在小学数学教学中培养学生解答分数应用题能力的研究

在 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 数学教学中培养学生解答分数应用 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 能力的研究 本文所说的分数应用题主要是指由于分数乘法的意义的扩展而出现的应用题。这些分数应用 题历来是小学数学教学中的一个难点，也是一个争论比较大的问题。一种看法认为，只要教 算术解法，强调分类型，教结语，给解题模式就可以了；另一种看法认为，有关用除法解的 分数应用题，要教方程解法，强调分析数量关系，使算术解法与方程解相辅相成。现行通用 教材已在这方面做了一些改进，但还不够完善。近年来一些实验进一步表明，采用后一种教 法，效果优于前一种教法。分数应用题的教学是一个比较复杂的问题，涉及如何体现小学数 学教学的培养目标问题，学生学习分数应用题的心理特点问题，以及为了培养学生的解题能 力，如何改革教材教法问题。为此，进行了一些改革实验对上述几个问题做了一些分析研究。 （一）实验研究的指导思想 以培养学生解答应用题的能力，促进学生思维的发展为目标，以探索学生解答分数应用 题的思维特点为依据，建立合理的分数应用题的教材结构，相应地改进教学方法，使学生既 便于掌握，又为中学进一步学习做较好的准备。 （二）实验研究的要点 主要探讨以下五方面改革对培养学生解答分数应用题能力的影响： 1.分数应用题的教学范围：在现行通用教材的基础上适当加强分数乘、除法两步应用题， 并在不增加负担的情况下使应用题稍有一些变化。 2.分数应用题的教材结构：在编排时既注意与分数乘、除法计算密切配合，又注意分数 应用题之间的内在联系，同时注意与已学的有关的应用题的联系。 3.解题方法：对求一个数是另一个数的几分之几的应用题，（教学用除法计算）；对已 知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题（包括稍复杂的），采取方程解法和算术解法 并重，同时加强两种解法的联系。 4.加强基本训练：主要是加强单位“1”的判断和数量关系的分析；并加强根据分数乘、 除法的意义来选定运算方法的练习。 5.改进教学方法：重视启发引导学生分析数量关系，紧密联系分数乘、除法的意义列式 解答，不教给学生应用题类型和解题公式。 （三）实验过程 本实验先在两所较好的小学五年级各一个班进行，初步探索改革的可行性。然后又在一 所普通小学的五年级一个班深入进行研究，在实验过程中进行了4次专项笔试，并对12名不同程度的学生进行了面试。为了便于弄清本实验对学生所产生的影响和问题，有部分内容 在另一所较好的小学六年级普通班中进行了相同的测试。 （一）实验结果表明，五年级学生开始学习分数应用题还是比较难的，需要一个较长的 过程才能逐步培养起解答分数应用题的能力。下面是实验班各阶段的测试结果。 1 从表1可以看出，每一部分应用题教学后进行测试，列式的错误率都在20％上下，教学后经过较长时间的练习，到期末才有较大的下降。 （二）实验表明，影响学生正确解答分数应用题主要有以下几个因素： 1.正确判断单位“1”。分数应用题涉及两个数量的比较问题。 在比较时就有以哪个数量为标准，或者说把哪个数量看作单位“1”的问题。在解答整数应用题时，也有涉及两个数量的比较问题。但是在比较两个数量差或倍数关系时，以哪个数 量为标准比较具体，也容易理解。而在分数应用题中，要根据一个数量是另一个数量的几分 之几来确定哪个数量作标准（或单位“1”）就比较抽象，难于理解。根据实验，在一步的分 数应用题教学后测试中，由于判断单位“1”而做错题的约占20％左右。而且随着分数应用题范围的逐步扩大，关于两个数量的比较的说法也多种多样。例如，有时说甲是乙的几分之几， 有时说甲比乙多（或少）几分之几；在表示一个数量是另一个数量的几分之几时，有时用真 分数，有时 增加了困难。下面是实验班有关判断单位“ 1”的测试结果。 