利用中值定理和泰勒公式求函数极限(1)

2007 年 《和田师范专科学校学报》（汉文综合版） Jul.2007 第 27 卷第二期 总第 46 期 198 利用中值定理和泰勒公式求函数极限 谢黎东 (新疆水利水电学校 新疆乌鲁木齐 830013) [摘 要]用罗必达法则求未定式的极限是很有效的，但对某些 0 0 型的极 限它并不方便，甚至用它不能求出。对这种极限，可利用泰勒公式和中值定理加 以解决。 [关键词]极限；泰勒公式；中值定理 求未定式的极限利用罗必达法则是很有效的，但是对某些未定 式的极限并不方便，甚至不能求出，此时可利用带余项的泰勒展开 式再配合中值定理加以解决，利用罗必达法则求未定式的极限时， 其结果是化成某阶导数的比，而泰勒公式的各项系数正分别含着各 阶导数的值，罗必达法则所肯定的结论可以在特殊条件下， 用泰勒 展开式推导出来。 所以可利用已知函数的泰勒公式求未定式的极 限。理由如下： 如函数 ( ) ( )xgxf , 在 ( )δ,0xo 内 n+1 阶可微，并且： ""),()(),()( 0000 xgxfxgxf ′=′= ， )()(),()( 0 )( 0 )( 0 )1( 0 )1( xgxfxgxf nnnn ≠= −− （[A]）， 则 )(),( xgxf 展开的拉格朗日型 n阶泰勒公式为： ( ) 1 0 1 0 0 )( 2 0 0 '' 0 0 0 )( )!1( )( )( ! )( )( !2 )( )( !1 )( )()( + + −++−++ −+−′+= n n n n xx n f xx n xf xx xf xx xf xfxf ξ"" （ξ在 0x 与 x之间）， ( ) ( ) 1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 )( )!1( )()( ! )( )( !2 )()( !1 )()()( + + −++−++ −′′+−′+= n n n n xx n gxx n xg xxxgxxxgxgxg η"" （η 在 0x 与 x之间）， 当 0xx→ 时，上两式余项都是 nxx )( 0− 的较高阶无穷小，故有 ( ) ( ) [ ]nnnn xxoxx n xgxfxgxf )()( ! )()()()( 0000 −+−−=− ，同样如果函数 )()( xx ψϕ 与 在 ( )δ,0xo 内 n+1 阶可微，且： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )01010000 ,,, xxxxxx nn −− =′=′= ψϕψϕψϕ "" ， ( ) ( ) )()( 00 xx nn ψϕ ≠ （[B]）。 则 ( ) ( )xx ψϕ , 展开的拉格朗日型 n阶泰勒公式为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 10 1 0 0 2 0 0 0 0 0 !1! !2!1 ++ −++−++ −′′+−′+= n n n n xx n xx n x xx x xx x xx αϕϕ ϕϕϕϕ " (α在 0x 与 x之间)， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 10 1 0 0 2 0 0 0 0 0 !1! !2!1 ++ −++−++ −′′+−′+= n n n n xx n xx n x xxxxxxxx βψψ ψψψψ " ( β 在 0x 与 x之间)， 当 0xx→ 时，上两式余项都是 nxx )( 0− 的较高阶无穷小，故有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnn xxoxx n xxxx 0000 ! −+−−=− ψϕψϕ ，所以: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )00 00 00 00 00 00 ! !limlim 00 xx xgxf xxoxx n xx xxoxx n xgxf xx xgxf nn nn nn nn nn nn xxxx ψϕ ψϕψϕ − −= −+−− −+−− =− − →→ ， ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )00 00limlim 00 xx xgxf xx xgxf xx xgxf nn nn nn nn xx n n xx ψϕψϕψϕ − −=− −=− − →→ (n 阶导数均连续)，得： ( ) ( ) ( ) ( ) )( )( 00 00 )]()([ )]()([ )()( )()( )()( )()( limlim 00 n n xx nn nn xx xx xgxf xx xgxf xx xgxf ψϕψϕψϕ − −=− −=− − →→ 此式就是特殊条件下， 用泰勒展开式推导出来的罗必达法则， 就是说用罗必达法则能求未定式的极限，在特殊条件下，也能用泰 勒公式求未定式的极限。