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[指南]求二阶线性非其次微分方程通解的方法.doc

[指南]求二阶线性非其次微分方程通解的方法

爱你感如初见
2017-09-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《[指南]求二阶线性非其次微分方程通解的方法doc》,可适用于综合领域

指南求二阶线性非其次微分方程通解的方法求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法摘要:二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位本文提出了三种解法。一种是课本介绍的常数变易法先求得对应的齐次微分方程的基本解组然后求非齐次方程的通解第二种是对某些特殊类型的非齐次方程可以运用比较系数法方便求解第三种是在先求得对应的齐次微分方程一个特解的情况下将二阶线性常系数非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程得出了一种运算量较小的二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一般公式并用实例证明该方法是可行的。关键词:二阶常系数非齐次微分方程通解特解基本解组引言微分方程和日常生活联系是比较紧密的在一些天文学、力学、人口发展模型、交通流模型等的求解过程中经常会导出微分方程。而二阶常系数线性微分方程作为一类最基础最重要的微分方程探讨求出它通解的方法就显得至关重要。本文给出的三种求解二阶线性常系数非齐次微求出一般方程通解但要求被积函数可积当被分方程的方法中常数变易法和降阶法可方便地积函数不可积时可采用数值解法本文不作详述。二阶线性常系数非齐次微分方程设二阶线性常系数非齐次微分方程:,,,()ypyqy,f(x)其中p,q为实常数,为其定义域内连续函数。则方程()对应的齐次线性方程为:f(x),,,()ypqy,本文给出了三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法:常数变易法由线性微分方程的相关知识可知如果已知()对应的齐次线性微分方程()的基本解组那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到。因此求非齐次线性微分方程()的通解关键是求出齐次线性微分方程的基本解组。下面介绍的常数变易法对于高阶线性常系数非齐次微分方程也适用。n考虑阶线性常系数非齐次微分方程:(n)(n,),ypy?pypy,f(x)()n,n求基本解组对于常系数线性微分方程()有一种求基本解组的方法欧拉待定指数函数法(又称为特征根法)。阶齐次微分方程:n(n)(n,),()ypy?pypy,n,n的特征方程为:nn,()rpr?prp,n,n,,,,该方程的根即为特征根下面根据特征根的不同情况分别简述:特征根是单根的情形:rxrxrxn设是特征方程()的个互不相同的根则()有基本解组即()的通r,r,?,rne,e,?,en解可以表示为:rxrxrxn其中任意常数。c,c,?,cy(x),cece?cenn(注:如果特征方程有一对共轭复根则该复根对应两个实值解r,,,i,,x,x)ecos,x,esin,x特征根有重根的情形:设特征根是特征方程()的k重特征根则对应该特征根阶齐次微分方程()有解nrrxrxrxk,rx,所有解的线性组合即为齐次方程()的通解。e,xe,xe,?,xek(注:对应重特征根方程()有实值解r,,,i,rxrxrxk,rxecos,x,xecos,x,xecos,x,?,xecos,xrxrxrxk,rx)esin,x,xesin,x,xesin,x,?,xesin,x用常数变易法求原非齐次方程通解y(x),y(x),?,y(x)设由上述的方法解得的基本解组为则()的通解为ny(x),cy(x)cy(x)?cy(x)cc(x)将常数当作关于x的函数把nniiy(x),c(x)y(x)c(x)y(x)?c(x)y(x)代入原非齐次方程()按照教材所介绍方法nn,n,c(x)nn再构造个约束条件这样可得到含个未知数的个方程它们组成一个线性代数方i程组:,,,y(x)c(x)y(x)c(x)?y(x)c(x),,nn,,,,,,,y(x)c(x)y(x)c(x)?y(x)c(x),nn,,?,(,)(,)(,)nnn,,,,y(x)c(x)y(x)c(x)?y(x)c(x),nn,(,)(,)(,)nnn,,,,y(x)c(x)y(x)c(x)?y(x)c(x),f(x)nn,该方程组系数行列式即为朗斯基行列式它不等于零因而方程组的Wy(x),y(x),?,y(x)n,,,,,解可唯一确定那么原非齐次方程()的通解也随之确定。比较系数法对常系数非齐次线性微分方程:(n)(n,),()ypy?pypy,f(x)n,n当具有某些特殊形状时可用比较系数法求解其特点是不需要通过积分而用代数方法即可求f(x)得非齐次线性微分方程的特解比较简单方便。然后由上面介绍的特征根法求出对应齐次方程的通解由非齐次线性微分方程通解结构定理即可求出非齐次方程()的通解即()的通解等于()的一特解与对应齐次方程的通解之和因此关键是求出该方程某一特解。