2 “1” 从表2可以看出以下几点： （1）给出一个条件比给出一道应用题，判断单位“1”要容易些。这是因为在 一道应用题中，有其他条件和问题的干扰。例如，一个中等生，凡给出一个条件的， 判断单位“1”都正确；但给出一道应用题时，如“商店 为单位“1”。在测试成绩最差的5个学生中，给出一个条件，判断正确的 养牛多少头？”判断正确的只有20％。由于条件的叙述不是按正常应用题的叙述顺 序，把“养羊300头”移到了后面，造成了一些干扰，使得初步形成的“ ×是×的 几分之几”和“以×作单位‘1’”之间的联系遭到破坏。 （2）改换叙述方式会降低判断的正确率。因为基本型的叙述方式固定，有规律 可循，学生容易掌握；改变叙述方式后，往往比较难理解，从而增加 判断为单位“1”。 （3）用假分数表示两个数量的关系时，判断的正确率最低。例如，“全 时，大都回答说，“因为全班人数多。”显然他们错误地认为数量多的就要看 作单位“1”。 此外，在了解学生判断的根据时，存在着明显的差异。在抽问实验班的 析，如说“要把小华的身高平均分成10份，取这样的9份是小红的，所以要把 小华看作单位‘1’”。但是在另外一个班里调查，有些学生能回答哪个数量是单位 “1”，却不会分析。还有些学生死记一些“规律”，如说“是” 这样的条件时，出现较多的判断错误。很明显，这对于培养学生解答分数应用 题的能力起了极大的阻碍作用。 2.正确分析题里的数量关系。解答分数应用题同解答整数应用题一样，能否正 确地分析数量关系，对于能否正确地解答出来具有十分重要的影响。分数应用题的 数量关系比整数应用题的要复杂。在实验中发现有以下几方面影响着分析数量关系 的正确性。 （1）根据所给的条件，能否变换一种说法来表示两个数量间的关系。这一点不 仅反映学生对分数应用题中数量关系的理解的程度，也是解答稍复杂的分数应用题 的必要基础。为了了解学生在这方面的掌握情况，曾进行了专项测试，结果如下表。 注：五年级实验班是在教学两步应用题后测试的，六年级普通班是在教学两步 应用题后又教学其他内容后测试的。 推出“梨的个数是桃的（ ）”，或反过来推理。这种变换的特点是，前后两个 判断是等价的，而且都以同一个数量作标准（或单位“1”），因此学生 还没有真正理解。 后两题属于基本型的横向和逆向的复合变换。例如，第3题：“牛的头 这样的错误，实验班有5.3％，普通班有25.7％。这些学生把整数中比较两个数量的差（如甲比乙少3，反过来乙比甲多3）错误地类推到分数中来。 生知道一个数量比另一个数量少几分之几，反推时不能按照整数的方法直接 推算出来。 （2）根据所给的条件能否写出两个数量间的关系式。例如，“已知苹 题，也可以反映学生对分数应用题中数量关系的理解程度，同时也是解答分数 应用题的必要基础。这项测试也是在一个五年级实验班和一个六年级普通班中进行 的，测试前两个班都没有做过这样的练习。结果实验班的正确率为76％，普通班为 61.4％。由于实验班比较重视结合题意分析数量关系，正确率较高。在错误的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 中，有些是两个班共同 位1+多的率）”等。这表明，普通班有些学生不会用所给的具体条件来表达数 量间的关系，而是用统一的模式来套。他们采用这种方法也能解答一些分数应用题， 但是一旦应用题的条件和叙述有了变化，他们就分析不清楚数量间的关系，导致解 答的错误。 （3）两步计算的分数应用题，在分析数量关系时顺思考和逆思考的难易程度有 不同，下面是实验班的一些两步分数应用题的测试结果。 注：逆思考的分数应用题的正确率都是按算术解法统计的。为了简便，每道题 列式用字母表示。 从表4可以看出，分析数量关系时需要顺思考（即解答时用乘法计算）的应用 题，比较容易；而分析数量关系需要逆思考（即解答时用除法计算）的应用题，比 较困难。容易出错的原因可能有以下几点：?在逆思考时，需 前两个条件各该判断哪个数量是单位“1”，已知大班的30人与单位“1” 思考时，容易发生混淆。