优等生数学 八年级

书书书 !!!!"#$%&’$()!!! 八年级 " !"#$ " %$&’ " ()*+ " ,-./ " 0123 华 东 师 范 大 学 出 版 社 0!!!! 目 !!!录 !!!!!!!! 第十一章!全等三角形!! .!全等三角形的概念!! )!三角形全等的判定!" /!全等三角形的应用!# 0!与中线有关的辅助线###倍长中线法!$ ,!运用角平分线的性质解题!!! 1!与角平分线有关的辅助线###翻折法!!% +!截长补短法!!& 第十二章!轴对称!’( 2!运用线段的垂直平分线性质解题!’( -!与轴对称有关的作图!’’ .*!运用轴对称方法求最值!’% ..!等腰三角形的性质与判定!’& .)!等腰三角形中的辅助线!’) ./!利用等腰三角形的性质解题!"! .0!等边三角形!"" .,!含/*3角的直角三角形!"* 第十三章!实数!") .1!平方根!") .+!立方根!%! .2!实数!%" 第十四章!一次函数!%# .-!函数的概念!%# )*!列函数关系式!%& #!!!! ).!一次函数关系式的确定!#( ))!一次函数的图像!#" )/!几种特殊类型的函数图像!#* )0!一次函数(一次方程与一次不等式!#) 第十五章!整式的乘除与因式分解!*" ),!整式的乘法!*" )1!乘法公式!*# )+!乘法公式的应用!*& )2!整式的除法!*) )-!因式分解!&! /*!因式分解的应用!&" 第十六章!分式!&# /.!分式的概念!&# /)!分式的基本性质!&& //!分式的四则运算!&) /0!含有几个相等分式问题的解法!$! /,!分式方程的解法!$" /1!列分式方程解 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 !$* 第十七章!反比例函数!$$ /+!反比例函数的概念!$$ /2!反比例函数的图像!)( /-!反比例函数解析式及图像提供的信息!)" 0*!反比例函数与一次函数的综合问题!)* 0.!反比例函数的应用问题!)) 第十八章!勾股定理!!(" 0)!勾股定理的证明!!(" 0/!运用勾股定理解计算问题!!(& 00!勾股定理的逆定理!!!( 0,!勾股数组!!!’ 01!与线段的平方关系有关的证明题!!!% !!!!! 第十九章!四边形!!!* 0+!平行四边形的概念与性质!!!* 02!与平行四边形有关的计算!!!$ 0-!平行四边形的判定!!’( ,*!与平行四边形有关的证明!!’" ,.!三角形中位线及其应用!!’* ,)!矩形!!’) ,/!菱形!!"’ ,0!正方形!!"# ,,!梯形问题的处理方法###平移!!"$ ,1!梯形问题的处理方法###分割!!%( ,+!梯形的中位线!!%" 第二十章!数据的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 !!%* ,2!数据的代表###平均数(中位数和众数!!%* ,-!数据的波动###极差和方差!!#( 1*!实际问题中的数据分析!!#" 综合测试!一"!!#$ 综合测试!二"!!*% 参考答案!!*) 书书书 第 十 一 章 ! 全 等 三 角 形 !!!!! !!!! !! ! !全等三角形的概念 两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形!把两个全等三角形重合 在一起!重合的角叫做对应角!重合的边叫做对应边! 全等三角形的对应角相等!对应边相等! 图! ! 如图! !所示!""#$#"%&’!$"("#$! $#(%#$!#’(&!求$%’&的度数与&$的长! 在""#$中!$")$#)$"$#(!’#$"三 角形内角和为!’#$#! 因为$"("#$!$#(%#$"已知#!所以 $"$#(!’#$*"#$*%#$(!##$! 因为""#$#"%&’"已知#!所以 $"$#($%’&"全等三角形对应角相等#! #$(&’"全等三角形对应边相等#! 因此$%’&(!##$!&$(&’*’$(#$*’$(#’(&! !(在解答与全等三角形有关的问题时!要充分利用全等三角形的定义 所得到的对应边相等$对应角相等的结论! &(在本题中求&$的长时!不能直接求!可将之转化为两条线段的差! 这也是将来求线段长的一种常用的转化方法! !!!! !"!!!! !" 如图!若""#$#""%&!