至于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx xf x xgxf xxxx ψϕϕ − − →→ limlim 00 , 等形 式是 ( ) ( ) ( ) ( )xx xgxf xx ψϕ − − → lim 0 的特例， 这里就不一一赘述。 在实际运用中不必写出各函数的 n 阶泰勒公式，关于各函数写 成几阶泰勒公式， 可以由分母无穷小的最低阶数决定。如果分母无 穷小的最低阶数是 n，则分子上各函数的泰勒展开式中关于 nx 较高 阶的无穷小可以略去，因为 ( ) 0lim 0 = → n n xx x xo ， 对极限没有影响， 这样就使计算简化了。 例如：计算 xx xx x sintan )sin(sin)tan(tanlim 0 − − → 。 此题是 " 0 0" 型，但用罗必达法则很难求出。不难验证 tan(tanx)， sin(sinx)和 tanx， sinx 在都 ( )δ,0o 内 3阶可微， 并且： ( ) ( ) ( ) ( ) 000,000 ==== ψϕgf ， ( ) ( ) ( ) ( ) 100,100 =′=′=′=′ ψϕgf ， ( ) ( ) ( ) ( ) 000,000 =′′=′′=′′=′′ ψϕgf ， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 10,20,20,40 3333 −==−== ψϕgf ，所以， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00,00 3333 ψϕ ≠≠ gf ， 则原式= ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 200 00 33 33 =− − ψϕ gf 。 可见 tan(tanx)，sin(sinx)和 tanx， sinx 满足条件，可使用 泰勒公式求这个未定式的极限。(实际计算时， 验算很麻烦，一般 略去这一步)。 ∵ )( !3 1sin 33 xoxxx +−= ， )( 3 1tan 33 xoxxx ++= ， )( 2 1)() !3 1 3 1(sintan 3333 xoxxoxxx +=++=− ， 可见分母 tanx－sinx 是 x的 3阶无穷小，故写出的分子上各函 数三阶泰勒展开式，关于 3x 较高阶的无穷小可略去。又： ))( !3 1sin()sin(sin 33 xoxxx +−= ， )( 3 1)( !3 1 !3 1 )() !3 1( !3 1 !3 1 33333 3333 xoxxxoxxx xoxxxx +−=+−−= +−−−= ))( 3 1tan()tan(tan 33 xoxxx ++= )( 3 2)( 3 1 3 1 )() 3 1( 3 1 3 1 33333 3333 xoxxxoxxx xoxxxx ++=+++= ++++= )()sin(sin)tan(tan 33 xoxxx +=−∴ 2007 年 《和田师范专科学校学报》（汉文综合版） Jul.2007 第 27 卷第二期 总第 46 期 199 n元二次多项式因式分解的初等方法 邓勇 （喀什师范学院数理系 新疆喀什 844006） [摘 要]用初等方法给出了一个判别 n 元二次多项式可因式分解的 充要条件，并给出了分解的具体方法。 [关键词] n 元二次多项式；因式分解； n 元二次齐式 1.引言 文献[1]给出了 n元二次多项式可分解因式的判别法，并且在 可分解的条件下给出了具体的分解方法，从而解决了n元二次多项 式可分解因式的理论。但是，该方法涉及到二次型、矩阵等知识， 对初学者来说较难掌握。本文给出一种初等方法，它使得初学者能 够更好地理解、更快地掌握。特别是当多项式为二元二次的时候， 甚至中学生都可掌握。 2.主要结果 定理：设有 n元二次多项式 1 2 1 1 1 1 ( , , , ) (1) n n n n ij i j k k n i j k f x x x a x x a x a + = = = = + +∑∑ ∑" ， 其中 , ( , 1, 2 , , )i j j ia a i j n= = " 。则： 1 2 1 1 1 1 ( , , , ) [ ( )][ ( )] (2) n n n i i n j j n i j f x x x A x A B x B+ + = = = + +∑ ∑" 的 充分必要条件是： 2 1 1 1 (0, , 0, , 0, , 0) ( )( ), ( 1, 2, , ) l ll l l l n l l n l l n f x a x a x a A x A B x B l n + + + = + + = + + = " " " （3），且： , ( , , 1, 2, , ) (4)ij i j j ia A B A B i j i j n= + ≠ = " 证明： 必要性：若： 1 2 1 1 1 1 ( , , , ) [ ( )][ ( )] n n n i i n j j n i j f x x x Ax A B x B+ + = = = + +∑ ∑" ， 则 1 1(0, ,0, ,0, ,0) ( )( ), ( 1,2, , )l l l n l l nf x A x A B x B l n+ += + + =" " " ， 展开（2）式右边，比较（1）式右边 , ( )i jx x i j≠ 的系数可得 , ( , , 1, 2, , )ij i j j ia A B A B i j i j n= + ≠ = " 。 