例如，“学校买来故事书60本，相当连环画本数的 个条件判断单位“1”不是很困难，但是由于在前半部分单位“1”是未知的，而在后半部分单位“1”是已知的，容易造成混淆，增加了判断单位“1”和确定算法的复杂性。学生解答时，有的第一步算错，有的第二步算错，还有的两步都算错。 ?有些需要逆思考的分数应用题，容易受整数应用题中数 得白兔是40只。显然，这时有些学生还没有养成先判断单位“1”再分析题里的数量关系的习惯。在测试之后经过一段训练，分析数量关系的正确率有了提高。 3.正确选择运算方法。一般来说，解答分数应用题，如果能正确地判断单位“1”和分析题里的数量关系，选择运算方法就不容易出错。但是学生在开始学习解分数 应用题时，往往出现彼此分离的现象。下面分别进行一些分析研究。 （1）判断单位“1”与选择运算方法的关系。下面以一步应用题为例。 从表5看出。判断单位“1”的错误率与选择运算方法的错误率，平均值比较接 近，没有大的差异；解乘法应用题的错误率，两者基本一致；但是解除法应用题， 两者有较大的差异。这说明，一方面，在解一步分数应用题时，正确选择运算方法 与正确判断单位“1”有密切联系；另一方面，在解某些应用题时，两者存在着分离 现象。产生这种现象的原因，可以从以下两方面分析： ?判断单位“1”的正确率高于选择运算方法的正确率，可能是学生不知怎样根 据判断的结果来选择算法和列式。由于初学，学生在这两者之间还 运来萝卜多少筐？”多数错误是列式时用了乘法，但其中有部分学生判断单 ?判断单位“1”的正确率低于选择运算方法的正确率，往往是由于题 误认为女工人数多，就是单位“1”。但是在选择运算方法时，他们却撇开了刚 才的判断，把两个已知条件联系起来，分析出男工 样的错误大都是中上等学生。 （2）分析数量关系与选择运算方法的关系。这在解答两步的分数应用题时看得 比较明显。下面是实验班的测试情况。 注：表中第一行为两步分数应用题选择运算方法的得分情况，测试6道题、每题按1分计算。表中第二行为分析数量关系的得分情况，也测试6道题，每题也按1分计算。表中第三、四、五行是分别统计得每种分数的学生选择运算方法与分析 数量关系的正确率的比较。 从表6可以看出，总的来说，分析数量关系的正确率低于选择运算方法的正确 率，但是差异不是很大，这说明多数学生在教学后对一、两步分数应用题的数量关 系是比较清楚的。但是也要看到，正确选择运算方法和正确分析数量关系不是完全 同步发展的，这与解答整数应用题时有相似之处，因此应该说属正常现象。 从后三行的统计可以更清楚地看出：选择运算方法与分析数量关系的正确率相 一致（a=b）的学生只占全班的29.7％，还是少数；而前者高于后者（a＞b）的学生占48.6％，接近一半。他们大多是中上等学生，基本上掌握了两步分数应用题的 解答方法，但在分析数量关系时还不是完全清楚。在抽样面试时就遇到这种情况。 例如，前面 示什么时，他却说“是黑兔比白兔多的。”另外，还有21.6％的学生，选择运 算方法的正确率低于分析数量关系的正确率（a 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 能用两种解法的用两种解法。从表7看出，实验班的学生在解一步分数应用题时，由于比较容易，多数学生（60.9％）先写算术解法，后写方程解法。但是在解两步应用题时，则多数学生（64.4％）先写方程解法，后写算术解法。这一方面是因为方程解法把逆思考变成顺思考，比较容易推想，正如一个中等生回答的，“难的想 不出来就用方程”；另一方面是因为学生在头脑中对算术解法与方程解法建立起联 系，想出方程解法后，就容易推想出算术解法。而普通班虽然也教了两种解法，但 是它们的联系不紧密，而且强调用算术解法，测试结果正好相反，大多数学生 （81.4％）先写算术解法，后写方程解法，而且不会用方程解的比率超过了实验班。 这说明教材采取不同的处理方法，教学时采取不同的训练，对学生解题思路的影响 也大不相同。特别值得注意的是，加强了方程解法的教学，还为中学学习一元一次 方程打下较好的基础，从而加强了中小学的衔接。 2.