大学物理下作业合成

大学物理 B（二）第一次作业详解 王全制作 9-6 用细绝缘线弯成半径为R 的半圆形环，其上均匀地带正电荷Q，求圆心O点 处的电场强度． 解解解解：：：： re r q ε E � � 2 0 d π4 1d =∴ θsind π4 1d 2 0 y R q ε E = θcosd π4 1d 2 0 x R q ε E = 其中 xdE 在积分过程中抵消，所以 0x =E θθθ θ piθλθ d Rε Q R Rd R Q εR dl εR q ε E sin π4 sin π4 1 sin π4 1 sind π4 1d 2 0 22 0 2 0 2 0 y ==== 2 0 22 0 202 0 20 2 0 2yy π2 ))1(1( π4 )cos( π4 sin π4 Rε Q Rε Q Rε Qd Rε QdEE =−−=−=== = =∫∫ piθ θ pi θθθ 电场强度的方向：竖直向下。 9999----7777 两条无限长平行直导线相距为 l ，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ .(1) 求 两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x)；(2) 求每一根 导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力. 解解解解：：：： （1） r E λ piε 02 1 =∵ i x E P ˆ2 1 0 λ piελ = � i xr E P ˆ)(2 1 00 − = − λ piελ � i xrx i xr i x EEE PP ˆ) 11( 2 ˆ )(2 1 ˆ 2 1 00000 − += − +=+= − piε λλ piε λ piελλ ��� （2） EqF �� ∵ = x y O Ed � ydE xdE θ 大学物理 B（二）第一次作业详解 王全制作 i r lF ˆ 2 1 00 λ piε λλ −=− � 所以单位长度上 λ− 直导线所受到的电场力为 i rl F ˆ 2 00 2 piε λλ −= − � i r lF ˆ 2 1 00 λ piε λλ = � 所以单位长度上λ 直导线所受到的电场力为 i rl F ˆ 2 00 2 piε λλ = � 从中可以看出相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 9-10 （1）地球的半径为 m 61037.6 × ，地球 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面附近的电场强度近似为 mV /100 ，方向指 向地球中心．试计算地球所带的总电荷量；（2）在离地面 m1500 处，电场强度降为 mV /24 ， 方向仍指向地球中心．试计算这 m1500 厚的大气层里中的带电量及平均电荷密度． 解解解解：：：： (1) ∑∫ = =⋅= k iS i q ε SEΦ 10 e 1d �� ∫∑ ⋅= = S k i SEεq i �� d0 1 CREεq k i i 5122122 0 1 105.41037.614.341001085.84 ×−=××××××−=−= − = ∑ pi 面法线的方向是地球半径指向外的方向（黑线箭头），而电场强度的方向是地球半径指向地 球球心的方向（红线箭头），所以电通量为负值，因此地球带负电。 （2） ∑∫ = =⋅= k iS i q ε SEΦ 1 ' 0 e 1d �� ∫∑ ⋅= = S k i SEεq i �� d0 1 ' CrEεq k i i 5122122 0 1 ' 1008.1103715.614.34241085.84 ×−=××××××−=−= − = ∑ pi CqqQ k i i k i i 5 11 ' 1042.3 ×=−=∆ ∑∑ == 313 183183 5 33 /1053.4 )103715.61037.6(14.3 3 4 1042.3 )( 3 4 mC C rR Q V Q −×= ×−××× × = − ∆ = ∆ = pi ρ 大学物理 B（二）第一次作业详解 王全制作 9-13 一个内外半径分别为 1R 和 2R 的均匀带电球壳，总电荷为 1Q ，球壳外同心罩一个半 径为 3R 的均匀带电球面，球面带电荷为 2Q ．求电场分布？ 解解解解：：：： 作半径为 r 的高斯球面，根据高斯定理 ∑∫ = =⋅ k i i S q ε SE 10 1d �� 当 1Rr < 时， 0 1 =∑ = k i iq ，所以 0=E � 当 21 RrR << 时， 3 1 3 2 3 1 3 13 1 3 3 1 3 2 1 1 )()( 3 4 )( 3 4 RR RrQ Rr RR Qq k i i − − =− − =∑ = pi pi 所以 2 0 3 1 3 2 3 1 3 1 4)( )( rRR RrQ E piε− − = ,方向沿矢径方向。 当 32 RrR << 时， 1 1 Qq k i i =∑ = 所以 2 0 1 4 r QE piε = ,方向沿矢径方向。 当 3Rr > 时， 21 1 QQq k i i +=∑ = 所以 2 0 21 4 r QQE piε + = ,方向沿矢径方向。 