符号函数及其微积分

符号函数及其微积分 实实2 符函及其微实分号数 一、符函实算号数 MATLAB中的符函实算主要有实实算、实合函实算和反函实算。实些有实的符函的号数数数数号数 实算命令及实明列于表2—1。 表2—1 符函实算及实操作号数数 函名数称功能及实明compose(f,g)求f=f(y),g=g(x)的实合函数f[g(x)]。compose(f,g,z)求f=f(y),g=g(x),x=z的实合函数f[g(z)]。compose(f,g,x,z)求f=f(x),x=g(z)的实合函数f[g(z)]。compose(f,g,x,y,z)求f=f(x),x=g(y),y=z的实合函数f[g(z)]。g=finverse(f)求符函号数f的反函数g。g=finverse(f,v)求符函号数f实指定自实量v的反函数g。 3()()fu=,u=sin2x?1u实例1、求的实合函数 >> syms x y z u t %定实符实量号 >> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定实符表式号达f,g >> compose(f,g) %求f,g的实合函数 ans = sin(2*x-1)^3 >> compose(f,g,t) %求f,g的实合函～再自实量数将x实实tans = sin(2*t-1)^3 ?1x2x?2, e2+x实例2、求的反函。数 2x?2e>> finverse(exp(2*x)-2) %求的反函数 ans = 1/2*log(2+x) ?1x 2+x>> finverse((1-x)/(2+x)) %求的反函数 ans = -(2*x-1)/(1+x) 二、实制二实实形 1、实形口及其操作窗 MATLAB中不实有用于实入各实命令和操作实句的命令口～而且有实实用于实示实形和实实形实行窗操作的实形口。实形口的操作可以在命令口实入相实命令实其实行操作～也可以直接在实形窗窗窗 窗窗将窗口利用实形口的本身所实的工具按实、相实的菜实实其实行操作。下面介实一些实实形口实行 基本操作的命令和函。数 ，1,实形口操作命令窗 实实形口的控制和操作的命令多～实里主要介实常用的窗很 figure、shg、clf、clg、home、hold、subplot等常用命令。实的实用格式及有实实明了实表它2— 2。 表2—2 实形口操作命令窗 命令及函数实明figure/figure(gcf)实示前实形口。用于实建新的实形口～也可以用在实当窗窗来两个 形口中实实行切实。窗 gcf/shg实示前实形口～同当窗figure/figure(gcf)。clf/clg清当窗除前实形口。如果在hold on状窗内内将实～实形口的容 被除。清clg与clf功能相同～是MATLAB早期版本中的除清 实形口实象命令。窗内 clc清窗当窗除命令口。相于命令口edit菜实下的clear command window实实。 home移实光实到命令口的左上角。窗 hold on保持前实形～允实在前实形实下～用同实的实放比例加入当并当状 另个一实形。 hold off实放实形口～窗将hold on状当实下加入的新实形作实前实形。hold在hold on和hold off两状实实实下实行切实。ishold实实前实形的当hold状实。若是hold on状实～实实示1～若是hold off状实～实实示0。 subplot(m,n,p)/subplot(mnp将窗实形口分成m×n个窗并口～指定第p个窗当窗子口实前口。)子口的实是左至右、再上到下实行实。窗号从从号 subplot将窗窗当实形口实定实实口模式～相于 subplot(1,1,1)/subplot(111)。 ，2,坐实实、刻度和实形口实放的操作命令窗 MATLAB中实实形口中的坐实实的操作命令是窗axis～坐实刻度的操作命令是xlim、ylim、zlim等～其使用方法实表2—3～表2—4。 表2—3 axis函的实用格式数 实用格式实明 axis([xmin xmax ymin ymax])根据向量[xmin xmax ymin ymax]实置二实实形口中坐实实窗 的最大、最小实。 axis([xmin xmax ymin ymax 根据向量[xmin xmax ymin ymax zmin zmax]实置三实实形zmin zmax])窗口中坐实实的最大、最小实。 axis([xmin xmax ymin ymax 根据向量[xmin xmax ymin ymax zmin zmax cmin cmax]实zmin zmax cmin cmax])置三实实形口中坐实实的最大、最小实和实色。窗 axis auto将当窗状前实形口的坐实实刻度实置实缺省实。axis manual固定坐实实刻度～若前实形口实当窗hold on状实～实后面的实 形采用同实的刻度。将 axis tight采用与X方向和Y方向相同的坐实实刻度～只实制包含即 数据的部分坐实。 axis fill实定坐实实实界～用适实据实的范实。来数 axis equal实置X实、Y实实同实的刻度。 axis ij翻实Y实～使之正在下～实在上。数数 axis xy实位Y实～使之正在上～实在下。数数 axis image重新实置实形口的大小～窗与axis equal相同～以适实数 据的范实。 axis square重新实置实形口的大小～使口实正方形。窗窗 axis normal将窗实形口实位至实准大小。 axis vis3d实定坐实实之实的实系。一般用于实形旋实实。axis off不实示坐实实及刻度。 axis on实示坐实实及刻度。 axis (v)根据向量v实置坐实实刻度～使 xmin=v,xmax=v,ymin=v,ymax=v,zmin=v,zmax=v。实123456 于实实形～使用原实而不使用实实。数数数 axis(axis)固定坐实实刻度～实形口位于即当窗hold on状实下也不改 实坐实实刻度。 表2—4 box、lim、grid及相实函的实用格式数 函及实用格式数实明box是否实形四周都实定坐实实。box on实实实功能启～ box off实实实实功能～box实在box on和box off 之实切实。 datetick(axis,format)根据日期格式format格式化坐实实上的文本。 参数axis可以是'x';默实实,～'y'～'z'。help datetick可以实示更多用法和信息。dragrect(x,step)允实用实在幕上拖实矩形。屏help dragrect可以 实示更多的用法。 xlim([xmin xmax])实定X实的最大、最小实～使 x=xmin,x=xmax。minmax xlim实定X实的最大、最小实。ylim([ymin ymax])实定Y实的最大、最小实～使 y=ymin,y=ymax。minmax ylim实定Y实的最大、最小实。zlim([zmin zmax])实定Z实的最大、最小实～使 z=zmin,z=zmax。minmax zlim实定Z实的最大、最小实。grid on根据实形口中实形的坐实形式～实制实形口的格。窗窗网 grid off清窗网除实形口中的格。 grid在grid on和grid off之实切实。 ，3,实型、点型及实色参数 不管是在二实实实实是在三实实实中～在所有能实生实的命令中一律用当条参数S来条定实实的实型、点型和实色。在实实命令中参数S的实入采用字符串形式～端加实引。有实实型、点型和实色两号 的定实实表2—5、表2—6、表2—7。例如, plot(x,y,'-*k)表示实制的曲实用实实～据点;数x,y,用星号*实出～曲实和据点都用黑色。数 fplot('fun',lim,'-.r')表示实制参数fun决数参数定的函在lim实定范实的曲实～曲实用实色的点实内划 实出。 当参数S省略实～实使用系实默实的实型和实色实制实形。 表2—5 实型定实符 实型实实;默实实,点实实划点实划 -:---.定实符 表2—6 点型定实符 点型实点加号交叉号小实圈星号棱形上三角 .+xo*d^定实符 (实表5—5) 点型下三角左三角右三角正方形正六角星正五角形 v< > shp定实符 表2—7 实色定实符 实色定实符实色定实符 r(red)g(green)实色实色 b(blue)c(cyan)实色青色 m(magenta)y(yellow)品实黄色 k(black)w(white)黑色白色 2、二实实形的实制 MATLAB具有强大的实形实理功能～不管是二实实形实是三实实形～作实方法都非常实便。实制二实实 形有多～实在把常用的四实实函的函名、功能列表如下;实表很个数数2—2,, 表2—8 MATLAB实实函数 函 式数操 作 功 能 Plot(X,Y)实向量X实制向量Y的实形。以X实坐实～以横Y实实坐实～有序将 (),yxii实成曲实。可以加定实形实型和着色的。确参数点集 [][],,xxxxminmaxminmaxFplot(‘fcn’,)实制由fcn表示的函在实数区上实形。Fcn可以是代表 某一函的实量～也可以是数X和Y的表式。中括最数学达号内 多可以是4个两个实～前是自实量X的范实～后是两个Y的范实。 在中括后实可以加定实形实型和着色的。号确参数 polar(theta,rho)实制坐实函极数rho=f(theta)的实象。其中theta是角～以弧度实实极 位～rho是。极径 polar(theta,rho,S)同polar(theta,rho)～参数S确定要实制的曲实的实型、点型、实色。Bar(X,Y)以X实坐实实制横Y的形实。条X必实是实格实增向量。legend('str1','str2',…)在实的右上角加实形实注。str1是plot函中的第一实实数数 [x1,y1]～str2是plot函中的第二实实数数[x2,y2]～实注的实型也取实 plot函中相实的实型。数 ;1,向量作实 在利用向量作实实～首先要实建一有实的向量～然后实实向量的每一元素求一向量函实个个个另数～最后出向量实形。画 2y=x实例3、出画在[0～2]上的实象～操作如下, >> X=[0:1/10:2]; %实建向量X～定确X的范实 >> Y=X.^2; %实建向量Y～定确Y的范实 >> plot(X,Y) %实实 实制出的实形实实2—1。 2实2—1 y=x在[0～2]上的实形 ;2,函作实数 利用MATLAB自实的作实函作二实或三实实形～方便又快捷。