排列组合问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
解法大全
一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例1.
五人并排站成一排,如果
必须相邻且
在
的右边,那么不同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析:把
视为一人,且
固定在
的右边,则本题相当于4人的全排列,
种。
二.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析:除甲乙外,其余5个排列数为
种,再用甲乙去插6个空位有
种,不同的排法种数是
种,选
.
三.特殊元素或特殊位置优限法:优先解决带限制条件的元素或位置,或说“先解决特殊元素或特殊位置”
例3.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
解析:老师在中间三个位置上选一个有
种,4名同学在其余4个位置上有
种方法;所以共有
种.
四.分组分配:n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题;将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
1.基本的分组问题
例4 六本不同的
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
(1)每组两本.
(2)一组一本,一组二本,一组三本.
(3)一组四本,另外两组各一本.
分析:(1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是
=90(种) ,这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码,考察以下两种分法:(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6),由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数
,所以分法是
=15(种)。(2)先分组,方法是
,那么还要不要除以
?我们发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有
=60(种) 分法。
(3)分组方法是
=30(种) ,那么其中有没有重复的分法呢?我们发现,其中两组的书的本数都是一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数不一样,不可能重复。所以实际分法是
=15(种)。
通过以上三个小题的分析,我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1: 一般地,n个不同的元素分成p组,各组内元素数目分别为m
,m
,…,m
,其中k组内元素数目相等,那么分组方法数是
。
2.基本的分配的问题
(1)定向分配问题
例5 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
甲两本、乙两本、丙两本.
甲一本、乙两本、丙三本.
甲四本、乙一本、丙一本.
分析:由于分配给三人,每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题,由分布计数原理不难解出:分别有
=90(种),
=60(种),
=30(种)。
(2)不定向分配问题
例6六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法?
每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析:此组题属于分配中的不定向分配问题,是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人,同一本书给不同的人是不同的分法,所以是排列问题。实际上可看作“分为三组,再将这三组分给甲、乙、丙三人”,因此只要将分组方法数再乘以
,即
EMBED Equation.2 =90(种),
EMBED Equation.2 =360(种)
EMBED Equation.2 =90(种)。
结论2. 一般地,如果把不同的元素分配给几个不同对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。
例7 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种分法?
分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即书要分完,人不能空手。因此,考虑先分组,后排列。先分组,六本书怎么分为三组呢?有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本,另一组四本。所以根据加法原理,分组法是
+
+
=90(种)。再考虑排列,即再乘以
。所以一共有540种不同的分法。
3.分配问题的变形问题
例8 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,恰有一个空盒的放法有多少种?
分析:恰有一个空盒,则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组,两组各1个,另一组2个,分组方法有
(种),然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题,即共有
EMBED Equation.2 =144(种)。
例9有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法有多少种?
分析:先考虑分组,即10人中选4人分为三组,其中两组各一人,另一组二人,共有
(种)分法。再考虑排列,甲任务需2人承担,因此2人的那个组只能承担甲任务,而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务,所以共有
EMBED Equation.DSMT4 =2520(种)不同的选法。
例10设集合A={1,2,3,4},B={6,7,8},A为定义域,B为值域,则从集合A到集合B的不同的函数有多少个?
分析:由于集合A为定义域,B为值域,即集合A、B中的每个元素都有“归宿”,而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限,所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组,集合A中4个元素分为三组,各组的元素数目分别为1、1、2,则共有
(种)分组方法。再考虑分配,即排列,再乘以
,所以共有
EMBED Equation.2 =36(个)不同的函数。
五.相同元素隔板法及应用:
情形1:将n件相同的物品或(名额)分配给m个(或位置),允许若干个人或(位置)为空。将n件物品和m-1个隔板排成一排,占n+m-1个位置,从n+m-1个位置选m-1位置放隔板,有
种。
情形2:将n件相同的物品或(名额)分配给m个(或位置),每个位置必须有物品,有
种。
例11. 把20个相同的球放入4个不同的盒子,每个盒子都不空,有多少种不同方法?
把20个相同的球放入4个不同的盒子,每个盒子至少有3个小球,有多少种不同方法?
把20个相同的球放入编号为2,3,4,5的4个盒子,每个盒子的小球数不少于编号数,有多少种不同方法?
把20个相同的球放入4个不同的盒子,盒子可以空,有多少种不同方法?
1.指标分配问题。
例12、某校召开学生会议,要将10个学生代表名额,分配到某年级的6个班中,若每班至少1个名额,又有多少种不同分法?C
2.求n项展开式的项数。
例13、求
展开式中共有多少项?
