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华东师范大学出版社
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简单抽屉原理 课 本
8 简单抽屉原理
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四 年 级 上册第 8 讲
把 10个苹果放进 9个抽屉中,无论怎么放,一定能找到一个抽屉,里面至少有 2个
苹果.这个看上去很显然的现象,在数学中我们把它称作抽屉原理.
一般地,我们有如下结论:
以 9个抽屉为例:把 9个苹果放进 9个抽屉,这时苹果个数不多于抽屉个数,如果
苹果平均放进抽屉中,则每个抽屉都只放了 1个苹果.但如果把 10个苹果放进 9个抽屉,
这时苹果个数多于抽屉个数,一定能找到一个抽屉,里面至少有 2个苹果.因为即使每
个抽屉都放 1个苹果时,也只能放进1 9 9× = (个)苹果,剩下的 1个苹果再放进任何一
个抽屉,都会使该抽屉中有 2个苹果.
类似的,把 99个苹果放进 9个抽屉,苹果个数多于抽屉个数,一定能找到一个抽屉,
里面至少有 2个苹果.事实上,我们还可以发现:如果这 99个苹果平均放进 9个抽屉中,
每个抽屉里放99 9 11÷ = (个)苹果,如果放得不平均,则肯定有某个抽屉里的苹果多于
11个.但如果把 100个苹果放进 9个抽屉,即使每个抽屉都放 11个苹果,只能放 99个苹果,
剩下 1个苹果再放进抽屉中,一定会使得某个抽屉至少有 12个苹果.
我们把“抽屉原理 I”加以推广,就可以得到一个更全面的抽屉原理.
抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”,是 19世纪德国数学家狄利克莱最
早提出的,在组合数学中有着非常重要的地位.
抽屉原理 I
把一些苹果随意放入若干个抽屉,如果苹果个数多于抽屉个数,那么
一定能找到一个抽屉,里面至少有 2个苹果.
抽屉原理 II
把 m个苹果放入 n个抽屉(m大于 n),结果有两种可能:
(1)如果m n÷ 没有余数,那么就一定有抽屉至少放了“m n÷ ”个苹果;
(2)如果m n÷ 有余数,那么就一定有抽屉至少放了“m n÷ 的商再加 1”
个苹果.
如果把 96个苹果放入 8个抽屉,那么一定有抽屉至少放了 ________个苹果.
如果把 97个苹果放入 8个抽屉,那么一定有抽屉至少放了 ________个苹果.
如果把 98个苹果放入 8个抽屉,那么一定有抽屉至少放了 ________个苹果.
练一练
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简单抽屉原理 课 本
在前面的分析过程中,我们实际上已经用到了“最不利原则”.这是一种从反面考虑
问题的思想,也是抽屉原理问题中非常重要的思考方法.
在 10个苹果放进 9个抽屉的例子中,为了证明“能够找到一个抽屉,里面至少放
了 2个苹果”,我们利用“最不利原则”的思想,假设结论不成立,即“每个抽屉都放了
少于 2个的苹果”,由此得到 9个抽屉将至多放 9个苹果,与题目要求的 10个苹果矛盾,
因此得到原来的结论是成立的.100个苹果放进 9个抽屉的例子也是同样的道理.
分析 如果没有满足“有 5条相同品种的鱼”的要求,最“倒霉”的情况是什么?
换句话说,当结论不成立时,最多可能有多少条鱼?只要比这个“最多的”还要多,
结论就肯定成立了.
练习
1.一个布袋里有 7种不同颜色的彩球,每种颜色的彩球都有很多,那么至少要拿出
多少个彩球,才能保证其中有 6个相同颜色的彩球?
分析 仍旧考虑问题的反面,当本题中的结论不成立时,最多能取出多少个球?
一个鱼缸里有 4个品种的鱼,每种鱼都有很多条.至少要
捞出多少条鱼,才能保证其中有 5条相同品种的鱼?
