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多面体欧拉公式的发现(二).doc

多面体欧拉公式的发现(二)

装模作样_
2017-09-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《多面体欧拉公式的发现(二)doc》,可适用于综合领域

多面体欧拉公式的发现(二)教学时间第十课时课题研究性课题:多面体欧拉公式的发现(二)教学目标(一)教学知识点欧拉公式的证明欧拉公式的应用(二)能力训练要求使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中(三)德育渗透目标继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力教学重点欧拉公式的应用教学难点欧拉公式的证明思路教学方法学导式本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动遵循寻求规律发现规律认识规律应用规律的学习过程对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究探索它的证明思路让学生了解这种证明思想进而达到熟练掌握欧拉公式的目标以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中教具准备投影片三张第一张:课本P问题()()(记作A)第二张:本课时教案例(记作B)第三张:本课时教案例(记作C)教学过程课题导入,师,上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨讲授新课,师,上节课我们已对课本P的欧拉公式的证明进行了自学那么谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么,,生,将立体图形转化为平面图形,师,好前面我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题转化为平面中的问题就会前进一大步了那么课本中是怎样实现转化的呢,,生,把多面体想成是用橡皮膜做成的即课本P图的多面体将它的底面ABCDE剪掉然后其余各面拉开铺平得到如图相应的平面多边形,师,在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢,为什么,,生,不会引起原来多面体中V、E、F的变化以上变化过程中只改变了原多面体各面的大小各棱的长短而V、F、E这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的,师,也就是说只要不改变每个面(多边形)的边数不使顶点(棱或面)重合无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短V、F、E这三个数就不变当然它们之间的关系也不会改变好下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题(学生思考整理问题教师等待、耐心解答可能会问到以下问题)在课本P的计算多边形内角和()中nn„n和多面体的棱数E有什么关系,F说明理由(教师应给学讲清因为多面体每一条棱同属于两个面所以有nn„n=E)F怎样理解P的计算多边形内角和()中的“全体多边形”,(教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE)怎样说明为什么有“(E,F)=(V,)”(教师应再次强调给学生:在变形过程中原来多面体的面是几边形它对应的仍是几边形而多边形的内角和仅与边数有关所以多面体各面多边形的内角和应等于图中各小多边形及“最大”多边形(即多边形ABCDE)的内角总和,师,欧拉定理表明任意的一个简单多面体经过连续变形后尽管它的形状可以变化万千但有一个数始终不变这就是:顶点数面数,棱数它总是等于所以将叫做连续变形下的不变数下面我们来应用欧拉定理(打出投影片A,读题),师,问题的()是关于化学上C分子的结构问题也是欧拉公式的应用问题(以下过程教师板书)解:设C分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个多面体的顶点数V=面数F=xy,棱数E=(×)根据欧拉公式可得(xy),(×)=另一方面棱数也可由多边形的边数来表示即(xy)=(×)由以上两方程可解得x=,y=答:C分子中形状为五边形和六边形的面各有个和个,师,对于问题()则通常先假设一个简单多面体的棱数E=再根据欧拉公式进行推理论证(师生共同写出以下过程)解:假设一个简单多面体的棱数E=根据欧拉公式VF,E=得VF==因多面体的顶点数V面数F,所以只有两种情况:V=F=或V=F=因为个顶点的多面体只有是四面体而四面体也只有个面所以上述两种情况(VF=)都不存在答:没有棱数是的简单多面体,师,通过问题两个小题的分析之后你体会到解决()的关键是什么,,生甲,利用欧拉公式列出一个等式,生乙,利用棱数与边数的关系列出一个等式,师,甲、乙两位同学说得都对解决()的关键就是找等量关系即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系再思考()中应用了数学的什么重要思想,,生,方程思想,师,对本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想对于解决()的关键又是什么呢,,生,V,F是一个几何体为凸多面体的必要条件本题中抓住F=与V=必然同时成立引出矛盾,师,这也是凸多面体具有的一条重要性质希望同学们能够注意继续体会欧拉公式的应用(打出投影片B,读题),例,已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱求证:V=F,,师,欲求出V与F的关系需结合已知条件寻找V与E的关系再结合欧拉公式得出具体如何做呢,,生,因此简单多面体每个顶点都有三条棱而每条棱上有两个顶点所以有V=E即E=V又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式所以VF,V=即VF,V=故得V=F,,师,以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类,生,每个面都是有相同边数的正多边形且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体正多面体只有五种:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体,师,对于“为什么只有五种正多面体”的问题今天就可以利用欧拉公式证明了(打出投影片C,读题),例,证明:正多面体只有四种即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,师,解决这个问题应从什么地方入手考虑,,生,从正多面体的定义考虑,师,同学们翻开课本P欧拉公式和正多面体的种类仔细阅读体会其中的证明思路与方法(学生自学教师查看解决学生疑难问题)课堂练习课本P习题、P习题:C分子是与C分子类似的球状多面体结构它有个顶点以每个顶点为一端都有条棱各面是五边形或六边形求C分子中五边形和六边形的个数答案:设有x个五边形和y个六边形F=xy,E==V=,E=(xy)xy,,,,,(xy),,,解之得x=,y=答:C分子中五边形为个六边形为个P习题:设一个凸多面体有V个顶点求证它的各面多边形的内角总和为(V,)证明:设这一凸多面体的各面分别为n,n,„,n边形则各面多边形内角和是F(n,)(n,)„(n,)=(nn„n),FFF=(nn„n,F)Fnn„n=EF原式=(E,F)VF,E=E,F=V,原式=(V,)课时小结本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想另外同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题课后作业(一)求证:如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形那么面数是偶数证明:设简单多面体的面数为F因为各面的边数为奇数所以简单多面体各面边数的和为F个奇数的和,,,,,,,,,,,,,,,即当把F个面拼合成多面体时两条边合成一条棱(m)(n)?(k)则,,,,,,,,,,,,,,,(m)(n)?(k)(mn?k)F偶数F,,棱数E=因为E必须为整数所以(偶数F)能被整除又因为(偶数F)中偶数能被整除所以F必须被整除即F必须为偶数(二)预习内容课本P球的概念和性质至P结束预习提纲()怎样给球定义呢,()准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念()尝试归纳并证明球的性质()结合地球仪理解地球上的经纬线知道某地点的经度与纬度()你是怎样理解“球面上两点之间的最短连线的长度”,板书设计研究性课题:多面体欧拉公式的发现(二)欧拉公式的证明练习思路步骤小结欧拉公式的应用例分析解

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