第六章 边值问题1

第六章第六章边值问题边值问题 电气学院 叶齐政 2011，4 66--1 1 边值问题的列法边值问题的列法 66--22 有限差分法有限差分法 66--33 模拟电荷法模拟电荷法 66--4 4 分离变量法分离变量法         ss f ss f nn / 12 1 1 2 2 2    第二类边值问题（纽曼）： 或 Sn  S  第三类边值问题（混合）：  sf n S       §§66--1 1 边值问题的列法边值问题的列法 S 第一类边值问题（狄里赫里）： [[例例1]1]外边界条件的设置 U0 —U0 U0 —U0 =0 —U0U0 —U0U0 0  n  2U0 0 2U0 0 0  n  2U0 0 2U0 0 =0 高压领域慎重 U0 —U0 U0 —U0 =0 —U0U0 —U0U0 0  n  U0 0 0  x  0  y  x y start (0,d) natural(U)=0 line to(0,0) natural(U)=0 line to (d,0) value(U)=0 line to (d,h) natural(U)=0 line to (h,h) natural(U)=0 line to (h,d) value(U)=U0 line to finish [[例例2]2] 电 流 场 有 限 元 计 算 eple=1,epli=50 region 1 epl=eple start(0,h) value(U)=0 line to(0,0) natural(U)=0 （电力线边界） line to(d,0) value(U)=30000 line to(d,h) natural(U)=0（开域近似边界） line to finish region 2 epl=epli start((d/2)-rad,0) arc(center=d/2,0) angle=-180 line to finish [[例例3]3]平板电极中间有一无限长介质园柱 coordinates CARTESIAN Variables A Definitions mu0 = 1 { -- the permeability } muFe=1000 rmu = 1/mu B0=1 Bgy=-dx(A) Bgx=dy(A) B=sqrt(Bgx*Bgx+Bgy*Bgy) Equations curl(rmu*curl(A)) = 0 Region 1 mu=mu0 start(-d/2,h/2) natural(A)=0 line to(-d/2,-h/2) value(A)=0 line to(d/2,-h/2) natural(A)=0 line to(d/2,h/2) value(A)=B0*h line to finish Region 2 mu=muFe start(-R1,0) ARC (CENTER=0,0) ANGLE=360 Region 3 mu=mu0 start(-R2,0) ARC (CENTER=0,0) ANGLE=360 Q 0 0     r ar   0 4 20      r ar a Q r    0 4 0     r ar a Q   如何列写边 界条件？ [[例例4]4]带电为带电为QQ的球处于等离子体背景中的球处于等离子体背景中。 0 2  / ? 有限长，轴对称，计算区域取纵切面一半 管轴线 电流（垂直纸面向外） 铁心 Coordinates xcylinder(z,r) Boundaries Region 1 mu=mu0 J=0 start(0,h) value(A)=0 line to(0,0) value(A)=0 line to(d,0) value(A)=0 line to(d,h) natural(A)=0 line to finish Region 2 mu=mu0 J = current start(g,rad) line to(g+c,rad) line to (g+c,rad+hou) line to (g,rad+hou) line to finish Region 3 mu=muFe J=0 start(g,rad) line to(g+c,rad) line to (g+c,rad-m) line to (g,rad-m) line to finish [[例例5]5]螺线管磁场螺线管磁场 有限差分方法（网格法）是最早使用的一种电磁场数 值计算方法。 边值问题物理思想：场域离散。（连续区域→网格和节点） 数学基础：差分原理。 （微商→差商） 线性代数方程组 §§66--2 2 有限差分方法有限差分方法 作为数值计算方法，有限差分法将连续场域的问题变换 为离散系统的问题（连续场域划分为若干个细小的区域：网 格和节点）。也就是说通过离散化模型上各离散点的数值解 来逼近连续场域内的真实解。            nnnnnnn nn nn nn bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa      332211 33333232131 22323222121 11313212111                                nnnnnnn n n n b b b b x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa        3 2 1 3 2 1 321 3333231 2232221 1131211                     nnnn nn n nn nn nn bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x      332211 33232131 33 3 22323121 22 2 11313212 11 1 1 1 1 1                 i n ij k jij i j k jij ii k i bxaxaa x 1 1 1 1 1 • 雅可比迭代 一、线性代数方程的迭代解法一、线性代数方程的迭代解法 通过某种极限过程逐 步逼近精确解的方法 • 对现在的问题， 肯定是收敛的 （对称正定矩阵） • 对变量赋初值， 然后反复迭代直 至满足精度要求                 i n ij k jij