绝密★启用前
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本卷满
分为 160 分。考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡
一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字
笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您
本人是否相符。
4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,
在其它位置作答一律无效。
5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:
棱锥的体积
1
3
V Sh ,其中 S 为底面积, h 为高。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
填写
在答题卡相应位置上.........
1. 已知集合 {1 2 4}A ,, , {2 4 6}B ,, ,则 A B ▲ .
答案: 1 2 4 6, , ,
2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3 3 4: : ,现用分层抽
样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从
高二年级抽取 ▲ 名学生.
答案:15
3. 设 a bR, ,
11 7i
i
1 2i
a b
(i 为虚数单位),则a b 的值为 ▲ .
答案:8
4. 右图是一个算法
流程
快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计
图,则输出的 k 的值是 ▲ .
(第 4 题)
答案:5
5. 函数
6( ) 1 2logf x x 的定义域为 ▲ .
答案: 0 6,
6. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, 3 为公比的等比数列,
若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ .
答案:
3
5
7. 如图,在长方体
1 1 1 1ABCD A B C D 中, 3AB AD cm , 1 2AA cm ,则
四棱锥
1 1A BB D D 的体积为 ▲
3cm .
答案: 6
8. 在平面直角坐标系 xOy中,若双曲线
2 2
2
1
4
x y
m m
的离心率为 5 ,
则m 的值为 ▲ .
答案:2
9. 如图,在矩形 ABCD中, 2AB , 2BC ,点E 为BC 的中点,点
F 在边CD上,若 2AB AF ,则 AE BF 的值是 ▲ .
答案: 2
10. 设 ( )f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ 1 1] , 上,
0
1
1 1
( ) 2
0
1
x
x
ax
f x bx
x
≤
≤ ≤
, ,
, ,
其中 a bR, .若
1 3
2 2
f f
,则
3a b 的值为 ▲ .
答案: 10
11. 设 为锐角,若
4
cos
6 5
,则 sin 2
12
的值为 ▲ .
A B
C
E
F D
(第 9 题)
(第 7 题)
答案:
17 2
50
12. 在平面直角坐标系 xOy中,圆C 的方程为 2 2 8 15 0x y x ,若直线
2y kx 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆C 有
公共点,则 k 的最大值是 ▲ .
答案:
4
3
k
13. 已知函数 2( ) ( )f x x ax b a b R, 的值域为[0 ), ,若关于 x 的不
等式 ( )f x c 的解集为 ( 6)m m, ,则实数 c的值为 ▲ .
答案:9
14. 已知正数 a b c,, 满足: 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ≤ ≤ ≥, ,则
b
a
的取
值范围是 ▲ .
答案: 7e,
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域.......内作答,
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)
在 ABC 中,已知 3AB AC BA BC .
(1) 求证: tan 3tanB A ;
(2) 若
5
cos
5
C ,求 A 的值.
解:
(1)
∵ 3AB AC BA BC
∴ 3AB AC cos A BA BC cos B
∴ 3AC cos A BC cos B
由正弦定理得:
AC BC
sin B sin A
∴ 3sin B cos A sin A cos B
∴ 3tan B tan A
(2)
∵
5
5
cosC ,且0 C
∴
2 5
5
sinC
∴ 2tanC
∴ 2tan A B
又∵ 3tan B tan A
∴
2
3 4
2
1 1 1 3
tan A tan B tan A tan A tan A
tan Atan B tan A tan B tan A
∴ 1tan A 或
1
3
∵ 3tan B tan A
∴ A,B 必为锐角,否则 A,B 同时为钝角,这与三角形的内角和小于180
矛盾
∴ 0tan A
∴ 1tan A
∴
4
A
16. (本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱
1 1 1ABC A B C 中, 1 1 1 1A B A C , D E, 分别是棱
1BC CC, 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD DE F , 为 1 1B C 的中点.
求证:
(1) 平面 ADE 平面 1 1BCC B ;
(2) 直线
1 //A F 平面 ADE .
证明:
(1)
∵三棱柱
1 1 1ABC A B C 是直三棱柱
∴
1CC ABC平面
∵ AD ABC平面
∴
1CC AD
∵ AD DE ,且 1DE CC E
∴
1 1AD BCC B平面
∵ AD ABC平面
∴ 1 1ADE BCC B平面 平面
(2)
∵ 1 1AD BCC B平面 ,
1 1BC BCC B平面
∴ AD BC
∵直三棱柱
1 1 1ABC A B C 中, 1 1 1 1A B AC
∴ AB AC
∴ D 是 BC 的中点
∵ F 是 1 1B C 的中点
∴
1DF AA ,且 1DF AA
∴四边形
1AA FD是平行四边形
∴
1A F AD
∵
1 DF AA E平面 , 1 DF AA E平面
∴
1 //A F 平面 ADE
17. (本小题满分 14 分)
如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,
单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
2 21 (1 ) ( 0)
20
y kx k x k 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮
的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1) 求炮的最大射程;
(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千
米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说
明理由.