下面分为两种类型简述,,,,,求特解的方法:,mmrx设其中及为实常数那么bf(x),(bxbx?bxb)e(i,,,?,m)ri,mm方程()有形如:,kmmrx~()y,x(axax?axa)e,mm的特解其中k为特征根的重数(单根相当于k=当不是特征根时取k=)a,a,?,arrm是待定常数可以通过比较系数法来确定。,x设其中为常数而是带实系数的x,,,A(x),B(x),,f(x),A(x)cos,xB(x)sin,xe的多项式其中一个次数为m另一个次数不超过m那么方程()有形如:k,x~(),,y,xP(x)cos,xQ(x)sin,xe的特解这里k为特征根,i,的重数而P(x),Q(x)为待定的带实系数的次数不高于m的x的多项式可以通过比较系数法来确定。降阶法y,uvy(x),u(x)v(x),uvu,u(x)v,v(x)设方程()的通解为即寻找两个函数,使得为方程()的通解。,,,,,,,,,,,,,,则将代入()化简得:y,uvuv,y,uvuvuvy,y,y,,,,,,,()uv(upu)v(upuqu)v,f(x)在()中不妨令:,,,=()upuqurx显然()为二阶常系数齐次线性微分方程此时可取()u,er即可其中为方程()的特征方程的一个特征根。将()和()代入()化简得:,rx,,,()v(rp)v,f(x)e,,,,,方程()为可降价的微分方程利用可降价的微分方程的求解方法可求得通解。,,,下面简述线性微分方程的降阶法的两个定理:定理:设是二阶常系数非齐次线性微分方程()对应的齐次微分方程()的一个特解即g(x),,,那么()的解可表示为:g(x)pg(x)qg(x),,pdxpdx,,()y(x),g(x){ef(x)g(x)edxcdxc},,g(x)(n)(n,),定理:设()ypy?pypy,n,np,p,?,p是n阶线性常系数齐次微分方程其中为已知常数。那么方程()存在一个nrx特解其中是方程()的特征方程的一个根。y,er再来看上述方程()其对应的齐次方程为:,,,v(rp)v,()r,g(x),显然方程()的特征方程有一个特征根,由定理知方程()有特解再由定理中()式知方程()的通解为:(),rpdx()rpx,其中为任意常数。c,cv(x),ef(x)edxcdxc,,由此得方程()的通解为:(),rpdx()rxrpx,y(x),u(x)v(x),e{ef(x)edxcdxc},,,,,,综上所述可以把求解二阶线性常系数非齐次微分方程()的通解结论归纳如下:结论:对于二阶线性常系数非齐次微分方程()假设()对应的齐次方程()的特征方程有特征根,r则方程()的通解为:(),rpdx()rxrpx,()y(x),e{ef(x)edxcdxc},,其中为任意常数。c,c说明:设齐次方程()的特征方程的特征根为r,r若这时取之一作为的值代入()中即可。r,rr,rr若因为是()的特征方程的根所以即r,r,rr,rrr,r,,prp,代入()中化简可得此时通解为:rx,rxy(x),e{f(x)edxcdxc}(),,r,,,,i若这时取之一作为的值代入()后在求得的解中取实部即为()的通解r,rr,(),rpdx()rxrpx,即Re。()y(x),e{ef(x)edxcdxc},,例题下面以三道例题将上述三种方法作一比较:dxdx,,,,,x,t例:求二阶常系数微分方程的通解。dtdt,,,x,x,x,r,,r,,解:原方程对应的齐次方程为其特征方程有特征根则其t,t基本解组为e,et,t应用常数变易法令x(t),c(t)ec(t)e,,将它代入方程可得到决定的两个方程:c(t),c(t)t,t,,,ec(t)ec(t),,t,t,,ec(t)ec(t)t,,,,tt,,解得:c(t),(t)e,c(t),,(t)e,tt分别积分得:c(t),,(t,)ecc(t),,(t)ect,t于是原方程通解为x(t),c(t)ec(t)et,t,cece,t其中为任意常数。c,ct,t由特征根法知原方程对应的齐次方程通解为x,cecer,r,其中为任意常数下面再求非齐次微分方程的一个特解这里且c,cf(t),t~x,abt不是特征根由方法二中类型知方程有形如的特解代入原方程得:,b,a,bt,t,b,a,,比较系数得:,,b,,~b,,,a,x,,t解得从而因此原方程通解为:t,t,cece,tx(t)r,不妨取特征根,(这里,)代入()中可得原非齐次微分方p,,,q,,f(t),t程的通解为:t,ttx(t),e{e(t)edtcdtc},,t,t,cece,tccc,,,其中为任意常数。x,,,,,,y,yy,e例:求微分方程的通解。x,,,r,r,解:原方程对应的齐次方程为y,yy,其特征方程有特征根即有重根xx所以基本解组为e,xexx应用常数变易法令y(x),c(x)ec(x)xe,,将它代入原方程得到决定的两个方程:c(x),c(x)xx,,,,c(x)ec(x)xe,,xxxx,,c(x)ec(x)(exe),e,x,,,解得:c(x),c(x),,,x分别积分得:c(x),,xc,c(x),lnxcxx于是原方程的解为:y(x),c(x)ec(x)xexx,(,xc)e(lnxc)xex,(ccxxlnx)e其中为任意常数。c,c,c,xf(x),e本题中不符合比较系数法中的两种类型因此不能采用比较系数法求解。xxr,f(x),e原方程对应的齐次方程的特征根为重根(这里)由说明直接代入()x中得:xx,xy(x),e{eedxcdxc},,xx,e(lnxc)dxc,x,e(xlnx,x)cxcx,(ccxxlnx)e其中c,c,c,为任意常数。,,,,例:求微分方程的通解。yy,x,,r,,i解:原方程对应的齐次方程为yy,其特征方程有特征根所以有基本解组,cosx,sinx。