9 －15 如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 ＝Q3 ＝Q.已知 其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外 力所作的功.(提示：先求Q1 、Q3在 y 轴上的电场强度，再求外力所作的功) 1R 2R 3R 大学物理 B（二）第一次作业详解 王全制作 解解解解：：：： 由于任一点电荷所受合力均为零，所以 0)2( π4 π4 20 2 2 0 2 =+ d Q d QQ εε 42 QQ −= Q1 、Q3在 y 轴上某点（0，h ）的电场强度为： 2 3 22 0 )( π2 hd Qh +ε (此过程就省略了) d Q hd Q hd hddQdh hd QhQW hh 0 2 0 2 1 22 0 2 2 3 22 22 0 0 2 2 3 22 0 0 π8)(π8)( )( π16)( π24 εεεε = + −= + + = + = ∞→ = ∞∞ ∫∫ 方法二：求 Q2在 O点的电势能 d Q d Q d QQE oPQ 0 2 00 8π ) 4π4π ( 42 εεε −=+−= （设无穷远为 0电势能点） =−= ∞ 22 PoQQP EEW d Q 0 2 8πε 9-16 点电荷 1q 、 2q 、 3q 、 4q 电荷量各为 C 9102 −× ，放置在一正方形四个顶点上，各点 距正方形中心 O 的距离均为 cm5 ．（1）计算 O 点的场强和电势；（2）将一试探电荷 Cq 80 10 − = 从无穷远移到O点，电场力作功多少？（3） 问（2）中 0q 的电势能改变为多 少？ 解解解解：：：： （1）如图所示，O点的电场强度为 1q 和 3q 相互抵消， 2q 和 4q 相互抵消，所以总的电场 强度为 0. 根据电势叠加原理，得 r q r qqqqV 00 4321 0 4 piεpiε = +++ = VV 312 9 0 1044.105.01085.814.3 102 ×= ××× × = − − （设无穷远为 0电势点） （2） JEEqEEW OPPO 538 0 1044.11044.110)()( −−∞∞ ×−=××−=−−=−−= （3） JWEEE PPOP 51044.1 ×=−=−=∆ ∞ 0 1q 2q 3q 4 q 大学物理 B（二）第一次作业详解 王全制作 9-18 半径为 mm1 的球形水滴具有电势 V30 ．求：（1）水滴上所带的电荷量；（2）如果两 个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值是多少（假设结合时电荷没有漏失）？ 解解解解：：：： （1）球形带电体表面的电势与电荷量之间的关系为： r QV 04piε = ，所以 CrVQ 119 3 0 103 1 109 301014 − − ×= × ×× == piε （2）两个相同水滴结合成一个较大水滴的半径R 为： 33 3 42 3 4 rR pipi ×= ，所以 rR 3 2= ，电量 'Q 为 QQ 2' = 根据 VV r Q R QV 6.47 2 2 24 2 4 3300 ' ' ==== piεpiε 9 －20 两个很长的共轴圆柱面(R1 ＝3.0×10 －2 m，R2 ＝0.10 m)，带有等量异号的电荷， 两者的电势差为 450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r ＝0.05 m 处的 电场强度. 解解解解：：：： （1）共轴圆柱面单位长度上带有的电荷设为λ ，根据电场强度的特点，作柱形高斯面，高 度为h ，底面半径为 r ，那么根据高斯定理 ∑∫ = =⋅ k i i S q ε SE 10 1d �� 0 ddd ε hSESESE λ=⋅+⋅+⋅ ∫∫∫ 侧面下底面上底面 ������ 0 200 ε h rhE λpi =++ 1R+ + + + - - - - + + + + - - - - + + + + - - - - + + + + - - - - + + + + - - - -2R 1R 2R rr ＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ − −− − − − − − ＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ＋＋＋＋ − −− − − − − − 大学物理 B（二）第一次作业详解 王全制作 rε E 02 pi λ = 1 2 00 12 ln22 2 1 2 1 R R ε dr rε ldEU R R R R pi λ pi λ ∫∫ ==⋅= �� C R R εU 8 9 1 2 012 1007.2 3 10ln1018 450 ln 2 −×= ×× == piλ （2） rε E 02 pi λ = CN R R r U rε E mr /7475 3 10ln05.0 450 ln2 1 2 12 0 05.0 = × === = pi λ 大学物理 B（二）第二次作业详解 王全制作 9－21 如图所示，球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为a ，外半径为b ，腔内距球心O 为 r 处有一点电荷q，求球心的电势． 