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典型例题第4课时 等差数列和等比数列的综合应用
基础过关
1．等差数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N*，k为常数)是 数列．[来源:学#科#网]
⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a1> 0，d <0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值．
⑵ a1<0，d>0时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值．
3．等比数列的常用性质：[来源:Z§xx§k.Com]
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等比数列，则{a}、{}是 数列．
⑶ 若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：
① a＋b＋c＝6
② a、b、c成等差数列．[来源:Z§xx§k.Com]
③ 将a、b、c适当排列后成等比数列．
解：设存在这样的三位数a，b，c．
由a＋b＋c＝6，2b＝a＋c 得：b＝2，a＋c＝4
① 若b为等比中项，则ac＝4，∴ a＝c＝2与题设a≠c相矛盾．② 若a为等比中项，则a2＝2c，则a＝c＝2 (舍去)或a＝－4，c＝8．
③ 若c为等比中项，则c2＝2a，解得c＝a＝2(舍去)或c＝－4，a＝8．
∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．
变式训练1.若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．既成等差数列又成等比数列 D．以上
答案
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都不是
答案：B。解析：由，由，由
∴，即成等比数列。
例2. 已知公差大于0的等差数列{}满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，求数列{an}的通项公式an．
解：设{}的公差为d(d＞0)，由a2，a4，a8成等比数列可知，，也成等比数列，
∴()2＝·
∴(＋3d)2＝(＋d)(＋7d)
化简得d2＝，∴＝d
又a2a4＋a4a6＋a6a2＝1化简为
＋＋＝
∴3·＝·
∴·＝3，即(＋d)(＋5d)＝3
2d·6d＝3 ∴d＝，＝
∴＝＋(n－1)d＝
∴an＝
变式训练2.已知成等差数列，求证：也成等差数列。
解析：由成等差数列，则
∴
即成等差数列。
例3. 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．
解：由2B＝A＋C，且A＋B＋C＝180°，B＝60°，由a、b、c成等比数列，有b2＝ac
cosB＝＝＝[来源:学.科.网Z.X.X.K]
得(a－c)2＝0，∴ a＝c ∴△ABC为等边三角形．
变式训练3.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，则= （ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
答案： D.解析：依题意有
例4. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3……
求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；
⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
解析：(1)由a1＝1，an＋1＝Sn，n＝1，2，3，…得a2＝S1＝a1＝，a3＝S2＝(a1＋a2)＝，a4＝S3＝(a1＋a2＋a3)＝
由an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)，又a2＝，∴an＝·()n－2(n≥2)
∴ {an}通项公式为an＝
(2) 由(1)可知a2、a4、…a2n是首项为，公比为()2，项数为n的等比数列.
∴ a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝×
＝[()2n－1]
变式训练4.设数列的前项的和，
求首项与通项。
解析：（I），解得：
所以数列是公比为4的等比数列
所以：
得： （其中n为正整数）
归纳小结
归纳小结
1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am·an＝ap·ar）进行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．
4．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系
表
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示an时应该注意“n≥2”这个特点．
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