分式
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总结
《分式》
一. 分式
※1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.
AA 整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分BB
式,分母都不能为零.
【例题讲解】
(1)下列各式中，哪些是整式,哪些是分式,
22b,3m(n，p)x,xy，y4225x,7,3x,1,,,,5,,,. 2x,12a，1775b，c
22b,3m(n，p)x,xy，y422答: 5x,7,3x,1, ,,5, 是整式; ,,是分式. 2x,1772a，15b，c
a，1(2)?当a=1，2时，分别求分式的值. 2a
a，1?当a为何值时，分式有意义, 2a
a，1?当a为何值时，分式的值为零, 2a
2，1a，11，1a，13答:?当a=1时，==1;当a=2时，==. 2a2，12a2，24
?当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.由分母2a=0，得a=0.所以，当a取零以外
a，1的任何实数时，分式有意义. 2a
2a,0,?分式的值为零，包含两层意思:首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求: ,a，1,0,
a，1所以，当a=,1时，分母不为零，分子为零，分式为零. 2a
整式,有理式※2. 整式和分式统称为有理式,即有: ,分式,
※3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
AA，MAA,M ,,,(M,0)BB，MBB,M
※4. (1)公因式:多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式
(2)一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时
除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
二. 分式的乘除法
※1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分
1
母颠倒位置后,与被除式相乘.
ACADA,DACAC即: , ,,,,,,BDBDBDBCB,C
※2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.
nnAA,,即: ,(n为正整数),,nBB,,
nnnnAAAA,,,,,逆向运用,,当n为整数时,仍然有成立. ,,,,nnBBBB,,,,
※3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
,例2,计算:
22a,16ya,12(1)3xy?;(2)? 22xa,4a,4a，4
分析:
(1)将算式对照分式的除法运算法则，进行运算;
(2)当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
2222a,1a,13xy,xx6ya,1a,41222解:(1)3xy?=3xy?==x;(2)?=× 2222246y6yxa,4a,12a,4a，4a,4a，4
2(a,1)(a，2)(a,2)a，2(a,1)(a,4)=== 222(a,4a，4)(a,1)(a,2)(a,1)(a，1)(a,2)(a，1)
22(x，3)(x,2)(x,3)(x，2)(x，3)(x,2)x，x,6x，3x,x,62.(1)?=×= 2(x,3)(x，3)x,3x，3x,6,xx,3
2=(x,2)(x+2)=x,4.
22b(a,b)(a，b)a，ba,b22(2)(ab,b)?=(ab,b)×==b. 22(a,b)(a，b)a，ba,b
三. 分式的加减法
※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式
相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
※2. 分式的加减法:
分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. (1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
ABA,B,,上述法则用式子表示是: CCC
(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;
ACADBCAD,BC,,,,上述法则用式子表示是: BDBDBDBD
※3. 概念内涵:
通分的关键是确定最简分母,其
方法
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如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分
母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.
2
计算:
1aa3bb1(1),;(2)+;(3), xxa2aa,bb,a
2b3b,b3bb解:(1),==; xxxx
12132，112)+=+==; (a2a2a2a2a2a
a,(,a)aaa,a2a(3),=,==. a,bb,aa,ba,ba,ba,b
四. 分式方程
分式方程的概念:分母里含有未知数的方程叫做分式方程 ※1. 解分式方程的一般步骤:
?在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
?解这个整式方程;
?把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍
去.
※2. 列分式方程解应用题的一般步骤:
?审清题意;
?设未知数;
?根据题意找相等关系,列出(分式)方程;
?解方程,并验根;
?写出
答案
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.
例2 .解方程:
10534(1)=;(2)+=2. x,1x2x,11,2x
,分析,先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
34解:(1)= x,1x
去分母，方程两边同乘以x(x,1)，得
3x=4(x,1)
解这个方程，得x=4
检验:把x=4代入x(x,1)=4×3=12?0，
所以原方程的根为x=4.
105(2)+=2 2x,11,2x
去分母，方程两边同乘以(2x,1)，得
10,5=2(2x,1)
7解这个方程，得x= 4
775检验:把x=代入原方程分母2x,1=2×,1=?0. 442
7所以原方程的根为x=. 4
3
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