北京四中2014年高考数学总复习知识梳理
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：19三角函数的性质及其应用（基础）（ 2013高考）
三角函数的性质及其应用
【考纲要求】
yAx,，sin(),,yAx,，sin(),,1、了解函数的物理意义;能画出的图象，了解参数A，，对函数图象变化的影响. ,,
2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
【知识网络】
三角yAx,，sin(),, 函数
图象的作法 的性
质及
其应yAx,，sin(),, 用
图象的性质
【考点梳理】
yAx,，sin(),,考点一、函数(,)的图象的作法 A,0,,0
1.五点作图法:
tx,，,,yAx,，sin(),,t作的简图时，常常用五点法，五点的取法是设，由取0、,3,,、、、2,来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 22
2(图象变换法:
yx,sin(1)振幅变换:把的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
0)或向右(,<0)平行移动|,|个
yAx,，sin(),单位，得到的图象;
yAx,，sin(),(3)周期变换:把的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到
1yAx,，sin(),,原来的倍(纵坐标不变)，可得到的图象. ,
yAxb,，，sin(),yAx,，sin(),(0)b,(4)若要作，可将的图象向上或向下(0)b,yAxb,，，sin(),b平移个单位，可得到的图象(记忆
方法
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仍为“左加右减，上
正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。
要点诠释:
yx,sinyAx,，sin(),,由的图象利用图象变换作函数的图象时要特别注意:当周
期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别.
yAx,，sin(),,考点二、的解析式
yAx,，sin(),,1. 的解析式
2,yAx,，sin(),,x,，,[0,)(, )，
表
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示一个振动量时，A叫做振幅，A,0,,0,T
,
1,叫做周期，叫做频率，叫做相位，时的相位称为初相. ,,x，x,0,,,fT2,
yAx,，sin(),,2. 根据图象求的解析式
,求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点. (,0),
,
2,,,x，,0AT求解步骤是先由图象求出与，再由算出，然后将第一零点代入求,,,T
出. ,
要点诠释:
若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算.
yAx,，sin(),,考点三、函数(A,0,,,0)的性质
1. 定义域: ,值域:y?[-A,A]. xR,
2,2(周期性: ,T,
,,,,kk3. 奇偶性:时为偶函数;时为奇函数，. kZ,,，,,2
,,,,,,2k,,2k，,224(单调性:单调增区间:[] , ,kZ,,,
,,3,,,,2k，,2k，,22单调减区间:[] , ,kZ,,,
,,,k，,,,k,25. 对称性:对称中心(,0)， ;对称轴x= ， kZ,kZ,,,
,2k，,,,,26(最值: 当即时，y取最大值A x,xk，,，2,,,2,
,2k,,,,,2当即时，y取最小值-A((). x,xk，,,2kZ,,,,2,
要点诠释:
yAx,，sin(),,?求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为，要特别注意、A
,,x，,的正负，再把看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可;利用
单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
?整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的
问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。 【典型例题】
yAx,，sin(),,类型一、求函数(,)的单调区间 A,0,,0
,,,yx2sin,,例1. 求函数的单调区间. ,,4,,
【思路点拨】利用正弦函数的单调区间，求出简单复合函数的单调区间.
,,,,,,yx2sinyx2sin,,,,,【解析】解法一:化成. ,,,,44,,,,
yuu,,sin()R?的递增、递减区间分别为
,,,,3，，，，2,2kk,，2,kk，，2(k?Z)，(k?Z)， ,,,,,,,,2222，，，，
,,,yx2sin,,,?函数的递增、递减区间分别由下面的不等式确定， ,,4,,
,,,3， ，,,,，,22()kxkkZ,,242
37,,即， ，,,，,22()kxkkZ,,44
,,,， 22()kxkkZ,,,,，,,,242
,,3即， ,,,，,22()kxkkZ,,44
,,,yx2sin,,?函数的单调递减区间、单调递增区间分别为,,4,,
,,337,,，，，，2,2kk,，2,2kk，，(k?Z)，(k?Z). ,,,,,,,,4444，，，，
,,,,yx2sinyu,2sin,,解法二:可看作是由与复合而成的. ux,,,,44,,
,又?为减函数， ux,,4
,,?由， 22()kukkZ,,,，,,,22
,,3， ,,,,,，,22()kxkkZ,,44
,,3,，，,,yx2sin,,,，,2,2()kkkZ,,即为的递减区间. ,,,,,,444，，,,
,,3由， ，,,，,22()kukkZ,,22
,,,3即得 ，,,,，,22()kxkkZ,,242
5,,， ,,,,,,,22()kxkkZ,,44
5,,,，，,,yx2sin,,,,,2,2()kkkZ,,即为的递增区间。 ,,,,,,444，，,,
,5,,,,，，yx2sin,,,,,,,2,2()kkkZ综上可知:的递增区间为; ,,,,,,444,,，，
,,3，，,,,，,2,2()kkkZ递减区间为. ,,,,44，，
yAx,，sin(),,(0,0)A,,,【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的两种
方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同
解变形或利用数形结合的方法来求解.
