阻尼谐振子的拉格朗日函数和哈密顿函数

阻尼谐振子的拉格朗日 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数和哈密顿函数 教学讨论 阻尼谐振子的拉格朗日函数和哈密顿函数 丁光涛 ()安徽师范大学 物理与电子信息学院 ,安徽 芜湖 241000 摘要 :利用一种直接 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 将阻尼谐振动微分方程变换成等价的自伴随形式 ,并构造出阻尼振子的两个拉格朗日函数和哈 密顿函数 ,导出了阻尼谐振子的 Noe the r守恒量 . 关键词 :阻尼谐振子 ;拉格朗日力学逆问题 ;拉格朗日函数 ;哈密顿函数 ; Noe the r守恒量 ( ) 文章编号 : 1000 20712 20090320013 202 中图分类号 : O 316 文献标识码 : A 阻尼运动是工程和自然界中常见的运动 , 也是 d 9L 9L 2 ? ( )βω - = h5 x?+ 2x +x?d t 9x 9x物理学中重要的研究领域 . 利用拉格朗日力学逆问 ( )下面来确定乘子 h. 展开式 5 左边 , 可得 题的理论和方法 ,可以把若干非保守的阻尼运动纳 [ 1 - 4 ] 2 入分析力学课题 . 本文利用一种直接方法 将阻 9L ( )6 h = 2? 9x 尼谐振动微分方程变换成自伴随形式 , 再导出阻尼 2 2 2 9 L 9 L 9L?? 谐振子的两个等效的拉格朗日函数以及对应的哈密βω ( ) h 2x +x =7 + - x??9x 9x 9x 9 t 9x顿函数 ,其中一个直接与时间相关 ,而另一个与时间 ??( )( ) 式 6 两边对 x求偏导并乘以 x , 式 7 两边对 x 求无关. 最后 , 根 据 Noe the r定 理 导 出 两 个 Noe the r守 恒量. 偏导 , 可得 [ 5 ]9h9h9h2 ?? βωβ( )x = 8 2x +x + 2h - 1 阻尼谐振动微分方程和运动规律 ?9x 9 t 9x 质点在阻尼媒质中的振动方程为 ( ) 式 8 是 确 定 h 的 方 程 , 下 边 考 虑 两 种 特 殊 形 式 的 h. ?γ m x?+x( )+ kx = 0 1 ( ) ( ))h= ht, 式 8 化作1 1 1 化简写成 dh 12 ( )β9 ?- 2h= 0 1 βω ( )x?+ 2x +x = 02 d t β 2t2 22( ) 10 h= e β γωωβ式中 2=/m , = k /m. 本文只讨论 1 >情况 ,?( ) ( )) 2 h= hx, x , 式 8 化作2 2 ( )方程 2 的解为β- t h 99h 222 ( )Ω φ 3 x = A e co s t +? ? 0 β( )βω - x11 2x +x+ 2h = 0 2 ? 9x 9 x φ式中 A 和 为由初始条件决定的常量 , 而 0 由此求得 22 Ω 1 ωβ ( )- =4 ( )12 h= 2 2 2 2??βω x + 2xx +x( )式 3 是阻尼谐振子的运动规律 . 利用拉格朗日力学逆问题方法 ,可以得到与 h 1 h相对应的两个拉格朗日函数 :和 22 阻尼谐振子的两个等效的拉格朗日函数 1 β 2t 22 2 ?( )ω 13 L= ex - x[ 1, 2 ] 1 ( ) 2 根据拉格朗日力学逆问题理论 , 方程 2 不 ?? 是自伴随的 , 因此不能直接 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成拉格朗日方程形 ββ xx+x+xL=a rc tan - 2 ?ΩΩ xx( ) ( ) 式 . 将方程 2 乘以 h x, x , t, 使其成为自伴随形 1 22 2 ? 式 , 即可以表示成拉格朗日方程形式 ?( )βω14 xx + 2x x +ln 2 L和 L是同位等效的拉格朗日函数 ,由它们导出的 9L121 ? ( )βΩ 24 )sint+ G = 0N ? 拉格朗日方程并不相同 : 9x 9L9L 式中 d 11β2 2t?ω ( ) β +x = 015 -= ex?+ 2x β t?d t 9x βΩ ΩΩ ( ) 25 9xG= e x sint - x co st N 9L9L 221 d 由此得到一个 Noe the r守恒量? -= 2 2 2 ?β?t ?d t 9x ? β 9xx + 2xxω +xΩ βΩ ΩΩ = C I = e x sint +x sint - x co st N1 1 2 ?βω ( )x?+ 2x +x = 016 ( )26 ( )( ) ( ) 而从式 15 和 16 , 都可以得到方程 2 . 