例题 1
一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球,其中红色的
有 10个,黄色的有 8个,蓝色的有 3个,绿色的有 1个.现在闭着眼睛从
中摸球,请问:
(1)至少要取出多少个球,才能保证取出的球至少有三种颜色?
(2)至少要取出多少个球,才能保证其中必有红球和黄球?
例题 2
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四 年 级 上册第 8 讲
练习
2.爷爷给小明买了一盒糖,这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味,每种口
味各 30颗.小明特别喜欢吃苹果味的,他闭着眼睛,至少需要摸出多少颗糖,才能保证
一定能拿到 1颗苹果味的?至少需要摸出多少颗糖,才能保证能拿到两种口味的糖?
分析 结论的反面是什么?在不满足结论的情况下,最多能摸出多少只袜子?
练习
3.袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各 10只,现在闭着眼睛从袋子中摸袜子,请问:
(1)至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子?
(2)至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子?(两只袜子颜色
相同即为一双)
将 1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和
9只绿袜子放入一个布袋里.请问:
(1)一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子?
(2)一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子?
(两只袜子颜色相同即为一双)
例题 3
一副扑克牌共 54张,其中有 2张王牌,还有黑桃、红心、
草花和方块 4种花色的牌各 13张.现在要从中随意取出一些牌,如果要保
证在取出来的牌中至少包含三种花色,并且这三种花色的牌至少都有 3张,
那么最少要取出多少张牌?
例题 4
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简单抽屉原理 课 本
分析 本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有
3张”这两个条件,如果不能同时保证这两个条件,那么最多可能取出多少张牌?
练习
4.口袋中装有 4种不同颜色的珠子,每种都是 100个.要想保证从袋中摸出 3种不
同颜色的珠子,并且每种至少 10个,那么至少要摸出多少个珠子?
分析 摸出的 4枚棋子的颜色情况都有哪几种?如果结论不成立,最多摸了几
次?
练习
5.库房里有一批篮球、排球和足球,体育老师让一些学生去拿球,每人任意拿两个
球.至少选出多少名拿球的学生,才能保证至少有 4人拿的球完全相同?
大头把一副围棋子混装在一个盒子中(围棋子有黑、白
两种颜色),然后每次从盒子中摸出4枚棋子,那么他至少要闭着眼睛摸几次,
才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的?(不必考虑每次摸出
的 4枚棋子的顺序)
例题 5
国王让阿凡提在8 8× 的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒.结果每个格子
里至少放一粒米,无论怎么放都至少有 3个格子里的米粒一样多,那么至多有
多少个米粒?
思考题
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四 年 级 上册第 8 讲
本 讲 知 识 点 汇 总
一、抽屉原理 I:把一些苹果随意放入若干个抽屉,如果苹果个数多于抽屉个数,那
么一定能找到一个抽屉,里面至少有 2个苹果.
二、抽屉原理 II:把 m个苹果放入 n个抽屉(m大于 n),结果有两种可能:
(1)如果m n÷ 没有余数,那么就一定有抽屉至少放了“m n÷ ”个苹果;
(2)如果m n÷ 有余数,那么就一定有抽屉至少放了“m n÷ 的商再加 1”个苹果.
三、在抽屉原理问题中常常会用到“最不利原则”的思想.
四、需要自己构造抽屉的问题.
作 业
1.口袋里装有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各 5个.小华闭着眼睛从口袋里往外摸球,
每次摸出 1个球.他至少要摸出多少个球,才能保证摸出的球中每种颜色的球都有?
2.小钱的存钱罐中有四种硬币:1分、2分、5分、1角,这四种硬币分别有 5个、10个、
15个、20个.小钱闭着眼睛向外摸硬币,他至少摸出多少个硬币,才能保证摸出的硬币
中至少有两种不同的面值?至少摸出多少个硬币,才能保证摸出的硬币中既有 5分硬币
也有 1角硬币?
3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种,每种各有 10根.在黑暗中
取出一些筷子,为了搭配出两双颜色相同的筷子,最少要取多少根才能保证达到要求?
