随机数学-第三讲

1. 1.4 4  条件概率和事件的独立性 条件概率和事件的独立性 条件概率的概念与计算 条件概率的概念与计算 三个概率 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 三个概率公式—— ——分别用于不同的情形的概率计算 分别用于不同的情形的概率计算 事件独立的概念及其在概率计算中的应用 事件独立的概念及其在概率计算中的应用  1. 1.4.1 4.1  条件概率 条件概率 § § 条件概率的概念 条件概率的概念 条件概率 条件概率是指在某事件已发生的条件下另一事件发 是指在某事件已发生的条件下另一事件发 生的概率 生的概率. . 问题 问题: :从含有 从含有3 3只次品 只次品7 7只正品的 只正品的10 10只产品中依次取两只 只产品中依次取两只. .已 已 知第一次取到次品 知第一次取到次品, ,求第二次也取到次品的概率 求第二次也取到次品的概率. . 定义 定义1.5 1.5  设 设A A， ，B B为随机试验 为随机试验E E的两个事件， 的两个事件， 为事件 为事件B B已发生的条件下事件 已发生的条件下事件A A发生的概率， 发生的概率， 简称为 简称为A A关于 关于B B的条件概率 的条件概率。 。  ) (  ) (  ) | (  B P  AB P  B A P = 讨论： 讨论：①条件概率是否一定存在？存在的条件？ ①条件概率是否一定存在？存在的条件？ ②非条件概率下建立的公理、性质对条件概率是 ②非条件概率下建立的公理、性质对条件概率是 否成立？ 否成立？ ③条件概率与积事件的概率在意义上的区别？ ③条件概率与积事件的概率在意义上的区别？ 且 且P P( (B B)>0 )>0。 。称 称 § §计算举例 计算举例 例 例1 1  设某种动物活过 设某种动物活过20 20岁的概率为 岁的概率为0.8 0.8，活过 ，活过25 25岁的概率 岁的概率 为 为0.4 0.4，现有一只 ，现有一只20 20岁的这种动物，求它能活过 岁的这种动物，求它能活过25 25岁 岁 的概率。 的概率。 1. 1.4.2 4.2  乘法公式 乘法公式 § § 乘法公式 乘法公式: :  满足 个事件， 的 是试验 设  n E A A A  n , , ,  2 1  L 则 , 0 ) (  1 2 1 > - n A A A P  L  ). | (  ) | ( ) | ( ) ( ) (  1 2 1  2 1 3 1 2 1 1 - = =  n n  n  i  i  A A A A P  A A A P A A P A P A P  L L I  ); | ( ) ( ) ( , 0 ) (  B A P B P AB P B P = > 则 若  ). | ( ) ( ) ( 0 ) (  A B P A P AB P A P = > 则 ， 若 一般地 一般地， ， § §计算举例 计算举例 例 例2 2  从含有 从含有3 3只次品 只次品7 7只正品的 只正品的10 10只产品中依次取两只 只产品中依次取两只. .  求第二次才取到正品的概率。 求第二次才取到正品的概率。 例 例3 3  甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 通过 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过 不放回抽样确定。假设被抽的 不放回抽样确定。假设被抽的10 10个题中有 个题中有4 4个难题 个难题 签， 签， 按甲先、乙次、丙最后的次序抽，试求下列 按甲先、乙次、丙最后的次序抽，试求下列 事件的概率： 事件的概率：A={ A={甲抽到难签 甲抽到难签} }； ；  B={ B={甲没抽到难签而乙抽到难签 甲没抽到难签而乙抽到难签} }； ；  C={ C={甲和乙都抽到难签而丙没抽到难签 甲和乙都抽到难签而丙没抽到难签} }。 。 ①乘法公式仅当其右端涉及的条件概率存在时才可用； ①乘法公式仅当其右端涉及的条件概率存在时才可用； ②乘法公式的 ②乘法公式的基本思想 基本思想是利用一串更简单易求的非条件、条件概率 是利用一串更简单易求的非条件、条件概率 计算积事件的概率。 计算积事件的概率。 问题：例 问题：例3 3中 中, ,如何求事件 如何求事件{ {乙抽到难前签 乙抽到难前签} }和 和{ {丙抽到难签 丙抽到难签} }  的概率？ 的概率？ 1. 