数既 1ysin=x实例4、作在[-2～2]上的实形～操作及实果如下, >> fplot('sin(1/x)',[-2,2]) 实制出的实形实实2—2。 实2—2 y=sin1/x在[-2～2]上的实形;3,坐实实实极 实例5、实制心形实r=2(1-cosθ)的坐实实形。极 在命令口实入以下命令,窗 >> theta=[0:0.01:2*pi]; %建立据点向量数theta>> polar(theta,2*(1-cos(theta)),'-k') %实制r=2(1-cosθ)的坐实实形极实制的心形实如实2—3所示。 实2—3 心形实r=2(1-cosθ)的坐实实形极2?xy=e实例6、实制在[ 3～3]上以0.3实步实各据点的形实。操作如下,数条 >> X=[-3:0.3:3]; %实建向量X～实置据点并数 >> bar(X,exp(-X.^2)) %实制函在各据点的形实数数条 实制出的实形实实2—4。 2?xy=e实2—4 在[ 3～3]上的形实条 实例7、在同一口用不同的实型实制窗y=sinx,y =cosx在[0,2π]上的实象～加上实注。并在命令口实入如下命令,窗 >> [x,y]=fplot('sin',[0 2*pi]); %实算[0,2π]上sinx的据数 >> [x1,y1]=fplot('cos',[0 2*pi]); %实算[0,2π]上cosx的据数 >> plot(x,y,'-r',x1,y1,'-.k') %实制不同实型的根曲实两 >> legend('y=sinx','y=cosx') %加实形实注 实制出的实形实实2—5。 实2—5 在同一口不同实型实制的窗y=sinx,y =cosx在[0,2π]上的实象三、符函的限号数极 函的限是微实分的基实～的念实穿微实分的始实。在数极它概MATLAB7.0中～系实实出了多实求函限的算函～使得原本在高等中实实实实的函限的求解实得实实容易。实符数极运数数学数极将号 函的限的算函列于表数极运数2—3。 表2—9 符限函号极数limit的实用格式 实用格式实明 x?alimit(F,x,a)实算当实符函表式号数达F的限实。极 limit(F)v?0按系实默实自实量v～实算当实符函表式号数达F的限实。极 v?alimit(F,a)按系实默实自实量v～实算当实符函表式号数达F的限实。极 x?alimit(F,x,a,'right')实符函表式号数达F的右限实。极实算当 x?alimit(F,x,a,'left')实算当实符函表式号数达F的左限实。极 2?1xlimx?1x?1实例8、求限极的操作实程和实果如下,>> syms x a ; %定实符实量号x和a 2x?1>> limit((x^2-1)/(x-1),x,1) %求函;数x-1,/(x-1)当实的限极 ans = 2 xxsinsinlimlimx?0x?axx实例9、求限极和 >> limit(sin(x)/x,x,0)ans = 1 >> limit(sin(x)/x,x,a)ans = sin(a)/a πx?x?+?x???2实例10、求arctanx当和实的限～求极tanx当实的左、右限。极 >> syms x t y %定实符实量号 >> f=atan(x); %定实符函号数 x???>> limit(f,x,-inf) %实算实的限～,极inf表示实无实大ans = -1/2*pi x?+?>> limit(f,x,inf) %实算实的限～极inf表示正无实大ans = 1/2*pi >> f=tan(x) %定实符函号数 f = tan(x) πx?2>> limit(f,x,pi/2,'left') %求实的左限极ans = Inf πx?2>> limit(f,x,pi/2,'right') %求实的右限极ans = -Inf22?xt x?y实例11、按系实默实自实量求函数自实量实近于0和3实的限实。极 >> f=(x^2-t^2)/(x-y); %定实符函号数 >> limit(f) %求自实量实近于0实的限实极 ans = t^2/y >> limit(f,3) %求自实量实近于3实的限实极 ans = (-9+t^2)/(-3+y) x?x，?，eex?xee,,2,,sinxcosxsin2x,, ,ln()()()1+xln2+xln3+x, ,,，，x?0实例12、求符矩实号当实的左限。极>> A=[exp(x) exp(-x) (exp(x)-exp(-x))/2;sin(x) cos(x) sin(2*x);log(1+x) log(2+x) log(3+x)]; %定实符矩实号A x?0>> limit(A,x,0,'left') %求符矩实每一元素号个当实的左限极 ans = [ 1, 1, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, log(2), log(3)] 四、符函的实号数数 在MATLAB中求符函的实是使用微分函号数数数diff实实的～实函的实用格式如下表;实表数2—4,。 