Matlab在数学建模中的应用

20082 中国集体经济中国集体经济 摘要:文章首先介绍了建立数学模型 的基本步骤与方法,通过具体实例讨论了 Matlab在数学建模中的应用。将Matlab应 用在数学建模中,可以非常方便地求解模 型,从而提高了数学建模的效率与质量。 关键词:数学建模;Matlab 近几十年来,数学科学迅速向自然科 学、工程、经济、管理和社会科学等各个领 域渗透,在许多方面发挥着越来越重要的 作用,在很多情况下起着举足轻重、甚至 决定性的作用;数学建模和与之相伴的计 算正在成为工程设计中的关键工具,数学 科学与计算机技术结合,形成了一种普遍 的、可以实现的关键技术———数学技术, 并已经成为当代高新技术的一个重要的 组成部分。“高技术本质上是一种数学技 术”已为越来越多的人们所认同。用数学 方法解决各类问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 或实施数学技术,首先 要求将所考虑的问题数学化,即建立数学 模型,这就使数学建模日益显示其关键作 用,成为现代应用数学的一个重要领域。 Matlab这一数学软件能够非常方便、快 捷、高效的解决数学建模所涉及的众多实 际问题,其功能和规模比其他数学软件强 大的多。本文主要通过具体实例讨论 Matlab在数学建模中的应用,增强解决实 际问题的能力。 一、数学建模的一般步骤 数学建模并不是新东西,粗略地说, 数学建模是一个多次迭代的过程,每一次 迭代大体上包括:实际问题的抽象、简化, 做出假设,明确变量和参数;形成明确的 数学问题;以解析形式或者数值形式求解 该数学模型;对结果进行解释、分析以及 验证;若符合实际即可,不符合实际则要 进行修改,进入下一个迭代。其一般过程 如图1所示。 第一,模型准备。 了解实际背景,明确建 模目的,搜集有关信息, 掌握对象特征,形成一 个比较清晰的 “问题”。 第二,模型假设。针对问题特点和建模目 的,做出合理的、简化的假设。在合理与 简化之间作出折中。对数据资料进行分 析计算,找出起主要作用的因素,经过必 要的精炼、简化,提出若干符合客观实际 的假设。第三,模型构成。用数学的语言、 符号描述问题。发挥想象力,使用类比 法。尽量采用简单的、适当的数学工具 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达各变量之间的关系,建立相应的数学 结构,即建立数学模型。第四,模型求解。 利用各种数学方法、数学软件和计算机 技术。在难以得出解析解时,借助计算机 求出数值解。第五,模型分析。结果的误 差分析、模型对数据的稳定性分析。第 六,模型检验。与实际现象、数据比较,检 验模型的合理性、适用性。第七,模型应 用。通过检验,模型与实际相符后,投入 实际应用,解决实际问题。 二、Matlab的功能与特点 Matlab是美国 MathWorks公司自 20 世纪 80年代中期推出的数学软件,优秀 的数值计算能力和卓越的数据可视化能 力使其很快在数学软件中脱颖而出。随着 数值运算的演变,它逐渐发展成为各种系 统仿真、数字信号处理、科学可视化的通 用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 语言。在科学研究和工程应用的过 程中,往往需要大量的数学计算,传统的 纸笔和计算机已经不能从根本上满足海 量计算的要求,一些技术人员尝试使用 Basic、Fortran、C、C++等语言编写程序来 减轻工作量。但编程不仅仅需要掌握所用 语言的语法,还需要对相关算法进行深入 分析,这对大多数科学工作者而言有一定 的难度。与这些语言相比,Matlab的语法 更简单,更贴近人的思维方式。用 Matlab 编写程序,犹如在一张演算纸上排列公式 和求解问题一样,因此被称为“科学便笺 式”的科学工程计算语言。Matlab是集数 值计算、符号运算、图形处理及程序设计 等强大功能于一体的,已经发展成为多学 科、多种工作平台的科学和工程计算软 件。 Matlab的主要特点是:有高性能数值 Matlab在数学建模中的应用 ■ 张庆海 张 琼 图1 数学建模的一般步骤 科 技 研 发 170 20082中国集体经济 计算的高级算法,特别适合矩阵代数领 域;有大量事先定义的数学函数,并且有 很强的用户自定义函数功能;有强大的绘 图功能以及具有教育、科学和艺术学的图 解和可视化的二维、三维;基于 HTML的 完整的帮助功能;适合个人应用的强有力 的面向矩阵(向量)的高级程序设计语言; 能与其它语言编写的程序结合,输入、输 出格式化数据;有在多个应用领域解决难 题的工具箱。 三、Matlab在数学建模中的应用举例 正因为 Matlab这一数学软件能够非 常方便、快捷、高效地解决数学建模所涉 及的众多实际问题,因此,Matlab在数学 建模中为许多建模工作者重视。 