则这对全等三角形的对应边是!!!!% 对应角是!!!!! 第!题 !!!! 第"题 #" 如图所示!$%是)*""#$斜边"#上的高!将"#$%沿$% 折 叠!点#恰好落在"#的中点&处!则$"等于"!!#! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"+#&%$ ",#"#$ "-#.%$ "/#0#$ $" 如图!若""#%#""$%!试说明"%与#$的位置关系! 第#题 %" 如图所示!斜折一页书的一角!使点"落在同一页书内"+处!%& 为折痕!作%’平分$"+%#!试猜想$’%&等于多少度!并说明理由! 第$题 #!!!! " !三角形全等的判定 判断两个三角形全等!并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角 均对应相等!而只需满足全等三角形的判定定理就可以了! 图" ! 已知&如图& !!",平分$&"%和$&,%!求证& "!#"",&#"",%%"&#"#,&#"$,%! 证明&"!#因为",平分$&"%和$&,%!所以 $,"% ( $,"&! $",&($",%!又因为",(",!所以"",&#"",%"+1+#! "&#由"",&#"",%得!,&(,%!且$"&,($"%,! 又$#&,(!’#$*$"&,!$$%,(!’#$*$"%,!所以$#&,( $$%,! 在"",&和"",%中!因为$#&,($$%,!,&(,%!$#,&( $$,%!所以"#,&#"$,%"+1+#! !(判定两个三角形全等!往往需要三个条件!根据题目已知的条件可以 得到两个条件"要注意公共角及公共边’#!这时!设法证明所缺的条件也成 立就是证题的关键了! &(要证明两条线段或者两个角相等!常用的方法是证明它们是一对 全等三角形的对应边或者对应角! $!!!! 第!题 !" 如图!已知"#("%!那么添加下列一个条 件后!仍无法判定""#$#""%$的是"!!#! "+#$#2$% !!!",#$#"$2$%"$ "-#$#$"2$%$"!!!"/#$#2$%23#$ #" 如图所示!点%$$在#’ 上!"# %&’! $"($&!#$(%’! 第"题 求证&"#(&’! $" 如图!"#交$%于点,!"%$$#的延长线相交于点&!且,"( ,$!&"(&$!你能证明$"($$吗( 点,在$"&$的平分线上吗( 第#题 %" 如图所示!已知#%$$&分别是""#$的边"$和"#上的高!点 -在#%的延长线上!#-("$!点.在$&上!$.("#! 求证&"!#"-(".%"&#"-&".! 第$题 %!!!! # !全等三角形的应用 全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中!我们常利用 全等三角形来转移线段和角!用来证明线段和角的等量关系!以及线段和角 的和差倍分等数量关系%用来证明直线和直线的平行$垂直等位置关系! !图# ! 如图" !所示!在""#$中!$#"$ (3#$! "#("$!#&平分$"#$!$&&#&!求证&$&( ! &#%! 延长$&$#"交于点’! 由于$#"$(3#$!$&&#&!得$’$"(3#$*$’($%#"! 在"’$"和"%#"中!因为 $’"$($%"#(3#$! "$("#!$’$"($%#"! 所以 "’$"#"%#"! 得 #%($’! 在"#&’和"#&$中!因为 $’&#($$&#(3#$!#&(#&!$’#&($$#&! 所以 "#&’#"#&$! 得 &$(&’! 即 $’(&$&! 所以 $&(!&$’( ! &#%! &!!!! !(要证明一条线段的长度是另一条线段的&倍!常用截长或补短的方 法转化为证明线段相等的问题!从而进一步转化为三角形全等的问题! &(有的题目需要证两次三角形全等! !" 如图!"#%%$!"%%#$!聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从#$ %出发沿垂直于"$的路径#&$%’去寻找奶酪!假设点"$$处堆满了奶 酪!哼哼和唧唧的速度相同!问它俩谁先寻找到奶酪( 为什么( 第!题 #" 证明&在三角形中!连结两边中点的线段等于第三边的一半!且和 第三边平行! ’!!!! !!$" 如图!在""#$中!$$(3#$!"%平分$#"$!%&&"#于点 &!点’在"$上!#%(%’!求证& "!