解解解解：：：：根据静电平衡条件，在金属腔内测带电量为 q− ， 在金属腔外侧带电量为 qQ + ，由 r dqdV 04piε = 可得 内部电荷q 在球心处的电势为： r qV 04piε = 金属腔内测感应电荷 q− 在球心处的电势为： a qV 04piε − = 金属腔外侧感应电荷 qQ + 在球心处的电势为： b qQV 04piε + = ， 所以球心处总的电势为： b qQ a q r qV 000 444 piεpiεpiε + +−= 。 9-23 两条平行的输电线，其导线半径为 3.26mm，两线中心相距 0.50m ，输电线位于地 面上空很高处，因而大地影响可以忽略，求输电线单位长度的电容． 解解解解：：：：设两金属线的电荷线密度为λ ，，，， )(π2π2 00 xd λ x λEEE − +=+= −+ εε ∫ − = Rd R xEU d ∫ − − += Rd R x xdx d)11( π2 0ε λ R d R Rd ln π ln π 00 ε λ ε λ ≈ − = R d ε U C ln π 0 == λ pF52.5 1026.3 5.0ln 1085.814.3 3 12 = × ×× = − − 9-24 如图， FC µ101 = ， FC µ0.52 = ， FC µ0.53 = ． （1）求 A、 B 间电容；（2） A、 B 间加上 V100 的电压，求 2C 上的电压和电荷量；（3） 如果 1C 被击穿，问 3C 上电荷量和电压各是多少？ q Q Q− R2 d λ+ λ−E � λ+ λ−E � x xd −x xd − o x P o x P 大学物理 B（二）第二次作业详解 王全制作 解解解解：：：： （1）如图所示， 1C 和 2C 串联并于 3C 并联，所以总的电容为 F CCC CCCC µ75.3 5510 5)510()( 321 321 = ++ ×+ = ++ + = （2）设 2C 两端的电压为 2U ， 3C 两端的电压为 3U ，那么 332122 32 100 UCUCUC VUU =+ =+ VUVU 7525 32 == 所以 2C 上的电压为 V25 CUCQ 46222 1025.125105 −− ×=××== （3）如果 1C 被击穿，那么电路中仅有 3C ，则 3 ' 33 ' 3 100 QUC VU = = 所以 1C 被击穿后， 2C 上的电压为 V100 。 CUCQ 46'333 105100105 −− ×=××== 9-25 平板电容器极板间距离为 d ，保持极板上电荷不变，把相对电容率为 rε ，厚度为 )( d<δδ 的玻璃板插入极板间，求无玻璃板时和插入玻璃后极极板间电势差的比。 解解解解：：：： 插入电介质后电容器的电容为 d δ−d δ−d δ−d δ−d δ−d δ−d 无介质电容器 插入介质电容器 转化成相当于两个电容器 串联，其中一个电容器无 介质，另一个电容器有介 质 大学物理 B（二）第二次作业详解 王全制作 r r r r d S S d S S d S CC CCC εδδ εε δ εε δ ε δ εε δ ε )( 0 00 00 21 21 1 −+ = + − × − = + = 根据 CUQ = 那么 r rr r d d d S d S C C U U εδδ ε ε εδδ εε )( )( 0 0 1 1 −+ = −+ == 9 －26 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm2 ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两 极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时， 极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3） 求电容器内的 电场强度． 解解解解：：：： 二氧化钛相对电容率为 100 （1） F d SC r 103 412 0 1085.8 101.0 1011001085.8 − − −− ×= × ×××× == εε （2） mV d UE /102.1 101.0 12 5 3 ×=× == − 9-30 电容 FC µ41 = 的电容器在 V800 电势差下充电，然后切断电源，并将此电容器两极 板分别和原来不带电、电容为 FC µ62 = 的两级相连，求：（1）每个电容器极板所带电荷量； （2）连接前后的静电场能． 解解解解：：：： 根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1C 和 2C 是并联， 1C 电容器充电完成后，带电量不变，在并联后仅仅是电荷重新分 布而已，而各自的电容器两端的电压相等，所以 （1） CCUQ 36 102.3800104 −− ×=××== 3 2 2 1 2 1 == C C Q Q QQQ =+ 21 所以 CQ 31 1028.1 −×= CQ 32 1092.1 −×= 大学物理 B（二）第二次作业详解 王全制作 （2） J C QW e 28.1 1042 102.3 2 6 622 = ×× × == − − 前 J C Q C QW e 512.0 1062 1092.1 1042 1028.1 22 6 62 6 62 2 2 2 1 2 1 = ×× × + ×× × =+= − − − − 后 大学物理 B（二）第三次作业详解 王全制作 10101010----3333 如图所示，两根直导线互相平行地放置，导线内直流大小相等均为 10AI = ，方向相同，求图中 C、D 两点的磁感强度 BBBB 的大小和方向（图中 0 0.010mr = ）。 