韦达定理，判别式及其应用

韦达定理 知识要点 1、若一元二次方程 中，两根为 ， 。则 ， ，；补充公式 2、以 ， 为两根的方程为 3、用韦达定理分解因式 例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 不解方程说出下列方程的两根和与两根差： （1） （2） （3） 已知关于 的方程 ，是否存在负数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的 的值；若不存在，说明理由。 已知方程 ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。 解方程组 分解因式： （1） （2） 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 在关于 的方程 中，（1）当两根互为相反数时 的值；（2）当一根为零时 的值；（3）当两根互为倒数时 的值 求出以一元二次方程 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。 解方程组 分解因式 （1） = （2） 聪明题 已知一元二次方程 的两个实数根满足 ， ， ， 分别是 的 ， ， 的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若 ，求 的度数。 2、在 中， ，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于 的方程 的两个实数根，求 的值。 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________ （2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a•5b=30ab 解法二：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a•5b=30ab ∵ab=1， a+b=-200 ∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) •b( a +2005+b) =a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a•5b=30ab 题2： 已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。 浅谈韦达定理在解题中的应用 　 韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考． 一、直接应用韦达定理 若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理． 例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d． 求证： (1)c＋d＝2bcosA； (2)c·d＝b2－a2． 分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明． 证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有 a2＝b2＋c2－2bccosA； a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)． ∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0， d2－2bdcosA＋b2－a2＝0． 于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根． 由韦达定理，有 c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2． 例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值． 分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解． 解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b． 由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1． 故ab＋a＋b＝－2． 二、先恒等变形，再应用韦达定理 若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理． 例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9． 由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0． 则z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0． 于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y． 由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理 INCLUDEPICTURE "http://kecheng.edu.people.com.cn/classonline/contentrj/3b/3b1/html/Image14941.gif" \* MERGEFORMATINET 三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理 例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程． 解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a＋2a＝－P， ① a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③ 把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1． ∴ 方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0． 解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2． 例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4． 证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇． 由题意知α－β＝α＇－β＇， 故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2． 从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．① 把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0． 故p－q＝0或p＋q＋4＝0， 即p＝q或p＋q＝－4． 四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理 例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根． 解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α)＝3， ① α(4－α)＝－(m－1)． ② 由②得m＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1)＝0． ∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m＝－2． 故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3． 　 判别与韦达定理 1、已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根， (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 2、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115， （1）求k的值； （2）求x12+x22+8的值. 3、已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根、满足，求的值。 4、已知关于x的方程k2x2+(2k－)x+1=0有两个相等的实数根x1、x2. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 5、已知抛物线y＝x2－(m－3)x－m. (1)求证:无论m为何值,抛物线与x轴总有两个交点; (2)若抛物线与x轴的两交点的距离为3,求m的值; (3)证明不论m为何值,抛物线与x轴的两交点不可能都在x轴的正半轴上. 6、已知关于x的一元二次 的两个实数根 且 ＋ ＝ EMBED Equation.3 ，求k的值。 7、关于 的方程 ，是否存在负数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于４？ 若存在，求出满足条件的 的值；若不存在，说明理由。 8、已知关于x 的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0 求证:无论m取什么实数,方程总有实数根； (2)如果方程的两个实数根x1、x2满足x1=3x2，求实数m的值. 已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2． ⑴ 求证：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点Q总在x轴的下方． ⑵ 设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D．问：△QCD能否是等边三角形?若能，请求出相应的二次函数解析式．若不能，请说明理由． ⑶ 在第⑵题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于 的抛物线有几条？并证明你的结论． 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ： 1、(1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，解得k>-1，且k≠0 .即k的取值范围是k>-1，且k≠0 . 3分 (2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0. 4分 则x1 ，x2不为0，且 ，即 ，且 ，解得k=-1 . 而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-1，且k≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 . 2、（1）k=-11；（2）66 3、m=－3，舍去m=1; 4、(1)解：根据题意 ，∴ ， ∴当k＜ 且k≠0时，方程有两个不相等的实数根. （2）不存在. ∵由x1+x2=- =0 ,得k= , 当k= 时，△＜0， ∴不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数 5、(1)略; (2)根据题意, |x1－x2|＝3,即 (x1＋x2)－4x1x2＝9 ∴ (m－3)2＋4m＝9,整理得 m2－2m＝0 解得 m＝0或m＝2 (3)假设两交点都在x轴的正半轴上. x1＋x2＞0 m－3＞0 m＞3 x1·x2＞0 －m＞0 m＜0 故两交点不可能都在x轴的正半轴上 6、k=3 ⑴ ∵ 判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴ 抛物线与x轴总有两个交点． 又 抛物线开口向上， ∴ 抛物线的顶点在x轴下方． (或由二次函数解析式得：y＝ a2＋a－2， ∵ 抛物线顶点的纵坐标为－ a2＋a－2＝ ＜0当a取任何实数时总成立， ∴ 不论a取何值，抛物线的顶点总在x轴下方．) ⑵ 由条件得：抛物线顶点Q(— ，— a2＋a－2)，点C(0，a－2)． 当a≠0时，经过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一个点D，此时CD＝| －a |，点Q到CD的距离为| (a－2)－(－ a2＋a－2) |＝ a2． 自Q作QP⊥CD，垂足为P，要使△QCD为等边三角形，则需OP＝ CD，即 a2＝ | －a |． 由a≠0，解得a＝±2 ．(或由CD＝CQ，或由CP＝ CO等求得a的值) ∴ △QCD可以是等边三角形，此时相应的二次函数解析式为 y＝x2＋2 x＋2 －2或y＝x2－2 x一2 －2． ⑶ ∵ CD＝| －a |，点A到CD的距离为| a－2 |，由S△ACD＝ | a(a－2) |＝ ，解得 a＝1± 或a＝1± ， ∴ 满足条件的抛物线有四条． � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 则 即 ( 无解 1 _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567953.dwg _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567969.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567977.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown