一九七九年全国高中数学竞赛题

一九七九年全国高中数学竞赛 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 第一试 1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ) 2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程． 3．在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住． 4．圆的两条非直径的圆相交，求证：它们不能互相平分． 5．解方程组 6．解方程：5x2+x－x－2=0． 7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 8．设△ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C． 9．已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程． 10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论． 一九七九年全国高中数学竞赛题 第一试参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ) 证明：4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=2sinθ[－cos(π＋2θ)＋cos]=2sinθcos2θ＋sinθ =2sinθ(1－2sin2θ)＋sinθ=3sinθ－4sin3θ=sin3θ． 2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程． 解：设双曲线方程为x2－y2=λ，以(1，0)及(0，1)分别代入，得双曲线方程为x2－y2=(1． 3．在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住． 解：以BC为直径作⊙O，则⊙O即为所求的最小圆． 首先，BC是△ABC的最长边，对于任意直径小于BC的圆，不可能盖住BC．(若能盖住，则得到圆的弦长大于同圆的直径，这是不可能的)其次，由于∠A>90(，故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证． 4．圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分． 证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M，连OM，则由M是弦AB中点． ∴ OM⊥AB，同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线，这是不可能的．故证． 5．解方程组 解：五式相加：x＋y＋z＋u＋v=15． ⑴＋⑵：x＋u=3，⑵＋⑶：y＋v=5，(z=7；⑶＋⑷：z＋x=7，⑷＋⑸：u＋y=9，(v=－1； x=0，y=6，u=3． 即x=0，y=6，z=7，u=3，v=－1． 6．解方程：5x2+x－x－2=0． 解：5x2－1≥0，(x≥或x≤－．()2－1－x＋x=0，((－1)(＋1－x)=0， (=1．(x=(及x≥1时，5x2－1=1－2x＋x2，(2x2＋x－1=0，(x=－1，x=．∴ x=(． 7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”． 　解：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a 　　求证：OP⊥a 　　证明：过P做PA垂直于α 　　∵PA⊥α 　　∴PA⊥a 　　又a⊥OA 　　OA∩PA=A 　　∴a⊥平面POA 　　∴a⊥OP 8．设△ABC三内角成等差数列，三条对应边a、b、c的倒数成等差数列，试求A、B、C． 解：B=60(，+=，(sin60((sinA＋sinC)=2sinAsinC， (2cos(A－C)－3cos＋1=0，令x=cos，得4x2－3x－1=0，x=1，x=－ (舍) ∴ A=B=C=60(. 9．已知一点P(3，1)及两直线l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，试求通过P点且与l1、l2相切的圆的方程． 解：两直线距离==2，圆心在直线x＋2y－2=0上． 设圆方程为(x－2＋2b)2＋(y－b)2=5，((3－2＋2b)2＋(1－b)2=5，(1＋4b＋4b2＋1－2b＋b2=5， (5b2＋2b－3=0，b=－1，b=．∴ 所求圆方程为(x－4)2＋(y＋1)2=5；(x－)2＋(y－)2=5． 10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c，问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个最大？证明你的结论． 解：此正方形有4个顶点，故必有一边在三角形的边上． 设a、b、c边上的高分别为ha、hb、hc，且立于a边上正方形边长为x， 则=，aha=(a＋ha)x，x==． 现aha=bhb=2S，a>b，于是a＋ha－(b＋hb)=(a－b)＋(－)=(a－b)(1－)=(a－b)(1－sinC)>0. ∴ a＋ha>b＋hb>c＋hc．∴ 立于c边上的正方形最大． 一九七九年全国高中数学竞赛题 第二试 1．已知f(x)=x2－6x+5，问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图． 2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法． 3．设0<α<，0<β<，证明 +≥9 ． 4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1． 5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时，f(n)= ，当n为奇数时，f(n)=n+3， 1° 证明：对任何一个正整数m，数列a0=m，a1=f(a0)，…，an=f(an－1)，…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中，哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？ 6．如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明 ⑴ 若∠DBA=∠CBA，则DF=CE； ⑵ 若DF=CE，则∠DBA=∠CBA． 7．某区学生若干名参加数学竞赛，每个学生得分都是整数，总分为8250分，前三名的分数是88、85、80，最低分是30分，得同一分数的学生不超过3人，问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？ 一九七九年全国高中数学竞赛题 第二试参考答案 1．已知f(x)=x2－6x+5，问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x，y)在平面上的什么范围内？并画图． 解：f(x)+f(y)≤0，(x2－6x+5+y2－6y+5≤0，((x－3)2+(y－3)2≤8， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示以(3，3)为圆心，2为半径的圆及圆内部分． f(x)－f(y)≥0，(x2－6x－y2+6y≥0，((x－3)2－(y－3)2≥0，((x+y－6)(x－y)≥0． 所求图形为阴影部分． 2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对，请证明，如果不对，请作一四边形，满足已知条件，但它不是平行四边形．并证明你的作法． 证明：不对，如图，作△ABD，及过B、A、D三点的弧，以BD为轴作此弧的对称图形，以D为圆心，AB为半径作弧与所作对称弧有两个不同的交点C、C(，则四边形ABCD、ABC(D都是有一组对边相等，一组对角相等的四边形，其中有一个不是平行四边形． 3．设0<α<，0<β<，证明 +≥9 ． 证明：+= +≥+ =tan2α+1+4cot2α+4≥5+2=9． 4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的两部分，试证这条曲线的长度不小于1． 证明 设M、N是单位正方形周界上两点，曲线MN把正方形的面积两等分． 1( 若M、N分别在正方形的对边上(图1)，于是曲线MN≥线段MN≥1． 2( 若M、N分别在正方形的一组邻边上(图2 )．连对角线AC，则曲线MN必与AC相交(若不相交，则曲线MN全部在AC的一边，它不可能平分正方形的面积)，设其中一个交点为P，作曲线 的PN段关于AC的对称曲线PN’，则点M、N’在正方形的一组对边上，而曲线MN’的长度等于曲线MN的长度．于是化归为情形1(． 3(若M、N分别在正方形的一条边AB上(图3)．连对边AD、BC的中点EF，则曲线MN必与EF相交(理由同上)，设其中一个交点为P，作曲线 的PN段关于EF的对称曲线PN’，则点M、N’在正方形的一组对边上，而曲线MN’的长度等于曲线MN的长度．于是化归为情形1(． 综上可知，命题成立． 5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时，f(n)= ，当n为奇数时，f(n)=n+3， 1° 证明：对任何一个正整数m，数列a0=m，a1=f(a0)，…，an=f(an－1)，…中总有一项为1或3． 2° 在全部正整数中，哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上述数列必然出现“1”？ 证明：1°，当an>3时，若an为偶数，则an+1=