#$’(&#% "&#请你判断#&4%&与%’的大小关系!并说明理由! 第#题 %" 如图!已知在""#$中!$"(3#$!"#("$!%为"$的中点! 第$题 "&&#%于&!延长"&交#$于’! 求证&$"%#($$%’! (!!!! $ !与中线有关的辅助线!!!倍长中线法 在解答几何证明题时!常常要作出辅助线来!而且某些辅助线的做法是 有规律的!例如对于在题目条件中含有中线的问题!我们常用的辅助线就是 将中线延长一倍! 求证&如果两个三角形有两边和第三边上中线对应相等!那么这两个三 角形全等! 已知&如图. !所示!在""#$和""+#+$+中!"# ("+#+!"$ ( "+$+!"/和"+/+是中线!且"/ ("+/+! 求证&""#$#""+#+$+! 图$ ! 分别延长"/和"+/+到%和%+!使得/%("/!/+%+("+/+!连 结$%$$+%+! 在""/#和"%/$中!因为/"(/%!$"/#($%/$!#/ ( $/!所以 ""/##"%/$"1+1#! 因此 "#($%!!$"($%! )!!!! 同理! "+#+($+%+!!$.($%+! 因为"#("+#+!所以 $%($+%+! 又 "%(&"/ (&"+/+("+%+!!"$("+$+! 所以 ""$%#""+$+%+"111#! 因此 $!($&!$%($%+! $"($.!$#"$($#+"+$+! 所以 ""#$#""+#+$+"1+1#! 在题目条件中含有中线的问题!我们常用的辅助线就是将中线延长一倍!其 目的是为了得到一对全等三角形!将分散的条件集中到一个三角形中去! !" ""#$中!"#(%!"$("!求中线"%的取值范围! #" 如图所示!在""#$中!已知"%是$#"$的平分线!又是边#$ 上的中线!求证&"#("$! 第"题 !*!!! $" 已知在""#$中!"%是#$ 边上的中线!&是"% 上一点!且 #&("$!延长#&交"$于’!求证&"’(&’! 第#题 %" 如图!已知$&!$#分别是""#$!""%$的中线!且"#("$! 求证&$%(&$&! 第$题 !!!!! % !运用角平分线的性质解题 我们知道角平分线具有如下重要的性质&角平分线上的点!到角的两边 的距离相等!在解答与角平分线有关的问题时!常常利用角平分线的这个性 质来解题! 图% ! 如图% !所示!在""#$中!"% 平分$#"$! #%($%!求证&$#($$! 作%&&"#于&!%’&"$于’! 因为"%平分$#"$!%&&"#!%’&"$!所以 %&(%’"角平分线上的点到角两边的距离相等#! 在)*"#%&和)*"$%’中!因为#% ($% "已知#!%&(%’ "已 证#!所以 )*"#%&#)*"$%’"56#! 于是 $#($$! !(本题实质上是证明了角平分线与中线重合的三角形是等腰三角形! &(在解答与角平分线有关的问题时!利用角平分线的这个性质!自角平 分线上一点!向角的两边作垂线!是一种常见的辅助线! "(不能由$#"%($$"%!#%($%!"%("%直接得到"#%"# "$%"!因为由11+是不能判定两个三角形全等的! !"!!! 第!题 !" 如图!在)*""#$中!$$(3#$!"$(#$! "%是$#"$的平分线!交#$于%!%&&"#于&!若 "#(!#78!则"%#&的周长等于"!!#! "+#!#78 ",#’78 "-#!&78 "/#378 #" 如图!$#($$(3#$!/是#$中点!%/平分$"%$! 求证&"/平分$%"#! 第"题 $" 如图!已知"#("$!#&&"$于&!$’&"#于’!#&与$’ 交于点%!求证&点%在$#"$的平分线上! 第#题 !#!!! %" 已知&点,到""#$的两边"#!"$所在直线的距离相等!且 ,#(,$! "!#如图!!若点,在边#$上!求证&"#("$% "&#如图&!若点,在""#$的内部!求证&"#("$% ""#若点,在""#$的外部!"#("$成立吗( 请画图表示! 图! !!! 图& 第$题 !$!!! & !与角平分线有关的辅助线!!!翻折法 这一节我们介绍第二类与角平分线有关的辅助线&在角的两边截取相 等的线段!从而构造一对全等三角形! 图& ! 如图0 !!已知点-是""#$的角平分线 "%上任一点!且"#’"$! 求证&-#*-$("#*"$! 在"#上截取"&("$!连结-&! 在""-&和""-$中!因为 "&("$!