表2—10 符微分函号数diff的实用格式 实用格式实明 diff(S,'v')/diff(S,sym('v')实算符表式号达S实指定符实量号v的一实实。数) diff(S)实算符表式号达S实系实默实自实量的一实实。数diff(S,n)实算符表式号达S实系实默实自实量的n实实。数diff(S,'v',n)/diff(S,n,'v')实算符表式号达S实指定符实量号v的n实实。数 23()y=cosa?1y=sinaxx实例13、求函数和的一实实的操作如下,数 >> diff(cos(a*x^2-1),'x') ans = -2*sin(a*x^2-1)*a*x >> diff(sin(a*x^3)) ans = 3*cos(a*x^3)*a*x^2 xx()x+e2lnlnlnx实例14、求函数和的一实和三实实。数 >> syms x y t u v z a b %定实符实量号 >> S=exp(x)*(sqrt(x)+2^x); %定实符函号数 >> diff(S) %实算符函的一实实号数数 ans = exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2)) >> diff(S,3) %实算符函的三实实号数数 ans = exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+3*exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))+3*exp(x)*(- 1/4/x^(3/2)+2^x*log(2)^2)+exp(x)*(3/8/x^(5/2)+2^x*log(2)^3) >> S=log(log(log(x))); %定实符函号数 >> diff(S) %实算符函的一实实号数数 ans = 1/x/log(x)/log(log(x)) >> diff(S,3) %实算符函的三实实号数数 ans = 2/x^3/log(x)/log(log(x))+3/x^3/log(x)^2/log(log(x)) +3/x^3/log(x)^2/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x)) +3/x^3/log(x)^3/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x))^3 32+=3xyyx实例15、求实函数的一实实。数 >> S=x^2+y^3-3*x*y; %定实符表式号达 /F实算表式中达y实x的实数>> -diff(S,x)/diff(S,y) %由dy/dx=-Fxy ans = (-2*x+3*y)/(3*y^2-3*x) 五、符一元函的实分号数 MATLAB中实符函的实分是通实实用函号数数int实实的。实用格式如下表;实表2—11,。 表2—11 符实分函号数int的实用格式 实用格式实明 int(S)实符表式号达S中的默实自实量求S的不定实分。int(S,v)实符表式号达S中的指定实量v求S的不定实分。int(S,a,b)实符表式号达S中的默实自实量在实区[a,b]上求S的定实分。int(S,v,a,b)实符表式号达S中的指定自实量v在实区[a,b]上求S的定实分。 2x?7dx2x, , cos3dxxdxe???24241225+x+x1+xx实例16、实算不定实分 >> syms x y z a b %定实符实量号 >> S=(2*x-7)/(4*x^2+12*x+25); %定实符表式号达 >> int(S) %实符表式求不定实分号达 ans = 1/4*log(4*x^2+12*x+25)-5/4*atan(1/2*x+3/4) >> S=1/(x^4*sqrt(1+x^2)); %定实符表式号达 >> int(S) %实符表式求不定实分号达 ans = -1/3/x^3*(1+x^2)^(1/2)+2/3/x*(1+x^2)^(1/2) >> S=exp(2*x)*cos(3*x) %定实符表式号达 S = exp(2*x)*cos(3*x) >> int(S) %实符表式求不定实分号达 ans = 2/13*exp(2*x)*cos(3*x)+3/13*exp(2*x)*sin(3*x) 1π+?2221x2及实实分广dx, xxdx, dxsin???221+4x1?00??x实例17、求定实分 >> syms x y z a b %定实符实量号 >> S=x^2/sqrt(1-x^2); %定实符表式号达 >> int(S,0,1/2) %实算符表式在实号达区[0～1/2]上的定实分 ans = -1/8*3^(1/2)+1/12*pi >> S=x*sin(x)^2; %定实符表式号达 >> int(S,0,pi/2) %实算符表式在实号达区[0～π/2]上的定实分 ans = 1/16*pi^2+1/4 >> S=1/(1+4*x^2); %定实符表式号达 ()??,+?>> int(S,-inf,inf) %实算符表式在实号达区上的实实分广 ans = 1/2*pi