解:
(1)
∵炮位于坐标原点,炮弹发射后的轨迹方程为 2 2
1
(1 ) ( 0)
20
y kx k x k ,
炮的射程是指炮弹落地点的横坐标
∴令 0y ,则炮的射程可表示为
21 1
20
k
x
k
∴炮的最大射程即 x 的最大值
由题意得 0x , 0k
∴
2
20 20
10
1 1 2
1
20
k
x km
k k
k
,当且仅当 2k 时,等号成立
∴炮的最大射程是10km 。
(2)
∵飞行物在第一象限内,其飞行高度为 3.2 千米,横坐标为 a
∴飞行物的坐标为 3 2a, .
∴炮弹可以击中它,即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程
∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得:
2 213.2 (1 ) ( 0)
20
ka k a k
∴关于 k 的方程在 0k 上有解
∴ 2 2 220 64 0a k ak a 有正根
x(千米)
y(千米)
O
(第 17 题)
∵ 0a
∴只需 2 2 220 4 64 0a a a
∴ 6a
即 a只需要不超过 6km即可。
18. (本小题满分 16 分)
已知 a,b 是实数,1 和 1 是函数 3 2( )f x x ax bx 的两个极值点.
(1) 求 a 和 b 的值;
(2) 设函数 ( )g x 的导函数 ( ) ( ) 2g x f x ,求 ( )g x 的极值点;
(3) 设 ( ) ( ( ))h x f f x c ,其中 [ 2 2]c , ,求函数 ( )y h x 的零
点个数.
解:(1)
∵1 和 1 是函数 3 2( )f x x ax bx 的两个极值点
∴1 和 1 是方程 2'( ) 3 2 0f x x ax b 的两个根
由韦达定理得
2
1 1
3
a
, 1 1
3
b
∴ 0a , 3b
(2)∵函数 ( )g x 的导函数 ( ) ( ) 2g x f x
∴令 23 2( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 2 0g x f x x x x x x x x
解得
1 1x , 2 2x
①当
1x x 时, 0g' x ,当 1x x 时, 0g' x ,
∴
1 1x 不是 g x 的极值点
②当
2x x 时, 0g' x ,当 2x x 时, 0g' x ,
∴
1 2x 是 g x 的极大值点
(3)令 f x t ,则 h x f t c
讨论关于 x 的方程 2 2f x d ,d , 的根的情况
当 2d 时,由(2)得 2f x 的两个不同的根为1和 2 ,注意到 f x
是奇函数,所以 2f x 的两个不同的根为 1 和2 。
当 2d 时 , 因 为 1 2 2 0f d f d d ,
1 2 2 0f d f d d
所以 2 11 2, , , 都不是 f x d 的根,由(1)知 3 1 1f ' x x x
① 当 2x , 时, 0f ' x ,于是 f x 是单调递增函数,从而
2 2f x f ,此时 f x d 无实根,同理, f x d 在
2, 上无实根。
② 当 1 2x , 时, 0f ' x ,于是 f x 是单调递增函数,又
1 0f d , 2 0f d , y f x d 的图像不间断,所以
f x d 在 1 2, 内有唯一实根,同理, f x d 在 2 1, 内有唯
一实根。
③ 当 11x , 时 , 0f ' x , 故 f x 是 单 调 减 函 数 , 又
1 0f d , 1 0f d , y f x d 的图像不间断,所以
f x d 在 1 1, 内有唯一实根。
由上可知,当 2d 时, f x d 有两个不同的根 1x , 2x 满足 1 1x ,
2 2x ;
当 2d 时, f x d 有三个不同的根 3x , 4x , 5x 满足 2 3 4 5ix ,i , , ;
现考虑函数 y h x 的零点:
(1) 当 2c 时, f t c 有两个根 1 2t ,t 满足 1 1t , 2 2t ,而
1f x t 有三个不同的根, 2f x t 有两个不同的根,故
y h x 有 5 个零点;
(2) 当 2c 时 , f t c 有 三 个 不 同 的 根 3 4 5t ,t ,t 满 足
2 3 4 5it ,i , , ,而 3 4 5if x t i , , 有三个不同的根,故
y h x 有 9 个零点;
综上所述,当 2c 时,函数 y h x 有 5 个零点;当 2c 时,函数
y h x 有 9 个零点。
19. (本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
的左、右
焦点分别为
1( 0)F c , , 2 ( 0)F c, .已知 (1 )e, 和
3
2
e
, 都在椭圆上,
其中 e 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线
1AF 与直线 2BF
A
B P
O
1F 2F x
y
(第 19 题)
平行,
2AF 与 1BF 交于点 P.
(i) 若
1 2
6
2
AF BF ,求直线 1AF 的斜率;
(ii) 求证:
1 2PF PF 是定值.