例 1:(包含无风险证券的投资组合 问题) 金融市场上有两种证券:风险证券和 无风险证券。我们一般称风险证券为股 票,其收益率不确定;无风险证券称为债 券,其收益率是确定的。通常情况下,无风 险利率也可以认为是国有银行的存货款 利率。 设金融市场上有两种风险证券 A和 B,它们的期望收益率分别为rA=12%、rB= 12%,方差分别为 σ2A=10,σ2B=10,协方差 σ2AB=0。同时,市场上还有一种无风险债 券,利率为 rf=6%,试构造一种投资组合, 使得风险最小。 解:分析与假设:假设市场上有 N种 风险证券和一种无风险证券,以 x=(x1,x2, ⋯,xN)T表示N种风险证券上的投资比例, 则1-xTI就是在债券上的投资比例。 模型的建立:对给定的 N种风险证券 的期望收益率ri和风险 σi2及协方差 σij(i, j=1,2,⋯N,i≠j),无风险债券的期望收益率 rf,如果给定投资组合的期望收益率rp,则 可以求出投资比例x,使得投资收益率的 协方差 σp2最小,可以转化为求解如下规 划问题: min1 2 xTvx, s.txTr+(1-xTI)rf=rp " , 其中v为协方差矩阵,I为N维单位向 量。 设总资本单位为 1,分别以比例 x1购 买股票A,x2购买股票B,x3购买无风险债 券,则可以建立如下的规划问题: minxTvx, s.tx1rA+x2rB+x3rf=rp x1+x2+x3=1,x1≥0,x2≥0 $ & % & ’ . 其中 x= x1 x2 x3 ( )) * + ,, - v= σ2A σAB 0 σAB σ2B 0 0 0 ( )) * + ,, -0 因为债券无风险,所以方差、协方差 都为0,rp为投资组合的期望收益率。 根据两基金分离定理,任意指定一个 期望收益率 rp如令 rp=10%目标函数为二 次的,约束条件为一次的。应用 Lagrange 数乘法,得到 x1=6/19,x2=20/19,x3=-7/19 也就是说,为了获得10%的期望收益 率,应以无风险利率从银行贷款 7/19单 位,将贷款和手中已有的1单位现金的总 和的6/19购买A股票,20/19购买B股票。 故投资比例为 A: 6/19 6/19+20/19 =3/13 B: 20/19 6/19+20/19 =10/13 由于这并不是标准的线性规划问题, 需要用到 Lagrange数乘法,进而求解线性 方程组。 例2:(极大似然估计的原理:关于废 品率的问题) 厂家每生产一批产品,总有正品或废 品的区分,那么我们自然关心每批产品的 废品率的问题。例如,某质检员在某批产 品中抽取 50件产品进行检验,根据以往 经验将产品质量分为 6个档次,对应废品 率分别为 0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06。 现在质检员要对 50件产品检查的结果, 决定该批产品档次,我们为他提供一种合 理 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。 解:分析与假设:模拟抽样数据。设想 有一批产品,可以设定它们的档次,例如 设废品率为 p=0.04。随机抽取 n=50个样 品检验。 一件产品非正即废,用统计术语以随 机变量 X表示这一事实,则有 X= 1. 0 ,其 中 1表示产品为废品,反之为正品,显然 X服从两点分布,即 p(x=1)=p,p(x=0)=q=1- p,称X为总体,它的分布为总体分布。总 体分布决定了产品的档次,p的取值范围 是0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06。 质检员对产品 n次抽样相当于对总 体X复制了n次,得到了 n个独立同分布 的随机变量 X1,X2ΛXn。X1,X2ΛXn称为 容量为 n的简单样本,n次抽样就相当于 对总体X作n次模拟。模拟的结果相当于 得到了简单样本的一组样本观察值 x1, x2Λxn。 似然函数L(p)的定义如下: L(p)=p(X1=x1,X2=x2LXn=xn)=P(X1=x1)P (X2=x2)⋯P(Xn=xn)=px1q1-x1px2q1-x2LLpxnq1-xn 要注意的是,因xi仅取0或1的值,故 P(Xi=xi)=pxiq1-xi= p xi=1 1-pxi= . 0 所以 pxiq1-xi是两 点分布的另一种表示。 当质检员获得一批样本,需要根据样 本推断p的哪一个值更接近真实总体。显 然,应该有一个度量指标来衡量未知参数 和总体的相似性,似然函数正是这样的相 似指标,由上式得知:L(p)是简单样本 X1, X2⋯Xn取值于某个特定观察值 x1,x2⋯xn 的联合概率,而 x1,x2⋯xn反映了真实总体 X的某些特征。因此,对于p的两个可能取 到的值 p1,p2,如果有 L(p1)