为了搭配出两双颜色不同的筷子,最少要取多少根才能保证达到要求?(两根颜色相同
的筷子搭配成一双筷子)
4.盒子里一共有四种不同形状的零件,分别有 9、10、11和 12个,至少要从中摸出
多少个零件,才能保证有 3种不同形状的零件,并且这三种零件中每种至少有 3个?
5.中午放学,食堂里有五种菜供学生们选择,每人只能选两种不同的菜.至少有多
少名学生,才能保证其中至少有 5名学生选择的菜完全相同?
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例题详解
四年级上册
例题 3.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:6小时.
解答:按照预计时间行驶,还差30 2 60× = (千米)到目的地,预计与实际的速度差为45 30 15− = (千
米 /时),路程差为 60千米,那么预计行驶时间是60 15 4÷ = (小时),在路上实际花了4 2 6+ = (小时).
例题 4.答案:60千米.
解答:加速后与原
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
的速度差是 2千米 /时,从 2点到 7点这 5个小时中,加速行驶的比原速行
驶的多 2 5 10× = (千米),原速为10 1 10÷ = (千米 /时).从 1点到 7点共 6小时,按原速行驶需要 6小时,
两地距离为10 6 60× = (千米).
例题 5.答案:2倍.
解答:不妨假设两地距离是 3千米.在相遇问题中,路程和为 3千米,相遇时间为 1小时,两人速度
和为 3 1 3÷ = (千米 /时).在追及问题中,路程差为 3千米,追及时间为 3小时,两人速度差为 3 3 1÷ =
(千米 /时).根据和差关系,甲的速度为 ( )3 1 2 2+ ÷ = (千米 /时),乙的速度为 ( )3 1 2 1− ÷ = (千米 /时),
甲的速度是乙的 2倍.
第 8 讲 简单抽屉原理
例题 1.答案:17条.
解答:最不利情况是没有 5条相同品种的鱼,这时最多每个品种都有 4条鱼,一共 4 4 16× = 条.
只要比 16条多,就能保证有 5条相同品种的鱼了.因此至少捞出 17条鱼.
例题 2.答案:(1)19个;(2)15个.
解答:(1)如果取出的球没有三种颜色,最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种,红球和黄
球最多,全都取出共有10 8 18+ = (个)球,只要多于 18个,就能保证有三种颜色的球了,因此至少
取出 19个.
(2)如果取出的球中红球和黄球不同时出现,最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出,并且红球
和黄球中的一种也都取出,红球比黄球多,应将红球全部取出,此时共取出 3 1 10 14+ + = (个)球,因
此至少取出 15个球,才能保证红球黄球同时出现.
例题 3.答案:(1)13只;(2)14只.
解答:(1)如果没有颜色相同的两双袜子,这时每种颜色的袜子至多 3只,一共至多
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8
例题详解
四年级上册
1 2 3 3 3 12+ + + + = (只).因此至少摸出 13只才能保证有两双颜色相同的袜子.
(2)如果没有颜色不同的两双袜子,那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的,这时
最多有 9 1 1 1 1 13+ + + + = (只)袜子.因此至少摸出 14只才能保证有两双颜色不同的袜子.
例题 4.答案:33张.
解答:反过来考虑,就是“最多只有 2种花色的牌不少于 3张,其余花色都不到 3张.”最不利的
情况就要使取的牌尽量多,我们应该将其中两种花色尽量多取、剩下两种花色都取 2张,包括 2张大小
王牌,最多能取13 2 2 2 2 32× + × + = (张)牌.因此至少取出 33张才能保证满足要求.
例题 5.答案:11次.
解答:摸出的棋子的颜色情况有五种:4白、3白 1黑、2白 2黑、1白 3黑、4黑.根据最不利原则,
如果没有三次摸出棋子颜色情况相同,最多是每种情况各摸出 2次,一共 2 5 10× = (次).只要摸的次
数比 10次多,就能保证至少有三次摸出棋子颜色情况相同.因此至少摸 11次.