解:(1)∵椭圆的方程为
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
, (1 )e, 和
3
2
e
, 都在椭
圆上
∴带入椭圆的方程得:
2
2 2
2
2
2 2
1
1
3
2
1
e
a b
e
a b
由
c
e
a
及 2 2 2a b c 解得:
2 2a , 2 1b , 2 1c
∴椭圆的方程为
2
2 1
2
x
y
(2)(i)设直线
1AF 的斜率为 k
∵直线
1AF 与直线 2BF 平行
∴直线
2BF 的斜率也为 k
∵左、右焦点的坐标分别为
1( 1 0)F , , 2 (1 0)F ,
∴直线
1AF 的方程为 1y k x ,直线 2BF 的方程为 1y k x
设 1 1A x , y , 2 2B x , y ,
∵A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点
∴
1 0y , 2 0y
由
2
2 1
2
1
x
y
y k x
得 2 2 22 1 2 2 0k y ky k , ∴
2
1 2
2 2
2 1
k k k
y
k
由
2
2 1
2
1
x
y
y k x
得 2 2 22 1 2 2 0k y ky k , ∴
2
2 2
2 2
2 1
k k k
y
k
∴
2 2 2 2
2 2 21
1 1 1 1 12 2 2 2
1 1 2 2
1 0
2 1
y k k k k k
AF x y y y
k k k k
同 理
2 2 2 2
2 2 22
2 2 2 2 22 2 2 2
1 1 2 2
1 0
2 1
y k k k k k
BF x y y y
k k k k
∵
1 2
6
2
AF BF
∴
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
1 2 2 1 2 2
2 1 2 1
1 2 2 2 2
2 1 2 1
1 2
2 1
6
2
k k k k k k k k
k k k k
k k k k k k k
k k k
k k
k k
解得: 2
1
2
k
∵
1 2
6
2
AF BF
∴
1 2AF BF
∴ 0k
∴
2
2
k
(ii)
∵直线
1AF 直线 2BF
∴ 2
1 1
BFPB
PF AF
∴ 1 2 1
1 1
PB PF BF AF
PF AF
∵
1 1PB PF BF
∴ 1
1 1
1 2
AF
PF BF
AF BF
∵ 1 2 2 2BF BF
∴ 11 2
1 2
2 2
AF
PF BF
AF BF
同理 22 1
1 2
2 2
BF
PF AF
AF BF
1 2PF PF
1 22 1
1 2 1 2
2 2 2 2
AF BF
BF AF
AF BF AF BF
1 2
1 2
2
2 2
AF BF
AF BF
由(i)得
2 22 2
1 2 2 2
1 1 21 2 2
2 1 2 1
k kk k k k
AF
k k k
,
2 22 2
2 2 2 2
1 1 21 2 2
2 1 2 1
k kk k k k
BF
k k k
∴
1 2AF BF
2 2 2 2
2 2
1 1 2 1 1 2
2 1 2 1
k k k k
k k
2
2 2
2
2
2 1 1
2 1
k k
k
2 2
2
2
1 2 1
2 1
k k
k
2
2
1
2 1
k
k
1 2AF BF
2 2 2 2
2 2
1 1 2 1 1 2
2 1 2 1
k k k k
k k
2
2
2 2 1
2 1
k
k
∴ 1 2
1 2
2AF BF
AF BF
2
2
2
2
1
2
2 1
2 2 1
2 1
k
k
k
k
1 2
22
∴ 1 2PF PF
1 2
1 2
2
2 2
AF BF
AF BF
2
2 2
2
3 2
2
∴ 1 2PF PF 是定值
20. (本小题满分 16 分)
已 知 各 项 均 为 正 数 的 两 个 数 列 { }na 和 { }nb 满 足 :
1
2 2
n n
n
n n
a b
a n
a b
N, .
(1) 设
1 1
n
n
n
b
b n
a
N, ,求证:数列
2
n
n
b
a
是等差数列;
(2) 设
1 2
n
n
n
b
b n
a
N, ,且 { }na 是等比数列,求 1a 和 1b 的值.
解:
(1)
∵
2
2
2 2 2 2
2
1
2 2
1
2
1
1
n n
n
n
*n n n n n
n n n nn
n n
n
a b
a b
b
b b a b b
n N
a
a b
a a a a
(2)
∵ 0na , 0nb
∴
2
22 2
2
n n
n n n n
a b
a b a b
∴
1
2 2
1 2n nn
n n
a b
a
a b
∵{ }na 是各项都为正数的等比数列
∴设其公比为q ,则 0q
①当 1q 时,
∵ 0na
∴数列 na 是单调递增的数列,必定存在一个自然数,使得 1 2na
②当0 1q 时
∵ 0na
∴数列 na 是单调递减的数列,必定存在一个自然数,使得 1 1na
由①②得: 1q
∴ 1 *na a n N
∵ 1
2 2
1 2n nn
n n
a b
a
a b
得: 11
2 2
1
n
n
a b
a
a b
,且 11 2a
∴
2 2
1 1 1
2
1
2
1
n
a a a
b
a
∵ *
1
1
2
2 nn n
n
b
b b n N
a a
,
∴数列 nb 是公比为
1
2
a
的等比数列
∵
11 2a
∴
1
2
1
a
① 当
1
2
1
a
时
数列 nb 是单调递增的数列,这与
2 2
1 1 1
2
1
2
1
n
a a a
b
a
矛盾
② 当
1
2
1
a
时
数列 nb 是常数数列,符合题意
∴ 1 2a
∴ 2nb
∴
1 2b