举一反三:
【变式1】求下列函数的单调递增区间.
,,,(1)，(2)，(3). yx,,cos(2)y,,|sin()|x，yx,,tan(3)343
【解析】
,27,,(1)?，?递增区间为:(kZ,); yx,,cos(2),，，xkk[,],,336
,(2)画出y,,|sin()|x，的图象: 4
,,3可知增区间为(); kZ,,，，xkk[,],,44
,,,,kk5(3)函数在区间()上是增函数. kZ,,,，，x[,]183183
317【变式2】利用单调性比较，，的大小: cossin,cos1024
【解析】
33,,,,,13777?，，且 ,,,,,sin(),,,,,,cossin()cos04244222221022
137? ,,,cossincos4102
yAx,，sin(),,类型二、三角函数的图象及其变换
例2(已知函数 y,sin2x，3cos2x
(1)用五点法作出它的图象;
(2)指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间;
yx,sin(3)说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到,
,,,,3【思路点拨】化简，令，分别求出对应yx,，2sin(2)，,20,,,,2x,,
3322的值，再描点作图，注意图象变换的时候每一个变换总是对字母而言的. xx【解析】(1)
13,,,y,2(sin2x，cos2x),2(sin2x,cos，cos2x,sin),2sin(2x，). 22333
列表描点绘图如下:
, 2, 0 ,,3 2x，,232 x,,,7,5, ,6123126
y 000,22
1,(2)如图可知，此函数的振幅是2，周期为，频率为，初相为. ,,3
5,,单调增区间为 k,Z ， [k,,,k,，]1212
,7单调减区间为[k,，,k,，,]k,Z. 1212
π图象向左平移个单位,3yx,sin(3)法一: ,,,,,,,,,,,,yx,，sin()纵坐标不变3
,横坐标缩短为原来的0.5倍,,,,,,,,,,,,,, yx,，sin(2)纵坐标不变3
,纵坐标扩大到原来的2倍,,,,,,,,,,,,, yx,，2sin(2)横坐标不变3
横坐标缩短为原来的0.5倍yx,sinyx,sin2,,,,,,,,,,,,,,法二: 纵坐标不变
π图象向左平移个单位,,6 ,,,,,,,,,,,,yxx,，,，sin2()sin(2)纵坐标不变63
,纵坐标扩大到原来的2倍,,,,,,,,,,,,, yx,，2sin(2)横坐标不变3
【总结升华】
yAx,，sin(),,?五点法作(,)的简图时，五点取法是设tx,，,,，A,0,,0
,3,由取0、、、、来求相应的值及对应的值，再描点作图; 2,yt,x22
yx,sinyAx,，sin(),,?由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后
平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变x量”起多大变化，而不是“角变化”多少;
?此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察;也可以直接由函数式子利
用特殊位置点(如:首点、波峰、波谷等)的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及x
的系数是相同的.
举一反三:
,【变式1】由的图象得到的图象需要向 平移 个yx,cosyx,，sin()3
单位.
,【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】左，; 6
,【解析】?， yxx,,，cossin()2
,,?由的图象得到的图象需要向左平移yx,，sin()yxx,,，cossin()32,个单位. 6
1,yx,sin【变式2】试述如何由的图象得到的图象. ,，yxsin(2)33
1,1,横坐标扩大为原来的倍2,,,,,,,,,,,,,【解析】方法一: ,，,，yxsin(2)yxsin()纵坐标不变3333
π图象向右平移个单位3 ,,,,,,,,,,,,纵坐标不变
1纵坐标扩大到原来的倍3,,,,,,,,,,,,,yx,sinyx,sin. 横坐标不变3
π图象向右平移个单位1,16,，yxsin(2)yx,sin2方法二: ,,,,,,,,,,,,333纵坐标不变
1横坐标扩大为原来的倍2纵坐标扩大到原来的倍3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,yx,sin纵坐标不变横坐标不变3
yx,sin.