对函数 L , 无限小变换 2 ( )ε27 x ′= x t′= t - ,3 阻尼谐振子的两个哈密顿函数 Noe the r等 式 成 立 , 且 G= 0, 由 此 得 到 另 一 个 N 对函数 L, 广义动量 1 Noe the r守恒量 9L 1β 2t?2 2 1 2?? ( )p== e x17 1 βωI = ln x + 2xx +x-N 2 ? 9x2 ? β哈密顿函数 β +x x ( ) =28 a rc tan C 2Ω Ω x 1 β 1 β - 2t2 2t 2( )18 H= e p+ e x1 1 事实上 , 由于 9L / 9 t = 0, I 就是拉格朗日力学中的 2 2 2 N 2 ( )这个函数在经典力学中出现较多 , 且在量子理论中 雅可比积分 , 它与前面的积分 22 是一致的 . [ 6, 7 ] ? ( ) ( ) 也得到应用 , 它直接与时间相关 .顺便指出 , 将式 3 及由式 3 导出的 x 表达 ( )( ) 式 , 代入式 26 和式 28 , 可以验证两式都成立. 对函数 L, 广义动量2 ? 9L β x 2 1 +x( )19 p= = a rc tan参考文献 : 2 ?ΩΩ xx 9x San tilli R M. Founda tion s of Theo re tica l M echan ic s ? [ 1 ] 由此反解得 [M ]. N ewYo rk: Sp ringe r - V e rlag, 1983: 281 - 358. ? β( )ΩΩ20 x=x tan x p- x 2梅凤翔 . 分析力学专题 [M ]. 北京 :北京工学院出版社 , [ 2 ] 对应的哈密顿函数 1988: 211 - 239. ΩΩβ( )21 H= ln x sec x p- x p 丁光涛 . 处理阻尼运动的分析力学方法 [ J ]. 黄淮学刊 , 2 22[ 3 ] 这个函数的结构比较复杂 , 但是 , 由于 9H/ 9 t = 0, 故( ) 1991, 7 2 : 7 - 10. 2 丁光涛 . 阻尼落体运动的分析力学研究 [ J ]. 大学物理 , ΩΩβ( )H= ln x sec x p- x p=常量 22 2 22 [ 4 ] ( ) 2006, 25 10 : 11 - 15. [ 8 ]李德 民 , 陈昌民 . 经典力学 [M ]. 北京 : 高 等 教 育 出 版 4 阻尼谐振子的两个 Noe ther守恒量 [ 5 ] 社 , 2006: 61 - 64. 根据 Noe the r理论 , 对 拉格朗日 系 统由 Noe the r 彭 桓 武 . 阻 尼 振 子 的 量 子 力 学 处 理 [ J ]. 物 理 学 报 , 对称性可以直接导出 Noe the r守恒量 .( ) [ 6 ] 1980 , 29 8 : 1 084 - 1 089. 朱关明 . 轻阻尼振子的经典力学处理和量子力学处理 对函数 L, 无限小变换1 ( ) [ J ]. 大学物理 , 1990, 9 8: 11 - 13. β[ 7 ] - t εΩ ( ) x ′= x +e sint23 t′= t, 梅凤翔 . 约束力学系统的对称性与守恒量 [M ]. 北京 : 北京理工大学出版社 , 2004: 1 - 35. 满足 Noe the r等式[ 8 ] 9Lββ1- t - t (ΩΩ Ω + e co st -e sint 9x The Lagrang ian and Ham ilton ian of dam ped ha rm on ic osc illa tor D IN G Guang2tao ( )The Co llege of Physic s and E lec tron ic Info rm a tion, A nhu i No rm a l U n ive rsity, W uhu 241000, Ch ina () A b stra c t: The d iffe ren tia l equa tion of damp ed ha rmon ic o sc illa to r DHO is tran sfo rm ed in to an equ iva len t se lf2ad jo in t fo rm by u sing a d irec t m e thod. Two L agrangian s and H am ilton ian s of DHO a re con struc ted and the Noe the r con se rved quan titie s fo r the DHO a re ob ta ined. Key word s: damp ed ha rmon ic o sc illa to r; inve rse p rob lem of L agrange m echan ic s; L agrangian func tion; H am 2 ilton ian func tion; Noe the r con se rved quan tity