解:用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有
、
、…、
的5个不同的盒子表示数
、
、…、
,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中,把标有
(i=1,2,…,5)每个盒子得到的小球数
(i=1,2,…,5;
EMBED Equation.3 ),记作
的
次方。这样,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法,就对应着展开式中的每一项。由隔板法知,这样的放法共有
种,故
的展开式中共有
项。
=
=1001(种)。
所以,
展开式中共有1001项。
点评:准确理解隔板法的使用条件,是使用隔板法求
展开式中的项数的理论依据。
3.求n元一次方程组的非负整数解。
例14、求方程
+
+…+
=7的正整数解的个数。
解:用7个相同的小球代表数7, 用5个标有
、
、…、
的5个不同的盒子表示未知数
、
、…、
,要得到方程
+
+…+
=7的正整数解的个数,可分以下两步完成。第一步:从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中,仅有1种放法;第二步:把剩余的2个小球放入5个不同的盒中,由隔板法知,此时有
种放法。由分步计数原理知,共有
种不同放法。我们把标有
(i=1,2,…,5)的每个盒子得到的小球数
(i=1,2,…,5;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ),记作:
=
。这样,将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法,就对应着方程
+
+…+
=7的每一组解(
,
,…,
)。
=
=
=15(个)
所以,方程
+
+…+
=7的正整数解共有15个。
至多,至少问题排除法
例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有
种,选.
解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有
台,选
.
例16.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析:正方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成
四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有
个.
(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解析:10个点中任取4个点共有
种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为
,四个面共有
个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是
种.
综合问题先选后排
例17.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
解析:“先取”四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有
种,“再排”在四个盒中每次排3个有
种,故共有
种.
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
解析:先取男女运动员各2名,有
种,这四名运动员混和双打练习有
中排法,故共有
种.
八.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
.
例18.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
EMBED Equation.DSMT4 种.
九.对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例19.
五人并排站成一排,如果
必须站在
的右边(
可以不相邻)那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析:
在
的右边与
在
的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
种,选
.
十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
例20.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共
种,选
.
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有
种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有
种,其余5个元素任排5个位置上有
种,故共有
种排法.
十一.圆排问题线排法:把
个不同元素放在圆周
个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列
个普通排列:
在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,
个元素的圆排列数有
种.因此可将某个元素固定展成线排,其它的
元素全排列.
例21.5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
解析:首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有
种,然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边,有2种方式,故不同的安排方式
种不同站法.
说明:从
个不同元素中取出
个元素作圆形排列共有
种不同排法.
复杂的排列组合问题
1分解与合成法:
例22.(1)30030能被多少个不同偶数整除?
解析:先把30030分解成质因数的形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因数2必取,3,5,7,11,13这5个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因数为
个.
(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?
解析:因为四面体中仅有3对异面直线,可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体,从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
个,所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
2.构造模型法
(1)构建方程模型
例23 上一个有10级台阶的楼梯,每步可上一级或两级,共有多少种上台阶的方法?
解:设
表示上一级台阶的步数,
表示上两级台阶的步数,则
。
当
时,
,于是用6步走完10级台阶的方法为
种;
同理,当
,4,6,8,10时,
的取值分别为5,3,2,1,0,则上台阶的方法分别为
,
,
,
,
种。
所以上台阶的方法共有
+
+
+
+
+
种。
点评:构建方程模型的关键是找到等量关系,正确列出方程。
(2)构建立体几何模型
例24 如图1中A,B,C,D为海上四个岛,
要建三座桥,将这四个小岛连接起来,
则不同的建桥方案共有( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
解:如图2,构建三棱锥
,四个顶点表示小岛,六条棱表示连接任意两岛的桥梁,由题意,只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法,这可由间接法完成:从六条棱中任取三条棱的不同取法
为
种,任取三条共面棱的不同取法为4种,所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为
种,故选C项。
点评:构建恰当的立体几何模型,可以使排列组合问题显得直观清晰、简洁明快。
(3)构建隔板模型
例25 把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于其编号数,则共有 种不同的放法。
解:运用隔板法必须同时具备以下三个条件:①所有元素必须相同;②所有元素必须分完;③每组至少有一个元素。
此例有限条件,不能直接运用隔板法,但可转化为隔板问题,向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球后,还剩余17个球,然后再把这17个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有
种不同的分法。
点评:根据问题的特点,把握问题的本质,通过联想、类比是构建模型的关键。
(4)构建邮箱模型
例26 若集合
,
满足
,则称
为集合
的一个分拆,并规定:当且仅当
时,
与
为集合的同一种分拆,则集合
的不同分拆种数为 。
解:建立
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
模型,如图3,设集合
为邮筒①,设集合
为邮筒②,设集合
为邮筒③,设
,
,
三个元素为三封信,则问题转化为熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题,可分三步进行求 解:
第一步,投
共有
种投法;第二步,投
共有
种投法;第三步,投
共有
种投法。根据分步计数原理共有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 种投法,即集合
的不同分拆种数为
。
点评:本题属于集合类信息迁移题,若直接分类求解则较繁,这里通过构建邮筒模型转化求解,思路清晰、运算简练。
十三.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例27.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个?
解析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有
个,所以圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有
个.
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