解： 根据磁安培环路定理，无限长直导线周围 的磁场大小为 r I B pi µ 2 0 = 所以左侧电流与右侧电流在 C 点处的磁感应强度 大小相等。 根据右手螺旋定则，左侧电流在 C 点处的磁感应强度方向竖直向上，而右侧电流 在 C 点处的磁感应强度方向竖直向下，因此合场强为 0. 40 0 =2 cos 2.0 10 T 42 2D IB r µ pi pi −× = × 方向如图所示，水平向左。 10101010----4444 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的 C、D 两点，并在很远处与电源相 连，已知圆环的粗细均匀，求环中心 O 的磁感应强度。 解： 由于电源很远，所以如图连接电源的竖直导线 在 o 点产生的磁感应强度为 0； 与圆环所连接的两直导线的延长线交于环中心，所以 在 o 点产生的磁感应强度为 0； 因此只有圆环在 O 点产生磁感应强度。 设两圆弧 中的电流分别为 I1和 I2、长度分别为 l1和 l2，各自在圆 心产生的磁场分别为 1 2, B B v v ，于是 I1和 I2在圆心产生 的总磁场为 0 1 0 21 2 1 2= 2 2 2 2 I Il lB B - B R R R R µ µ pi pi = ⋅ − ⋅ 由于 I1和 I2之电路呈并联，故 1 1 2 2I l I l= ，于是 B=0 10101010----5555 如图所示，无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的圆，当通以电流 I 时，求圆心 O 点的磁感强度。 0r 0r 0r C D 0r 0r 0r C D 左 B r 右 B r 合 B r + D C O I I 大学物理 B（二）第三次作业详解 王全制作 O R P I 解：无限长载流直导线部分在 O点所产生的磁感应强度方向垂直于纸面向外，而圆环载流导 线在 O点所产生的磁感应强度方向垂直于纸面向内，因此 0 0 O = 2 2 I IB R R µ µ pi − ，方向：垂直于纸面向内。 10101010----7777 在半径 1cmR = 的无限长半圆柱形金属片中，有电流 10AI = 自下而上通过，如图所 示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。 解：如图，对应于宽为dl 的窄条无限长直导线中的电流为： θ pi θ pipi dddd IR R Il R II === 它在 O点产生的磁感应强度 0 0dd d 2 2 I IB R R µ µ θ pi pi pi = = ⋅ sinxdB dB θ= − ， cosydB dB θ= 由对称性可知： ∫ = 0d yB 所以 O点产生的磁感应强度 0 0 2 20 d sin d 2x I IB B R R pi µ µθ θ pi pi = = − = −∫ ∫ 代入数据得： T41027.1 −×=B ，方向沿 x轴的负方向。 10101010----8888 已知磁感应强度 1.0TB = 的均匀磁场，方向沿 x 轴正方向，如图所示。试求（1） 通过图中abcd 面的磁通量；（2）通过图中befc 面的磁通量；（3）通过图中aefd 面的磁通 量。 解：根据 ∫ ⋅=Φ SdB rr ，可得 0.12 Wb 0 0.12 Wb abcd befc aefd Φ Φ Φ = - = = 10101010----9999 如图所示的空心柱形导体，柱的半径分别为a 和b ，导体内载有电流 I ，设电流 I 均匀分布在导体横截面上。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：导体内部各点（a r b< < ）的磁感应强度B 由下式给出： _ I O θ dθ x y 大学物理 B（二）第三次作业详解 王全制作 ( ) 2 2 0 2 22 I r aB rb a µ pi − = − ， 试以 0a = 的极限情形来检验这个公式。试问 r b≥ 时又如何？ 解: 以 r 为半径作一圆周（虚线），沿此圆周的安培环路定理为 )( 222200 arab IIldB − − =Σ=⋅∫ µµ rr )(2 22220 arab I rB − − = µpi ( ) 2 2 0 2 22 I r aB rb a µ pi − = − 0a = 时，根据安培环路定理 2 200 rb IIldB µµ =Σ=⋅∫ rr 2 202 rb I rB µpi = r b IB 20 2pi µ= 对 ( ) 2 2 0 2 22 I r aB rb a µ pi − = − ，当 0a = 时， r b IB 20 2pi µ= ，得证。 当 r b≥ 时，根据安培环路定理 IIldB 00 µµ =Σ=⋅∫ rr 所以 r I B pi µ 2 0 = 10101010----12 12 12 12 图中所示的一无限长直圆筒，沿圆周方向上的面电流密度(单位垂直长度上流过 的电流)为 i，求圆筒内部的磁感强度。 