《复变函数与积分变换》试卷
2004-2005学年第一学期《高等数学D》试卷--1
恒等于一个常数。
uv,,xy《复变函数与积分变换》试卷 2006.1 f(z),u，iv,uxyvxy(,),(,)证:函数在区域解析在内可微 DD,,uv,,yx,
专业 学号 姓名 任课教师 另一方面，。 uxyuu(,)00,0,,,,,,,vv0,0xyxy
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
号 一 二 三 四 五 六 七 总分
uv,f(z),u，iv所以，在内 都恒为常数，从而在内恒为一个常数。 DD得分
(注意:要求写出解题过程(本试卷共二大张，8大题，满分100分) 44，，zzzz1111,，,，一. 填空题(每小题5分) 三. (6分)计算 ,,,dziii22,,,,,5,5z,1,zz(2)3216,z2,，，,,，，1 如果 ，则( ) zi,,argz,,z,02
,,, i,,4,, 2ez,1，i2 的三角表示是( )
f(z),u，iv,f(0),0,u(x,y), 3 设 在复平面解析， 并满足 则，，vx,y),2xy
四. (10分)用围道积分方法计算
22() xy,,,111dd,,,,,4 ( 0 ) sinzdz,53cos253cos，，,,,0,,|z|,1
1111,,dzdz,,25 ( 0 ) dz,32,,41033izz，，,,1，，,,11zzzizzz5，，，，|z|,1,,2,,
zsins6 ( 1 ) Re[,0],,,2z,,1211。 ,z,,Re,,,,dzs(e,1),1izz31333，，,,z,0f(z),7 是的( 2 )级极点。 ，，，，,,,1z33zz，，，，z,,,,3,,,,
2z,1w,1,,,,zzRe0,8 把映为()。 w,,,14,,z，133,，,,3,,
f(z),u，ivf(z)u,0二. (6分)设函数在区域D解析，并在D内满足，试证:在D内
2004-2005学年第一学期《高等数学D》试卷--2
, 0arg1,,,,wz6 所以 wi, 6z,6wi，
6wi,
z,五((10分)把下列函数在指定的圆环内展开成洛朗级数: 6求的反函数得到 wi，
1
2,|z|,,，. 1zz(2),6，，iz1，，， w,,, 1,z，，，，,,nn,2,,,,111122,,,,,,,,,,,,22n 2zzzzzz(2),,,,,02nn0arg,w,,,1,z,1即为把圆映射为角域的一个共形映照。 z6,,
, 0arg,w,z,1 六 (8分) 求把圆映射为角域的一个共形映照。 6 解:
, 0argIm01,,,,,,wwz6,,i ,w, 6z,，i,
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2dydy2t4y(0)1,y'(0),0七((10分) 利用Laplace变换求常微分方程44满足，,，,ye14，,s2，，stdtdtyte(),2的特解。 s,2，，s,4
2，，14，,s，，2std(2)se,,,2(2)(4)ss,,,,，，解:设Y(s)=L(y)，lim
s,2ds
124t，，14，,s，，,,,,，,,LyyyLe(4)()stde,,
,s4s,4，，,,1，，4t,，elim
s2,14ds2
,,,,，,sYsssYsYs()4(()1)4()22st，，tess1414，,，,，，，，，，，，,s41tstst,,,，，,eeelim222s,,,44s,，，s,4，，1,,，，2，,s4
，,14s，，155135t,s4,,ttttt2222t,,,Ys(),，,,,，,eeeeete(2),0t,,,22424442,,,，,,ssss44(2)4，，
2 ,,，,14s ，，,,11
,,ytLYsL()(()),,2 ,,,,ss24，，，， ,,
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z,4fz()Dz:24,,八((10) 设在闭环域上解析，若在上
z,2fza(),ab,.fzb(),fz()，在上，则(提示:证明
Dz:24,,在闭环域上恒等于一个常数)
证:
zz,,,24,, 由多连域的Cauchy积分
公式
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可知，对任意有
1()1()ff,,
,,fzdd(),,,,,,22iziz,,,,zz,,42
11ab
,,dd,,,,,,22iziz ,,,,zz,,42
,，,aa0
Dz:24,,afz()即在环域上恒等于一个
Dz:24,,fz()fz()再因在闭环域上解析，所以在闭环域Dz:24,,上连续，
fza(),z,2ab,.从而在上，得到结论。
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