y(x),c(x)cosxc(x)sinx应用常数变易法令,,将它代入原方程得到决定的两个方程:c(x),c(x),,c(x)cosxc(x)sinx,,,,,,c(x)sinxc(x)cosx,x,,,解得:c(x),,xsinx,c(x),xcosx分别积分得:c(x),xcosx,sinxc,c(x),xsinxcosxc于是原方程的解为:y(x),c(x)cosxc(x)sinx,(xcosx,sinxc)cosx(xsinxcosxc)sinx,xccosxcsinx原方程不符合比较系数法中的两种类型因此本题不能采用比较系数法求解。r,i原方程对应的齐次方程的特征根为虚根由说明不妨取(这里)p,,f(x),x代入()中得:ix,ixixy,ee(xedxc)dxc,,cix,ix,ix,e(xeiec)c,xi(cosx,isinx)c(cosxisinx)cc,x(sinxccosx)(cosxcsinx)i由说明中()知通解为:ccy(x),Re(y),Rex(sinxccosx)(cosxcsinx)ic,xsinxccosx,xcsinxccosxcc,c,其中为任意常数。(关于三种方法的总结由以上三个例题的三种解法的对比可以看出方法一中求解变易系数比较麻烦,但对于高阶常系数线性微分方程具有一般性方法二求解比较简单但有一定的局限性只适用于某些特殊的类型对非齐次项要求比较高对于二阶线性常系数非齐次微分方程来说方法三比较适用求解过程比较简单对非齐次项的要求比较低更具有一般性。参考文献林望,洪季平线性微分方程的降阶法A高等数学研究()王高雄,周之铭、朱思铭、王寿松常微分方程M第三版高等教育出版社王焕求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式J高等数学研究,()常庚哲,蒋继发用分部积分法求解常系数高阶非齐次线性微分方程J,大学数学,()同济大学应用数学系高等数学(下)M第五版高等教育出版社CuptaRCOnparticularsolutionsoflineardifferenceequationswithconstantcoefficientsJSIAMReview,华东师范大学数学系数学分析(上、下)M第三版高等教育出版社周仲旺几类特殊的常微分方程A潍坊学院学报()佘智君二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法A贵州大学理学院报赵树微积分M中国人民大学出版社张云艳常系数非齐次线性微分方程的几个解法J黄山学院学报,()娥二阶微分方程的非常规解法J徐州工程学院学报,()杨淑刑春峰,袁安锋,王朝旺求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一种新方法A北京联合大学学报(自然科学版),()丁同仁,李承治常微分方程M高等教育出版社OrdinaryDifferentialEquations,WolfgangWalter,SpringerVerlag,ReprintedinChinabyBeijingWorldPublishingCorporation,TheFormulaofGeneralSolutionforSecondOrderLinearDifferentialEquationwithConstantCoefficientsAbstract:ThesecondorderlineardifferentialeauationwithconstantcoefficientshasaimportantpositionintheoryandpracticeofordinarydifferentialequationtheregivethreemethodsofsolvingsecondorderlineardifferentialeauationwithconstantcoefficientsinthisarticleThefirstoneisvariationofconstantwhichisintroducedbytextbookWecanseekingthegeneralsolutionafterkowningthefundamentalsystemofsolutionsoflinearequationThesecondmethodiscomparingcoefficientmethodwhichisusedforsomeespecialtypesAndthelastmethodisonthebasisofknowingaspecialofthesecondorderlineardifferentialeauationwithconstantcoefficients,itcanbetransferredtothereduceddifferentialequationandageneralformulawhichhasasmallamountofcalculationisderivedExamplesaregiventoverifythemethodKeywords:secondorderlineardifferentialequationwithconstantcoefficientsgeneralsolutionparticularsolutionfundamentalsystemofsolutions

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