1.4.3 4.3  全概率公式 全概率公式 § § 定理 定理1.1( 1.1(全概率公式 全概率公式) )  个两两互斥的事件， 的 为试验 ， ， ， 设  n E A A A  n L 2 1  有 的事件 对于 若 ， ， ， 且  , . 2 1 , 0 ) (  B E n i A P  i  L = > 则有 ,  1  U  n  i  i  A B = Ì  . ) | ( ) ( ) (  1 å = =  n  i  i i  A B P A P B P  § §全概率公式的思想及应用 全概率公式的思想及应用: :  • •思想 思想: :将 将B B表为一组互斥的积事件之和 表为一组互斥的积事件之和, ,利用可加性和乘法 利用可加性和乘法 公式求其概率 公式求其概率. .  • •适用于 适用于计算 计算其发生伴随着一组不确定情况的事件 其发生伴随着一组不确定情况的事件的概率 的概率. .  • •方法步骤 方法步骤: :①将 ①将所有可能的伴随情况 所有可能的伴随情况设为一组互斥事件 设为一组互斥事件; ;  ②求出公式右端的所有 ②求出公式右端的所有条件概率 条件概率和 和非条件概率 非条件概率, ,  并将它们代入 并将它们代入全概率公式 全概率公式计算 计算. . § §应用举例 应用举例 例 例4 4  盒中有 盒中有15 15个乒乓球，其中 个乒乓球，其中9 9个新球。第一次比 个新球。第一次比 赛任 赛任 取 取 3 3个来用，用后放回，第二次比赛再取 个来用，用后放回，第二次比赛再取3 3个来用 个来用. .  求第二次取到的全是新球的概率。 求第二次取到的全是新球的概率。 例 例5 5  有朋友自远方来。他乘火车、飞机和汽车的概率分 有朋友自远方来。他乘火车、飞机和汽车的概率分 别为 别为3/10 3/10、 、1/5 1/5、 、2/5 2/5和 和1/10 1/10，而火车、汽车和飞机误 ，而火车、汽车和飞机误 点的概率分别为 点的概率分别为1/4 1/4、 、1/12 1/12和 和1/3 1/3。求他迟到的概率。 。求他迟到的概率。 问题 问题: : 例 例5 5中，若已知他迟到了，求他是乘火车来而迟到 中，若已知他迟到了，求他是乘火车来而迟到 的概率；又，他最可能是乘哪种交通工具来的？ 的概率；又，他最可能是乘哪种交通工具来的？ 1. 1.4.4 4.4  Bayes Bayes公式 公式 § § 定理 定理1.2( 1.2(Bayes Bayes公式 公式) )  个两两互斥的事件， 的 为试验 ， ， ， 设  n E A A A  n L 2 1  有 的事件 对于 若 ， ， ， 且  , . 2 1 , 0 ) (  B E n i A P  i  L = > 则有 且  , 0 ) ( ,  1 > Ì =  B P A B  n  i  i  U  . , , 2 , 1 ,  ) | ( ) (  ) | ( ) (  ) | (  1  n i  A B P A P  A B P A P  B A P  n  j  j j  i i  i  L = = å = § §Bayes Bayes公式的意义与应用 公式的意义与应用  • •适用于 适用于在试验之后 在试验之后, ,已知某事件 已知某事件B B已发生的情形下 已发生的情形下, ,求 求B B  的任一可能伴随情况 的任一可能伴随情况A A i i 发生的 发生的后验概率 后验概率P(A P(A i i |B) |B). .  • •P(A P(A i i ) )是试验前根据主观经验得到的，称为 是试验前根据主观经验得到的，称为先验概率 先验概率. .  • •方法步骤 方法步骤与全概率公式情形类似 与全概率公式情形类似. . § §应用举例 应用举例 例 例6 6 设人口中对某种病菌的带菌率为 设人口中对某种病菌的带菌率为0.03. 0.03.当检查时 当检查时, ,由 由 于技术及操作的不完善等原因 于技术及操作的不完善等原因, ,使带菌者未必检出 使带菌者未必检出 阳性反应而不带菌者也可能呈阳性反应 阳性反应而不带菌者也可能呈阳性反应. .假定带菌 假定带菌 者不被检出的概率为 者不被检出的概率为0.01, 0.01,而不带菌者被检为阳性 而不带菌者被检为阳性 的概率为 的概率为0.05. 0.05.现某人被检为阳性 现某人被检为阳性, ,求他带菌的概率 求他带菌的概率. . 1. 1.4.5 4.5 事件的独立性 事件的独立性 讨论 讨论: :①事件 ①事件A A独立于 独立于B B的含义 的含义? ?  ② ②A A独立于 独立于B B时 时, ,是否必有 是否必有B B独立于 独立于A? A?  ③当两事件相互独立时 ③当两事件相互独立时, ,还有怎样的一般特性 还有怎样的一般特性? ?  ④当 ④当P(A)=0 P(A)=0或 或P(B)=0 P(B)=0时 时, ,A A与 与B B是否独立 是否独立? ?  § §两个事件的独立性 两个事件的独立性  • •定义 定义1.7 1.7  设 设A A， ，B B是随机试验 是随机试验E E的事件，若 的事件，若  P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)  则称事件 则称事件A A与 与B B相互独立 相互独立。 。  • •性质 性质 定理 定理1.3 1.3设 设P(B)>0, P(B)>0, 则 则A A与 与B B独立的充要条件是 独立的充要条件是P(A|B)=P(A). P(A|B)=P(A).  同理 同理, , 若 若P(A)>0, P(A)>0,则 则A A与 与B B独立的充要条件是 独立的充要条件是P (B|A)=P(B). P (B|A)=P(B). 定理 定理1.4 1.4  上述 上述定义和性质的应用意义 定义和性质的应用意义: :  1 1） ）判断和证明 判断和证明两事件的独立与否； 两事件的独立与否；  2 2） ）计算 计算两独立事件之积的概率。 两独立事件之积的概率。  }, , { } , { }, , { }, , {  B A B A B A B A  和 对于四对事件 。 则其余三对亦相互独立 独立， 若其中有一对事件相互 § §多个事件的独立性 多个事件的独立性 定义 定义1.8 1.8  设 设 若对于其中任一组事件 若对于其中任一组事件  ), 2 ( , , ,  2 1  n k A A A  k i i i £ £ L  n A A A  , , ,  2 1  L 为随机试验 为随机试验E E的 的n n个事件， 个事件， 都有 都有  ), ( ) ( ) ( ) (  2 1 2 1  n n  i i i i i i  A P A P A P A A A P  L L = 则称 则称  n A A A  , , ,  2 1  L 相互独立 相互独立. . • •n n个事件 个事件两两独立 两两独立不等同于 不等同于相互独立 相互独立  • •可类似定义 可类似定义可列无穷多个事件相互独立 可列无穷多个事件相互独立  • •定义给出了计算具有独立关系的 定义给出了计算具有独立关系的积事件的概率 积事件的概率公式 公式 § §举例 举例 例 例7 7（两两独立不等同于相互独立）有 （两两独立不等同于相互独立）有4 4张卡片，分别标 张卡片，分别标 有数字 有数字110 110， ，101 101， ，011 011， ，000 000，从中任取一张，设 ，从中任取一张，设  A A i i ={ ={所取卡片数码的第 所取卡片数码的第i i位为 位为1} 1}， ， （ （i i =1 =1， ，2 2， ，3 3） ） 试考查 试考查A A 1 1 ， ， A A 2 2 ， ， A A 3 3 的独立性。 的独立性。 例 例8 8  假若每个人的血清中含肝炎病毒的概率为 假若每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.004 0.004 ， ， 混合 混合100 100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的 个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的 概率。 概率。 a  e  例 例9 9 如图，开关 如图，开关a a、 、b b、 、c c、 、d d、 、e e 开或闭的概率均为 开或闭的概率均为1/2 1/2， ， 试求（ 试求（1 1）灯亮的概率；（ ）灯亮的概率；（2 2）已见灯亮，开关 ）已见灯亮，开关a a与 与  b b同时闭合的概率。 同时闭合的概率。  b  c  d ④当 ④当P(A)=0 P(A)=0或 或P(B)=0 P(B)=0时 时, ,A A与 与B B是否独立 是否独立? ?  证明：由 证明：由A,B A,B都包含 都包含AB AB知 知, ,  0 0≤ ≤P(AB) P(AB)≤ ≤Min{P(A),P(B)}=0 Min{P(A),P(B)}=0  从而有 从而有  P(AB)=0= P(AB)=0= P(A)P(B) P(A)P(B)  即 即  A A与 与B B独立 独立. .