充分性：若（3）、（4）成立，即： 1 1(0, ,0, ,0, ,0) ( )( ),( 1,2, , )l l l n l l nf x Ax A B x B l n+ += + + =" " " 且 , ( , , 1, 2, , )ij i j j ia A B A B i j i j n= + ≠ = " ，则展开（3）式 的右边并比较常数项得 1 1 1n n na A B+ + += ，从而： ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2 )( 2 1 )( 33 33 0 lim =+ +=∴ → xox xox x 原式 又如：求 4 2 0 2 coslim x ex x x − → − 。 解:因为分母是 X的 4阶无穷小。所以 2 2 ,cos x ex − 写成 4阶泰 勒展开式，关于 4x 较高阶的无穷小可略去。 ( )442 !4!2 1cos xoxxx ++−= ( )4422 82 1 2 xoxxe x ++−=− ∴原式 ( ) ( ) 4 4 42 4 42 0 82 1 !4!2 1 lim x xoxxxoxx x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++−−++− = → ( ) 4 44 0 12 1 lim x xox x +− = → 12 1−= 用泰勒公式求未定式的极限的步骤如下： （1）验证函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式中各函数是否在 ( )δ,0xo 内 n+1 阶可微， 且满足条件[A]，[B]，实际计算时可以省去这一步。 （2）用泰勒公式确定分母无穷小的阶数k， (如果分母为 kx ， 则其无穷小的阶数是 k)。 （3）再把分子上各函数写成 k阶泰勒展开式。 （4）求极限。 使用拉格朗日中值定理求未定式的极限也有独到之处。 例如：求 xx ee xx x sin sin 0 lim − − → 解：此题利用罗必达法则和泰勒公式很难求出，可以使用中值 定理加以解决。 设 xexf =)( 得： )(sin)(sin xfxfee xx −=− 10)],sin([sin)sin( <<−+′−= θθ xxxfxx 则 ( )[ ] 10,sinsin sin sin <<−+′=− − θθ xxxf xx ee xx 连续xexf =′ )(∵ 1)0()]sin([sin 0 0 lim ==′=−+′∴ → efxxxfx θ 从而 1 sin sin 0 lim =− − → xx ee xx x 总之，虽然用泰勒公式求未定式的极限，条件特殊。但当使用 罗必达法则求未定式的极限不灵的时候，泰勒公式和中值定理将发 挥独特作用。 参考文献： [1]丁家泰.微积分解题方法[M].北京：北京师范大学出版社，1981，P223. [2]翟连林，赵家骅.高等数学自学问答[M].北京：地质出版社，1984，P276. [3]欧阳光中，朱学炎，秦曾复.数学分析[M].上海：上海科学技术出版社， 1982，P183. Seek the functional limit by making use of “mean value theorem and B.Taylor expansion” Abstract: Using “L’Hospital theorem”is very effective to the limits of indeterminate form. But sometimes “ L’Hospital theorem” is not convenient the limits of some indeterminate form and even some the limits of indeterminate form can not be worked out. On this kinds of problems, We can use “B.Taylor formula and mean value theorem”to solve it. Key words: functional limit; B’Taylor formula; mean value theorem 作者简介：谢黎东（1965-），男，湖南省衡阳县，新疆水利水电学校 讲师，理学士。 收稿日期：2006-8-24