·34· 中学数学月刊 2009年第6期
球类运动中的数学问题
曾新华(湖南省衡阳县第三中学421200)
周友良(湖南省祁东县育贤中学421600)
数学是高中学生感到最头疼的一门学科，知识深奥
且枯燥，为了提高学生学习数学的兴趣，可从学生感兴趣
的素材，如球类活动人手，充分挖掘体育运动中的数学问
题，以激发学生学习数学的热情．
问题1 在排球运动中，为了使从某一位置和某一高
度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范
围应是多少?已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离
网水平距离s，求水平扣球速度u
的取值范围．
分析 假设运动员用速度
‰扣球时，球刚好不会出界，用
速度‰扣球时，球刚好不触网，
从图中数量关系可得
图1
‰=镰2h=(L+s)√轰；， V Z九
Vi
’％n2_蒜=52(h--H)／2(h 1-1．一H)V—丁
实际扣球速度应在这两个值之间．
问题2 如图2，足球比赛场地的宽为a米，球门宽为
b米，在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近带球过人，
沿直线Z(贴近球场边线)向前推进．试问，该边锋在距离
乙方底线多远时起脚射门的命中角最大?(注：图2中AB
表
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示乙方所守球门，AB所在直线为乙方底线，l表示甲方
边锋前进的直线)
A(0，
B(0．
图2 图3
分析 以z和直线AB的交点D为原点，Z为z轴，DA
为3，轴，建立如图3所示的直角坐标系，设AB中点为M，
则
DA=I：a4+MA=虿a十ib=丁a+b，
DB=DM一日订=虿a一百b=堡≠．
设动点C(边锋起脚处)的坐标为(z，0)，z>0．
LACO=a，么上jo[)=p，则口，p∈(o，—罟)，tanZACB=
．a．．．．+．．．．——b——．a．．．．--．．．．—b—
tan(口一p5}竿麓焉2．_；2互x砸2x=
巧芋≤礴。丽
由于正切函数在(o，{)上是增函数，故当且仅与z
一掣'晟口z=罕时，么躺达到最大角，此时
c(罕，。)，即甲方边锋距乙方底线罕米处
射f-J臣t命中角最大．
问题3 如图4，一位运动员在距篮下4米处投篮，球
出手时离地面2米，以仰角60。做斜上抛运动，篮框距地面
3．2米，问出手时速度为多少刚好投进去．(设重力加速度
g；10m／s2，空气阻力忽略不计)
分析 设球出手后做初
速度为u的斜上抛运动，球平=
"t／COS60。一去"，啦直=vsin60。
一枣饥
水平方向考虑：从球出手
至进篮的时间f一÷一导．
A
图4
竖直方向考虑：到最高位置A时需
，厄
一登：鱼10 20。
!
设球出手后到达最高位置A的相对高度为h，则h=
譬口·案一{灿×(案)2=嘉舻一面3扩=丽3矿，
故从最高位置A到篮框的相对高度_fl’2蠢舻一(3·2
—2)一蠢舻一1·2，
所以蠢扩一1．2=百1×10×开，
解之得t1=
万方数据
2009年第6期 中学数学月刊 ·35·
故从竖直方向考察，从球出手到进篮框所需时间为
铥计
、
由题意得方程：导一豸u+
可求得所需速度u
(2)试问h在什么范围内变化时，对于任意讪∈[9，
12]，排球既不触网也不出边界?
rz2讪f，
解 (1’因为1y：h--百192,g210'所以y2^一V2 盲
，解此方程
上一(三)z：^一霉．2g、Vo7一“ 荫。
此题以篮球运动为背景创设问题情境，借助物理中的
上抛运动这一知识点来构建方程求解．
问题4 排球场总长度为18m，网高为2m，运动员
站在离网3m远的0处，面对球网竖直跳起，将球向正前
方水平击出，设排球在运动过程中与地面的距离为Y，离
开击球点A的总的水平距离为z
m，若击球点A的高度为hm，运
动员将排球向前击出的速度为讪
m／s．(不计空气阻力，取重力加速
度g—lOm／s2)
图5
rz2tb￡’
提示：平抛运动规铡：·一百1Y h ∥z，‘为时间(sL2一百∥。，
(1)在排球不触网的情况下，将Y表示为z的函数，
要不触网，需z一3时，y>2，即^>2+等．
又y≥o，解得o≤z≤≤娑功．
所以y一^一詈(o≤z≤孚¨>2+势
(2)由(1)知，不触网时矗>2+笺①；球不出界，则zⅦ
≤12②．
对于任意t】b∈E9，12]，排球既不触网又不出界，即对
于任意讪∈[9，12]，①，②要恒成立．
因为(2+訾)一=2+酉45=可23，‰=孚·12，砺 ol ， o
故由①，得^>鲁；由②，得^≤5，故^∈(警，53．
从“小题大做"到“小题小做"
邓勤(江苏省常州市北郊中学213000)
华罗庚先生把学习过程精辟地归纳为“由薄到厚”与
“由厚到薄”两个阶段，高中阶段的数学学习同样也要经
历这两个过程．首先对所学的知识要理解和弄懂，不仅要
记住概念、定理、公式、法则，而且要弄清楚其适用的条件，
与前后知识的联系，能否衍生新的知识，等等，这样细加分
析、思考后，就会觉得教材“越来越厚”．但是数学学习不能
就此止步，还需要把学过的内容串联起来，加以融会贯通，
提炼出它的精神实质，抓住重点、线索和基本思想方法，组
织成精炼的内容，进入“由厚到薄”的过程．只有将知识进
行高度概括后，才能实现认识的飞跃，促进知识的迁移、方
法的归纳，也更有利于进一步学习和应用．
在数学训练中，同样要经历这样两个阶段，实现“发散
和收敛”、“分析与综合”的辩证统一．近年来，填空题已经
成为高考的重要题型，在加强训练的同时，我们应该认真
思考其在高中阶段数学学习中的作用，它的价值远非一个
答案所能概括得了的．每一个填空题的答案背后都隐藏着
丰富活跃的数学思维过程，通过训练，不仅能完善学生的
知识结构，更重要的是完善学生的思维结构，使思维的活
跃性、严密性、敏捷性得到很好的培养和锻炼．因此在填空
题的专项训练中要重视“小题大做”和“小题小做”这两个
阶段的训练，只有经历这样两个层次，学生的数学能力才
能得到提升．
1 “小题大做’L完善学生的知识结构
填空题中蕴含着丰富的数学知识和生动的数学方法，
如果不加以重视和挖掘，那么学生的思维很可能浅尝辄
止，不求甚解．因此在学习的初级阶段，教师应该鼓励学生
“小题大做”，即把填空题当成解答题来训练，甚至“小题多
做”、“多题合做”充分展示其过程，提炼其方法，并不断探
究扩展．通过变式训练、一题多解、一题多变、举一反三，力
求拓宽学生的视野，完善学生的知识结构，深入挖掘其中
的数学价值，起到理解概念、提炼信息、发散思维、纵横比
较的作用．
1．1 一题多解——方法发散
』 ．2
例l椭圆鲁+去=1上的点到直线z：z+y一7的
了 ■U
最短距离是 ．
这是一道常见的圆锥曲线中的填空题，条件简单但涉
及的知识和方法多样，尤其是因为圆锥曲线在知识和方法
中的相似性，使得这道填空题具有一定的推广价值．如果
万方数据
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