青岛大学讲稿
讲 授 内 容
备 注
第11讲(第11周)
4.1.1 单元与整体
分析
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1.能量原理
有限单元法的核心是建立单元刚度矩阵，有了单元刚度矩阵，加以适当组合，可以得到平衡方程组，剩下的就是一些代数运算了。在弹性力学平面问题计算中，我们是用直观方法建立单元刚度矩阵的，其优点是易于理解，并便于初学者建立清晰的力学概念。但这种直观方法也是有缺点的：一方面，对于比较复杂的单元，依靠它建立单元刚度矩阵是有困难的；另一方面，它也不能给出关于收敛性的证明。把能量原理应用于有限单元法，就可以克服这些缺点。能量原理为建立有限单元法基本公式提供了强有力的工具。在各种能量原理中，虚位移原理和最小势能原理应用最为方便，因而得到了广泛的采用。
(1)虚位移原理。所谓虚位移可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零。
图2-15 固体的边界条件
考虑图2-15所示的物体，它受到外力F1、F2、…等的作用，记
F＝[F1 F2 F3 …]T
在这些外力作用下，物体的应力为
现在假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为，记
上述虚位移所产生的虚应变为
在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中，外力保持不变。因此，外力在虚位移上所做的虚功是
(2-1-52)
整个物体的虚应变能为
(2-1-53)
虚位移原理
表
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明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即
(2-1-53)
虚位移原理不但适用于线性材料，也适用于非线性材料。
(2)最小势能原理。物体的势能
定义为物体的应变能U与外力势V之差，即
(2-1-54)
其中应变能U为
外力势由下式计算
式中，右端第l项为集中力F的势；第2项为体积力q的势；第3项为面力
的势；Sσ为面力作用的表面；r b为表面Sσ上的位移。
最小势能原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调（连续）位移中，那些满足平衡条件的位移使物体势能取驻值，即
(2-1-55)
对于线性弹性体，势能取最小值。
最小势能原理可以用虚位移原理证明。
最小势能原理可用虚位移加以证明。
2.用能量原理求单元刚度矩阵和节点荷载
利用最小势能原理，可以求出单元刚度矩阵及节点荷载。对空间问题，设一个单元，在各节点上作用着节点力F e，单元节点位移为δe、单元应变为ε=Bδe，物体应变能为
即
其中K e为单元刚度矩阵
(2-1-56)
单元节点力的外力势为
则单元的势能为
由最小势能原理，
，所以有
则节点力为
(2-1-57)
从物理上考虑，应变能必须是正量，而节点位移又是任意的，所以单元刚度矩阵是正定的。由此可以推断势能的二阶变分是非负的。既然势能的一阶变分等于领，二阶变分又非负，从而可以断定势能取最小值。
把r=Nδe代入外力势的表达式中，得到体力q与面力
的势为
所以单元的势能为
根据最小势能原理得到
(2-1-58)
(2-1-59)
以上诸式跟由虚位移原理推得结论一致。
3.用能量原理求总体平衡方程
结构整体刚度矩阵为K，节点位移为δ，结构内能为
(2-1-60)
{P}为作用在节点上的荷载，荷载的势为
(2-1-61)
结构的势能为
由最小势能原理，势能取驻值，即
则得到
(2-1-62)
该方程与由节点平衡方程得到的方程组一致，但结构复杂时或采高次单元时，利用最小势能原理建立方程组无特殊困难。
浙公网安备 33021202002483