$&"-($$"-!"-("-! 所以 ""-&#""-$! 因此 -&(-$! 在"#-&中!-#*-&(#&!即 -#*-$("#*"$! 当题目的条件中出现了某个角的平分线时!可在这个角的两边截取 相等的线段!利用角平分线是公共边来构造一对全等三角形!这也是一 种常用的辅助线!它可将原来分属两个三角形中的边转移到一个三角形 中来! !%!!! !" 四边形"#$%中!"$平分$#"%!且$%与$#互补! 求证&$%($#! #" "!#如图!-是""#$的$#"$的外角平分线上一点!求证&-#) -$’"#)"$% "&#若-是""#$的$#"$的平分线上一点!且"$’"#!画出图 形!试分析-#$-$$"#$"$间又有怎样的不等关系( 第"题 $" 如图!!,-是$/,0的平分线!请你利用该图形画一对以,-所 在直线为对称轴的全等三角形! 请你参考这个作全等三角形的方法!解答下列问题& "!#如图&!在""#$中!$"$#是直角!$#(0#$!"%!$&分别是 $#"$!$#$"的平分线!"%!$& 相交于点’!请你判断并写出’&与 ’%之间的数量关系% "&#如图"!在""#$中!如果$"$#不是直角!而"!#中的其他条件不 !&!!! 变!请问!你在"!#中所得结论是否仍然成立( 若成立!请证明&若不成立!请 说明理由! 图! !! 图& !! 图" 第#题 %" 如图!三所学校分别记作"$#$$!体育场记作,!它是""#$的 三条角平分线的交点!,$"$#$$每两地之间有道路相连!一支长跑队伍从 体育场,出发!跑遍各校再回到,点!指出哪条路线跑的距离最短!"已知 "#("$(#$#并说明理由! 第$题 !’!!! ’ !截长补短法 在几何证明题中!有这么一类问题!就是要证明一条线段的长度等于另 外两条线段长度的和或等于另外一条线段的两倍!此类问题一般采用截长 补短法来证明!在本节中!我们就来介绍这种方法! 图’ ! 已知!如图9 !!四边形"#$%中!"# ("%! $#"%(0#$!$#$%(!&#$!求证&#$)$%("$! 延长#$到&!使$&($%!连结%&! 因为$#$%(!&#$!所以$%$&(0#$!又因为 $% ($&!所以"$%&是等边三角形!因此%& ( $%($&!$$%&(0#$! 又因为"#("%!$#"% (0#$!所以""#%是等边三角形!因此 $"%$($#%&!""$%#"#&%! 所以"$(#&(#$)$&(#$)$%! !(上面的这种作辅助线的方法叫做)补短法*!也就是将较短的一段延 长!使延长的部分等于较短的另外一段!然后将问题转化为证明线段相等的 问题!一般用全等三角形来解决! )补短法*也可以这么来用!将较短的一段延长!使延长后的一段长度等 于较长的一段!然后证明延长的部分等于较短的另外一段! &(本题还可以这么作辅助线&在$"上截取$& ($%!然后设法证 "&(#$!这种方法叫做)截长法*!即在较长的一段上截取一段等于较短的 一段!然后证明剩下的一段等于较短的另外一段! !(!!! !" 如图!$$(3#$!"$(#$!"%是$#"$的角平分线! 求证&"$)$%("#! 第!题 #" 如图!在""#$中!"#("$!-为#$上任一点!-/ &"#于 /!-0 &"$于0!#%&"$于%!求证&#%(-/)-0! 第"题 $" 在四边形"#$%中!"$平分$#"%!$"%$)$"#$(!’#$! $&&"#于&!猜想"%$"&$"#间数量关系!并证明你的猜想! !)!!! !!!! !! %" 在""#$中!$"$#(3#$!"$(#$!直线/0 经过点$!且 "%&/0 于%!#&&/0 于&! "!#当直线 /0 绕点$ 旋转到图!的位置时!求证&!""%$# "$&#%"%&("%)#&% "&#当直线/0绕点$旋转到图&的位置时!求证&%&("%*#&% ""#当直线/0绕点$旋转到图"的位置时!试问%&$"%$#&具有 怎样的等量关系( 请写出这个等量关系!并加以证明! 图! !! 图& !! 图" 第$题 第 十 二 章 ! 轴 对 称 !!!! !!"*!!! ( !运用线段的垂直平分线性质解题 我们知道!线段的垂直平分线上的点!到线段两端的距离相等%反过来! 到线段两端的距离相等的点!在线段的垂直平分线上!运用线段的垂直平分 线的性质!我们可以解决一些计算题和证明题! 图( ! 如图’ !!-为$",#的平分线,$ 上任意一 点!-&&,"于&!