加强方程解法的教学，减少了分数应用题的难度，提高了解答分数应用题的 正确率。 从表8看出，实验班开始做一步应用题，用方程解法的正确率低于算术解法。 因为开始教学方程解法，学生看不到方程解法的优越性。另外还有些学生用算术解 法已成习惯，或没有掌握方程解法，如上面测试的两题未列方程的分别为18.9％和29.7％。 以后加强了这方面的训练有所好转。教学两步应用题，虽然数量关系比一步应 用题复杂，但是学生掌握方程解法的思路比较容易，两道题的测试结果都是方程解 法的正确率高于算术解法。在做较容易的三步应用题时，两种解法的正确率趋于平 衡，而且正确率都有较大的提高。另外，普通班由于强调算术解法，在两三步应用 题的测试中，除第1题的算术解法的正确率高于实验班外，其他各项的正确率都低 于实验班，这也可以说明加强方程解法对于提高解题的正确率起了一定的作用。 3.加强方程解法的教学，还有助于促进知识的迁移，培养学生灵活的解题能力。 在教学少量的较容易的三步应用题之后，进行了一次测试，其中有3道与解过的应用题相近，另有3道是学生没有遇到过的。测试结果如下。 *第3题要求写出方程解法和算术解法两种。 **（）里面的都是解错的人数百分比。 从表9看出，无论是每题正确率或是平均正确率，实验班都高于普通班，这说 明实验班的灵活解题能力和迁移能力优于普通班。重要原因在于实验班学生能够根 据题目具体情况灵活地选择解答方法。例如第1、5两题，实验班有相当多的学生选用方程解法，而且错误率较低；而普通班全用算术解法，而且错误率较高。再看第 2、4两题，实验班学生能够根据题目的特点选用算术解法（第2题只个别学生选用方程解法），普通班全用算术解法，但是实验班的正确率也高于普通班。至于第6 题，由于比较难，两个班都有学生选用不同解法，但实验班选用方程解法的大大高 于普通班，而且用方程解法的正确率（33.3％）已经超过普通班的全班正确率；普 通班88.2％的学生用算术解法，而正确率却只有20.6％。这也说明，实验班在一定程度上得益于较好的掌握方程解法，并能灵活运用。另外第3题要求写出两种解法，两个班的正确率差异不大。但是两个班在解题思路上还是有差别的。据统计，实验 班有63.9％的学生先用方程解，而普通班只有14.7％的学生先用方程解。这也反映实验班多数学生善于由方程解法推想出算术解法，而普通班多数学生是从算术解法 推想出方程解法。 （五）学生解分数应用题的过程存在着一定差异。 从上面的实验结果已经看到，从整体上说，分数应用题的教学效果是比较好的。 但是在实验中也看到，学生在学习解答分数应用题的过程中存在一定差异。 1.在判断单位“1”和分析数量关系上自始至终存在着差异。这在前面的测试结 果中已经有所反映。下面再抽出实验班上、中、差各4名学生，对他们的期末测试结果进行一些分析研究。 从表10看出，解答两步应用题，上、中、差生的差别不是很大；但是解答较容 易的三步应用题，差生的正确率很低；而判断单位“1”，中、差生 全校人数看作单位“1”。尽管经过较长时间的练习，题目稍有变化，他们还会 受非本质特征的干扰。就连一部分中等生也存在着一种思维定势，认为全校人数总 是要看做单位“1”。这不仅反映一些学生的概念不清，也反映他们的思维灵活性较 差。在分析数量关系方面，如“甲数是乙数的1.5倍， 判断单位“1”和分析数量关系上有缺欠，势必妨碍他们灵活地解答稍有变化的 应用题。 2.在灵活解答分数应用题方面有较大差异。下面是上、中、差各4名学生灵活 解分数应用题的测试结果。 从表11看出，上、中、差生在灵活解分数应用题方面的差异比表10中掌握分数应用题的分析和解答方法方面的差异更大一些。 （1）差生对于具有明显的固定模式的题基本能够解答，但是一有变化，往往感 到困难。例如第5题，虽然是三步应用题，但原有的模式比较明显，只是问题稍有 变化，75％的差生能够解答。而第1题也是由已学的两步应用题改变问题而成的。 据统计，原来这样的两步题，75％的差生也能解答；但是改变问题后原有的模式不 明显，只有25％的差生能够解答。 （2）中、差生灵活解题能力较差反映在审题和分析数量关系的能力比 中、差生解答正确率很低，主要错在后两个条件没有分清。有的看成是“少 等等。这反映出中、差学生收集和加工信息的能力比较差。 （3）中、差生迁移能力和综合运用知识的能力比较差。例如第6题，表面是一道相遇的行程问题，但是实际上是一道稍复杂的分数应用题。学生需要既熟悉两个 物体相向运动的数量关系，又要熟悉分数应用题的数量关系，善于把行程问题转化 为分数应用题。测试结果表明，上等生都能做到这一点，中等生有少部分能做到， 而差生都做不到。 3.在解题过程中分析推理存在较大差异。根据对12名学生面试情况，发现大致 有以下特点： 上等生：大多能正确分析题里的数量关系，连贯地说明解答步骤，并对选择的 运算方法说明理由。 中等生：多数对一些比较容易的题目能正确分析数量关系，对一些较难的题目 则说不清楚。少数能连贯地说明解答步骤，多数只能解释每一步求的是什么；有时 尽管解答正确，但解释不清楚。如前面举的求原计划产玉米多 差等生：即使是做对的题目，约有半数不能正确分析数量关系，大多数不能连 贯地说明解答步骤，解释每一步求的是什么也常 “这是借出的本数吗？”答：“不是，是借出的量。” 从上面的分析更清楚地看出，学习分数应用题时，一部分中等生和全部差生在 分析推理与正确解答这两方面不是同步发展的，这同低年级学生解答整数的两步应 用题有相似之处。这一方面在一定程度上反映了学生学习解答应用题的客观规律， 另一方面也表明在教学中对培养中、差生分析应用题的能力还有待加强。 （一）实验结果表明，培养学生解答分数应用题的能力是一个比较复杂的问题。 根据学生的年龄特点和认知规律，恰当地选定应用题的范围，合理地编排应用题的 教学顺序，教学时加强分数应用题的数量关系的分析，采取算术解法与方程解法并 重，可以用较少的时间达到较好地培养学生解答分数应用题能力和发展学生思维的 目的。 （二）实验结果表明，五年级学生（平均年龄10岁半）能够较好地掌握两步计 算的分数应用题。适当拓宽两步计算的分数应用题的范围，有利于培养学生解答分 数应用题的能力。学生也能够解答一些比较容易的三步计算的分数应用题，但是数 量关系不能复杂，综合性不能很强，题量不能很多，否则会加重学生特别是差生的 学习负担。 （三）实验结果表明，合理地编排分数应用题，特别是加强分数应用题与分数 运算意义的联系，加强分数应用题与整数应用题的联系，加强分数应用题之间的联 系，加强方程解法及其同算术解法的联系，对于学生形成分数应用题的认知结构， 掌握分数应用题的解答方法，培养学生正确地较灵活地解答分数应用题的能力，降 低分数应用题的学习难度，减轻学生的学习负担，促进中小学的衔接，都具有重要 的意义。 （四）实验结果表明，影响学生顺利地解答分数应用题的因素主要有：正确地 判断单位“1”，正确地分析题里的数量关系，联系运算的意义正确地选择运算方法 （包括列算式或方程）。只要加强这几方面的教学，就不需要教给学生什么解题公 式。这样教学还有力地促进了学生灵活的解题能力和思维能力的发展。至于影响学 生解答分数应用题的其他因素，如应用题情节的叙述，应用题条件的叙述顺序，应 用题条件的多少等，也往往在一定程度上给学生增加解题的困难。教学时注意应用 题适当有些变化，有利于提高学生灵活地分析问题和解决问题的能力。 （五）在实验中明显地看到，学生在学习解答分数应用题的过程中，在理解和 掌握解分数应用题的方法方面，灵活地和综合运用知识解应用题方面以及口头分析 数量关系和说明解题思路方面，都存在着较大的差异。在教学时，要加强对差生的 辅导，并允许他们经过一段较长的时间逐步理解和掌握，最后达到教学的基本要求。 特别要重视对中、差生的分析、推理的训练，给他们口头表达的机会，以便既提高 他们解题的正确率，又提高他们分析问题的能力。要坚持因材施教，对于差生，只 要使他们学会解答大纲、课本中共同要求的题目就可以了；对于学有余力的学生， 则可以出一些稍费思考的题目，让他们选做，但是也要避免出一些过于繁难的脱离 实际的对于进一步学习没有多大意义的题目。