第 9 讲 基本直线形面积公式
例题 1.答案:8平方米.
解答:本题中我们以横边为长方形的长,竖边为长方形的宽.面积为 16平方米的正方形的边长为
4米.右上角面积为 32平方米的长方形宽为 4米,长为 32 4 8÷ = (米).左边面积为 28平方米的长方
形宽为 4米,长为 28 4 7÷ = (米).右下角面积为 72平方米的长方形长为 8米,宽为 72 8 9÷ = (米).
所以左下角的长方形长为 4米,宽为 9 7 2− = (米),面积为 4 2 8× = (平方米).
例题 2.答案:432平方厘米.
解答:如下图,本题中我们以横边为大长方形的长,竖边为大长方形的宽.从图中看出,小长
方形中长的 2倍与宽的 3倍一样长.大长方形的长是小长方形宽的 3倍,大长方形的宽相当于小长方
形的长的 2倍与宽之和,即小长方形的宽的 3 1 4+ = 倍.因此大长方形的周长相当于小长方形的宽的
( )3 4 2 14+ × = (倍).小长方形的宽为 84 14 6÷ = (厘米),长为 6 3 2 9× ÷ = (厘米),大长方形的长为
6 3 18× = (厘米),宽为 6 4 24× = (厘米),面积为18 24 432× = (平方厘米).
例题 3.答案:91平方厘米.
解答:如图,我们选取水平的一条边为平行四边形的底.图
中两个带“ ”的三角形都是等腰直角三角形,直角边的长都是 3
厘米.平行四边形的底是10 3 7− = (厘米),高是10 3 13+ = (厘米),
面积为 7 13 91× = (平方厘米).
例题 4.答案:16.
解答:在原图中,下面的三角形以 5为底,以 4为高,面积为 5 4 2 10× ÷ = ;上面的三角形以 2为底,
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作业练习简答
思考题
答案:4千米 /时.简答:相遇时甲走了 5小时,乙走了 4小时,甲 5小时走的路程比乙 5小时走的路程多
2 5 10× = (千米),所以乙5 4 9+ = (小时)走的路程为46 10 36− = (千米),乙每小时走36 9 4÷ = (千米).
作业
1.答案:70千米 /时.简答:8小时两车行驶路程差为 600 440 160− = (千米),速度差为160 8 20÷ = (千
米 /时),甲车速度为 50 20 70+ = (千米 /时).
2.答案:37千米 /时.简答:两车路程差为12 2 24× = (千米),速度差为 24 3 8÷ = (千米 /时),乙
车速度为 45 8 37− = (千米 /时).
3.答案:200千米.简答:如果实际上按预计时间飞行,会少飞 40 1 40× = (千米),预计时间为
( )40 50 40 4÷ − = (小时),飞行距离为 50 4 200× = (千米).
4.答案:1200米.简答:平时走 20分钟到学校,今天走 15分钟到学校,今天走 15分钟比平
时走 15分钟多走 20 15 300× = 米,这段路程按平时的速度走需要 20 15 5− = (分钟).平时的速度为
300 5 60÷ = (米 /分),家与学校的距离为 60 20 1200× = (米).
5.答案:60分钟.简答:不妨假设两地距离为 600米,唐老鸭的速度为 600 20 30÷ = (米 /分),米
鼠的速度为 600 30 20÷ = (米 /分),速度差为 30 20 10− = (米 /分),追及时间为 600 10 60÷ = (分钟).
讲第 8 简单抽屉原理
练习
1.答案:36个.简答:如果不满足条件,最多可以取出 7 5 35× = (个)彩球,因此取出 36个彩球
就能保证有 6个颜色相同的.
2.答案:61颗;31颗.简答:第一个问题,如果不满足条件,拿的都不是苹果味的,最多拿光了桔
子味的和菠萝味的,一共 30 30 60+ = (颗).因此至少拿 61颗,才能保证拿到苹果味的.第二个问题,
如果拿的不到两种口味,最多一种口味,最多可以拿 30颗,因此至少拿 31颗才能保证拿到两种口味.