1yx,sin【变式3】若函数的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的，
3
π再将图象沿轴向右平移个单位，则新图象对应的函数式是( ) x3
1π,,yx,,sin3A( B( yx,，sin,,33,,
ππ,,,,C(yx,,sin3 D(yx,,sin3,,,,39,,,,
【答案】A
3,[0]，,【变式4】画出函数在区间上的图象. ,,yxsin(2)4
3,【解析】由知道: ,,yxsin(2)4
3,5,7,, , x 0 8888
22y ,1 0 1 0 ,, 22
[0]，,故函数在区间上的图象:
yAx,，sin(),,(0,0,||)A,,,,,,例3. 如图，它是函数的图象，由图中条件，写出该函数的解析式。
【思路点拨】结合图形易求得A，T及.如何求呢,可以选择点的坐标代入函数解析式,,
尝试一下，结合的范围求得. ,
【解析】 由图知A=5，
T53,,由，得 T,3,,,,,222
22,2?。此时。 ,,,，,yx5sin(),T33下面介绍怎样求初相。 ,
解法一:(单调性法)
?点(π，0)在递减的那段曲线上， 23,,，，，,，，,2,2()kkkZ?。 ,,,,,,322，，
2,2,,,sin0，,由得， ,，,，2k,,,,,33,,
,?。 ,，,2()kkZ,,3
,||,,,?，?。 ,,3
解法二:(最值点法)
,2,,,,,,,,5,5sin5yx,，5sin，,将最高点坐标代入，得， ,,,,,,,463,,,,,,
,,,?，?。 ，,，2k,，,2()kkZ,,,,623
,||,,,又，?。 ,,3
解法三:(起始点法)
yAx,，sin(),,函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由
,,x，,0,解得的。故只要找出起始点横坐标x，就可以迅速求得角。由图象易得0,x,,， 02
2,,,,,,,,，,,x?。 ,,0,,323,,
解法四:(平移法)
2,由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位就得到本题图象，故所求yx,5sin23
函数解析式为
，，22,,x,,,, yx,，,，5sin5sin,,,,,,3233,,,,，，
yAx,，sin(),,【总结升华】给出型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”
,中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置，例3中的解(,0),
,
法三是我们常选用的方法这一.
举一反三:
,,yx,，2sin(),,,||,,【变式】下图是函数(，)的图象(则、的值是,,02
( )
10,10,A(， B(， ,,,,,,,,,661111
,,C(， D(， ,,,,2,,,,2,66【答案】C
,,2sin1,,,11,,,,,【解析】由图象可得: 2sin0，,,,,,12,,,,211,,,,12,,
,,2sin1,,?，由得， ||,,,,26
112,,,，11112,,,,,,，,,,,由 ，得 ,,kkZ,sinsin0，,,，，,,,,1212612,,,,
122k,? () k,Z,,11
24211,,24,k,1k,2由，得(满足时，或( ,,0,,,1211,11
10,,11T11,,,,BC由此得到，(注意到，即， ,,,,21212212,11
1012,,因此，这样就排除了( ,,1111
,?， ,,2,,6
yAx,，sin(),,注意:因为函数是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全
11,,,,，0确定A、、的值(本题虽然给出了，的条件，但是仅靠(0，1 )、,,0,||,,,,,122,,
2,T11,两点，不能完全确定、的值(在确定的过程中，比较隐蔽的条件(),,,,TT,,212,
起了重要作用(
类型三:奇偶性与对称性
,例4(已知函数 fxx()sin(3),，3
(1)判断函数的奇偶性;(2)判断函数的对称性。
fx(),fx()【思路点拨】正弦函数的定义域是，在考查与的关系;考查三角函xR,
数的对称性的时候，从对称轴和对称中心两个方面考虑.
fx()【解析】(1)的定义域关于原点对称， xR,
,, fxxx()sin(3)sin(3),,,，,,,33
,,,,?且， sin(3)sin(3)xx，,,,sin(3)sin(3)xx，,,3333
,?函数不是奇函数也不是偶函数. fxx()sin(3),，3
,,yu,sin(,0)k,(2)?令,则的图象的对称轴是，对称中心uk3xu，,,，,23
()， kZ,
k,,,,,?函数的图象的对称轴是即x3xk，,，,，fxx()sin(3),，,318323
(kZ,)
k,,,由x得(kZ,)， 3xk，,,,,393
k,,,?函数的图象的对称中心是(kZ,). fxx()sin(3),，(,0),339
【总结升华】?先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再经过等值变形尽量转化为
yAxk,，，sin(),,一个角的一个三角函数式()，再判断其奇偶性.函数的奇偶性,,0与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。
yAx,，sin(),,?对于(,,0)来说，对称中心与零点(平衡位置)相联系，对
称轴与最值点(极值点)联系.
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性
,,1cossin,，xx(1); (2). yxx,，,，sin()3cos()y,331cossin，，xx
【解析】
xR,(1)定义域关于原点对称，
13,,,,,，,，,，,,yxxxx2[sin()cos()]2sin[()]2sin又 232333
? 函数为奇函数。
xk,，2,,kZ,(2)?从分母可以得出()，?定义域在数轴上关于原点不对称。
? 函数为非奇非偶函数
5,【变式2】设函数的图象的一条对称轴方程是( ) ,，yxsin(2)2
5,,,,A. B. C. D. xxx,,,,,,x2484
【答案】A
浙公网安备 33021202002483