i j k jij ii k i bxaxaa x 1 1 1 11 1 塞德尔迭代                 i n ij k jij i j k jij ii k i bxaxaa x 1 1 1 1 1 雅可比迭代                     nnnn nn n nn nn nn bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x bxaxaxa a x      332211 33232131 33 3 22323121 22 2 11313212 11 1 1 1 1 1                 i n ij k jij i j k jij ii k i bxaxaa x 1 1 1 11 1 塞德尔迭代                 i n ij k jij i j k jij ii k i bxaxaa x 1 1 1 1 1 雅可比迭代                 i n ij k jij i j k jij ii k i bxaxaa x 1 1 1 11 1         kikikiki xxxx   11 松弛迭代            1 1 21 2     不收敛 超松弛 塞德尔迭代 低松弛 差分： （差分是有限量的差，故称为有限差分）     xfhxfxf  （微分： （增量为无限小））      xx xfxxfxf lim x        0 d 场域离散为,简单，正方形网格 y x 二、泊松方程的差分方法二、泊松方程的差分方法 将场域剖分为很多网格和节点，并用差商代替微商，使微分方 程转化为以各节点电位（磁位）为未知量的差分方程组（线性代数 方程组）。 1、差分原理       h xfhxf h xf 一阶差商：       22 2 h xfhxf h xf 二阶差商： （微商： ）      x xfxxf x xf lim x    0d d                          30 0 3 3 2 0 0 2 2 0 0 0 3 1 2 1 xx x! xx x! xx x xx xxx  根据泰勒级数展开公式：                    3 0 3 3 2 0 2 2 0 011 3 1 2 1 h x! h x! h x xx xxx  x=x0+h                    3 0 3 3 2 0 2 2 0 033 3 1 2 1 h x! h x! h x xx xxx  x=x0-h hx x 2 31 0       一阶微商（导数）近似可用一阶差 商表示     2 3001 2 301 0 2 2 2 hhx x        二阶微商（导数） 近似可用二阶差 商表示 2 402 0 2 2 2 hy y        103 4 2 h h h h x y       h xfhxf h xf 一阶差商： F yx    2 2 2 2 2  Fh 204321 4    Fhj,ij,ij,ij,ij,i 2111141     Fh 243210 41   i,j h h h h (x0，y0)场点周围的四个节点 j i i-1,j i,j-1 i,j+1 i+1,j 2 301 0 2 2 2 hx x        2 402 0 2 2 2 hy y        f5 f4 f3 f2 f1 f9 f10 f11 f12 f13 f6 f7 f8 f16 f15 f14 3 2 1 6 5 4 9 8 7             108986 64632 35321 162421 4 4 4 4 ff ff f ff      100V [[例例1]1]一长直金属槽，侧壁及底部接地，顶盖电位为100V，求槽 内电位分布。 04 04321   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 0 0 0 29.25 0 0 37.81 0 0 40.31 0 0 循环一次 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 赋初值 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 0 0 0 37.84 8.56 0 49.65 13.56 0 46.53 15.76 0 循环二次 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 100 100 0 0 0 42.86 18.75 7.14 52.68 25 9.82 42.86 18.75 7.14 循环十三次  Fhj,ij,ij,ij,ij,i 2111141    采用超松弛 k 24 100 初值 收敛因子 1.97 4 1.8 74 1.8 24 1.8 00 1.7 94 1.7 87 1.7 84 1.7 17 1.5 00 1.0 00 100 509 96 74 68 70 74 75 109 210 533 50 495 102 77 70 70 73 73 90 135 381 494 99 64 61 61 63 65 90 167 400 5 495 104 89 73 78 81 82 113 203 488 J:1-25; I:1-21 正方形区域，每边的节点数为n。最佳收敛因子： 矩形区域，横竖节点数分别为m，n。最佳收敛因子：      1 1 2 n sin      22 1 1 1 122  nm 0 2 31 0      hx x  Fh 20421 42   Fh204321 4   齐次边界条件的离散 0  n 齐次边界条件 1 0 3 4 2 h h h h 边界上的节点 电力线在边界上，或对称分布的电场问题，         04 10042 1004 32 321 21    1 2 3 1=4=36.5V, 2 =46.15V, 3 =11.54V            1004 04 1004 1004 24 32 4321 21     1 2 3 100V 45° 45° 4 [[例例2]2]图示平行平面场，在 两电极间加100V电压。试 列写出1、2、3点电位的差 分方程。 作业 6-1 6-11