
由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。
例2 试求如图所示图形的形心。已知R,100mm，r,30mm，r,17mm。 23解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出x，将图形看c
成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为
(1)、半径为R的半圆面:
22A,πR/2,π×(100mm)/2,1
215700mm
y,4R/(3π),4×100mm/(3π),1
42.4mm
(2)、半径为r的半圆面 2
22A,π(r)/2,π×(30mm)/2,22
21400mm
y,,4r/(3π),,4×30mm/(3π),,22
12.7mm
(3)、被挖掉的半径为r3的圆面:
222A,,π(r),,π(17mm),910mm 33
y,0 3
(4)、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得
即所求截面形心C点的坐标为(0mm，40mm)
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