3.答案:(1)10只;(2)13只.简答:(1)与例题 5方法相同,至少摸出 3 3 3 1 10+ + + = (只)袜
子.(2)与例题 5方法相同,至少摸出10 1 2 1 13+ × + = (只)袜子.
4.答案:219.简答:如果不满足条件,其中两种颜色的珠子尽量多,另外两种颜色的珠子都不到 10
个,这时最多可以有100 100 2 9 218+ + × = (个)珠子.因此至少摸出 219个珠子,才能保证有三种颜色
的珠子都至少 10个.
5.答案:19名.简答:拿的两个球有以下 6种方式:篮篮、排排、足足、篮足、篮排、排足.如果不满足条件,
最多 3个人拿的球完全相同,这时最多有3 6 18× = (人).因此至少 19人就能保证有 4人拿的球完全相同.
思考题
答案:1055个.
简答:如果不满足条件,最多只有两个格子中的米粒数一样多,则 64个格子里至少有
1 1 2 2 3 3 32 32 1056+ + + + + + + + = (个)米粒.如果少于 1056个米粒,就必然有三个格子里的米粒
数一样多,因此至多有 1055个米粒.
作业
1.答案:16个.简答:如果不满足要求,最多摸出三种颜色的球,最多有 5 3 15× = (个).因此至
29
作业练习简答
少摸出 16个球就能满足要求.
2.答案:21个;36个.简答:第一个问题,如果不满足要求,就只摸出一种面值的,最多 20个,
因此至少摸出 21才能满足要求.第二个问题,如果不满足要求,5分硬币和 1角硬币缺一种,最多有
5 10 20 35+ + = (个)硬币,因此至少摸出 36个硬币才能满足要求.
3.答案:16根;15根.简答:与例题 5方法相同.第一个问题,至少取出 3 5 1 16× + = (根)才能满
足要求.第二个问题,至少取出10 1 4 1 15+ × + = (根)才能满足要求.
4.答案:28个.简答:与例题 4方法相同,至少摸出11 12 2 2 1 28+ + + + = (个)零件才能满足要求.
5.答案:41名.简答:从 5种菜中选择 2种不同的菜,有 10种方式.如果不满足要求,最多选出
4 10 40× = (名)学生,因此选出 41名学生即可满足要求.
讲第 9 基本直线形面积公式
练习
1.答案:如下图.简答:与例题 1方法相同,先算出中间正方形的边长为 4,再依次求出其他线段的
长度.
2.答案:480平方厘米.简答:与例题 2方法相同.算出小长方形的宽为 ( )88 2 5 5 1 4÷ ÷ + + = (厘
米),长为 4 5 2 10× ÷ = (厘米).大长方形的长为 2 10 20× = (厘米),宽为 2 10 4 24× + = (厘米),面积
为 20 24 480× = (平方厘米).
3.答案:28.简答:平行四边形以水平方向的边为底,则底为 4,高为 7,面积为 4 7 28× = .
4.答案:32平方厘米.简答:对于左右两个阴影三角形,我们都把竖的长为10 6 4− = (厘米)作为底,
两个三角形相应的高分别为 10厘米和 6厘米.阴影部分的面积为 4 10 2 4 6 2 32× ÷ + × ÷ = (平方厘米).
5.答案:500.简答:梯形的上底是 10,高是 20,下底是 40,面积为 ( )10 40 20 2 500+ × ÷ = .
思考题
答案:略.
作业
1.答案:25.简答:左上角正方形边长为 2,右上角长方形另一边长为 3,大正方形边长为 5,面积
为 25.
2.答案:如下图.简答:略.
15 12 30
20 16 40
35 28 70
A B
C D
غ� غ�
A
B C
D
غ�
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A B
C
غ�
A
B
C
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