-’&,#于’!求证&,-是&’ 的垂直平分线! 因为,-为$",#的平分线!-&&,"!-’&,#!所以-&(-’"角平 分线上的点!到角两边的距离相等#!因此-在&’的垂直平分线上"到线段 两端距离相等的点!在线段的垂直平分线上#! 在)*",&-和)*",’-中!-&(-’!,-(,-!所以 ",&-# ",’-且,&(,’!所以,在&’的垂直平分线上"到线段两端距离相等 的点!在线段的垂直平分线上#! 所以,-是&’的垂直平分线! 第!题 因为线段是轴对称图形!而且线段的垂直平分线是线段的对 称轴!我们常利用线段的轴对称性质来证明线段的相等!也利用 线段轴对称的判定方法来确定线段的垂直平分线! !" 如图!等腰""#$中!"#("$!$"(&#$!线段"# 的垂直平分线交"#于%!交"$于&!连结#&!则$$#&等于 "!!!! "!!#! "+#’#$ ",#9#$ "-#0#$ "/#%#$ #" 如图!已知在""#$中!"#("$!$#("#$!"#的垂直平分线 &’交"#于&!交#$于’!求证&$’(&#’! 第"题 $" 如图!在""#$中!$"#$(.%$!"%是$#"$的平分线!&’垂 直平分"%!交#$的延长线于’!试求$$"’的大小! 第#题 %" 如图!在)*""#$中!$"$#(3#$!$"($#!$/是斜边"# 的中线!将""$/沿直线$/ 折叠!点"落在点% 处!如果$%恰好与"# 垂直!求$"的大小! 第$题 ""!!! ) !与轴对称有关的作图 本节包含两种类型的问题&一类是作出一个图形的关于一条直线的轴 对称图形!此类问题比较简单%另外一类问题是用作轴对称图形的方法来解 题!这类问题就比较复杂了! 图) ! 如图3 !!有一张矩形纸片"#$%!上面画有一 个角的两边1$2!但是这个角的顶点-在纸片的外 部!试在纸片上作出$-的平分线来! 图) " 作法&"!#在纸片上作直线3&1%作2关于3 的对称直线2+!2+与1交于-+% "&#作$-+的平分线4+% ""#作4+关于3的对称直线4! 则4所在的直线也是$- 的平分线所在的 直线! 我们将例题这种类型的题称为不可及点作图问题!这个利用轴对称变 换来解答的作法是解决不可及点作图问题的一般方法! 第!题 !" 如图!已知$",#与线段$%!求作一点 -!使点-到$%的两端点距离相等且$",#两边 的距离也相等! “奥数”智优篇 《优等生数学》《优等生数学》《优等生数学》《优等生数学》 （（（（1-91-91-91-9 年级）年级）年级）年级） 如果说“奥数”是提供给 4%的优等生， 那么《优等生数学》提供给 20％的优等生。 如果你已经是优等生，不妨一读； 如果你想成为优等生，不能不读！ ◆ 以中小学数学教学内容为依据，立足于学生基础知 识进行拓展 ◆ 全书约有60 个专题，每周2个专题，每专题5道题目，半小时轻松拔高 ◆ 巧妙的栏目设置，生动的语言叙述，学数学更有趣 主编介绍 熊 斌 第 46、49、51 届、52 届 IMO 中国队领队、中国数学奥林匹克委员 会委员、中国数学会普及工作委员会副主任、华东师范大学教授 朱华伟 第 50 届 IMO 中国队领队、中国数学奥林匹克委员会委员、广州大 学软件所所长、研究员 读者对象： 数学成绩班级前数学成绩班级前数学成绩班级前数学成绩班级前 20%20%20%20%的优等生的优等生的优等生的优等生 学奥数，这里总有一本适合你 自从 2000年《奥数教程》中首次在图书中使用“奥数”一词以来，华东师 范大学出版社已陆续出版近 200种“奥数”图书, 形成多品种、多册层次全系列。 “奥数”入门篇——《从课本到奥数》（1-9年级）Ａ、B版 “奥数”智优篇——《优等生数学》（1-9年级） “奥数”辅导篇——《奥数教程》、《学习手册》、《能力测试》（一至高三年级） “奥数”小学顶级篇——《高思学校竞赛数学课本》、《高思学校竞赛数学导引》 “奥数”专题篇——《数学奥林匹克小丛书》（小学、初中、高中共 30种） “奥数”题库篇——《多功能题典 数学竞赛》（小学、初中、高中共 3种） “奥数”高中预赛篇——《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》 “奥数”联赛冲刺篇——《高（初）中数学联赛考前辅导》 “奥数”IMO 终极篇——《走向 IMO：数学奥林匹克试题集锦》 “奥数”域外篇——《日本小学数学奥林匹克》、《全俄中学生数学奥林匹 克》