解: 取一矩形回路 CDEF，其中 CD 段在圆筒内且沿轴线方向， iCDIldB 00 µµ =Σ=⋅∫ rr iCDCDB 0µ= iB 0µ= 方向为轴线方向向右。 10101010----13131313 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径 80.52 10 cma −= × 的轨道上作匀 C D E F 大学物理 B（二）第三次作业详解 王全制作 速圆周运动，速率 8 12.2 10 cm sv −= × � ，求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩 的值。 解: 方法一： e a v eI pipi ω 22 == 则， 0 0 2 132 4 I evB T a a µ µ pi = = = 2 24 29.2 10 2 ev m IS a A m a pi pi − = = = × ⋅ 方法二： 因为 3 0 4 r rvqB rv v × = pi µ ，所以 2 0 4 a evB pi µ = ，下同方法一。 10101010----14141414 一根很长的铜导线载有电流5A，在导线内部作一平面 S ，如图所示。试计算 通过 S 平面的磁通量（沿导线长度方向取长为1m 的一段作计算）。铜的磁导率 0µ µ≈ 。 解: 在距离导线中心轴线为 x 处，作一个单位长窄条，如图，其面积为dS . ldxdS = （ 1l = ） 窄条处的磁感应强度为 2 200 xR IIldB µµ =Σ=⋅∫ rr 0 22 IxB R µ = ⋅ pi 所以通过 dS 的磁通为 0 2d d2 Ixd B S x R µφ = = pi 则通过平面 S 的磁通量为φ 0 0 20 d d 2 4 R IIx x R µ µφ = φ = = pi pi∫ ∫ 代人数据得： 75 10 Wb−Φ = × S dx 1m R 大学物理 B（二）第三次作业详解 王全制作 10101010----15 15 15 15 两平行长直导线相距 40cmd = ，每根导线载有电流 1 2 10AI I= = ，如图所示。 求： (1) 两导线所在平面内与该两导线等距的一点 A处的磁感应强度； (2) 通过图中斜线所示面积的磁通量。（ 1 3 10cmr r= = ， 25cml = ） 解： （1） 如图所示，两导线所在平面内与该两导线等距的 一点 A处磁感应强度的方向都垂直于纸面向外， 根据无限长直导线周围磁感应强度的大小公式 r I B pi µ 2 0 = ，可得 50 1 2 3 2 1 1[ ] 2 10 2 ( / 2) ( / 2) IB T r r r r µ pi − = + = × + + （2） 在矩形框中，任意一点的磁感应强度的大小为： )11( 2 0 xdx I B − += pi µ 方向：垂直于纸面向外。 从 I1开始与之垂直向 I2取 x 轴，在阴影 部分的 x 处取一面积元dS ， ldxdS = ，则 ∫∫ + − +=⋅=Φ 21 1 )11( 2 0rr r ldx xdx ISdB pi µvr ∫∫ + − +=⋅=Φ 21 1 )11( 2 0rr r ldx xdx ISdB pi µvr )ln(ln 2 ln 2 1 1 21 2100 21 1 rd r rrd rrIl xd xIl rr r − − −− + = − =Φ + pi µ pi µ Wb6103ln −×=Φ Wb6101.1 −×=Φ 1I 2I 1r 2r 3r l d A 1I 2I x dx xd − l d x y 10-17 如图所示线框，铜线横截面积 S = 2.0 mm2，其中 OA 和 DO＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为 a 的正方形的三边，它可绕 OO＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B v 中， B v 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg·m-3，当铜线中的电流 I =10 A 时，导线 处于平衡状态，AB 和 CD 段与竖直方向的夹角α =15°.求磁感强度B 的大小． 解解解解：：：： 重力矩 αραρ sinsin 2 121 gSaaagSaM +⋅= αρ sin2 2 gSa= 磁力矩 αα cos) 2 1 sin( 222 BIaBIaM =−pi= 平衡时 21 MM = 所以 2 22Sa g sin Ia B cosρ α α= 32 9 35 10B S g tg / I . Tρ α −= ≈ × 10-18 如图所示，在长直导线AB内通过电流 1 10AI = ，在矩形线圈CDEF中通有电 流 2 5AI = ，AB 与线圈共面，且CD，EF 部与AB平行，已知 9.0cma = ， 20.0cmb = ， 1.0cmd = 。求： (1) 导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2) 矩形线圈所受合力和合力矩。 解解解解：：：： （1） 40 1 2 2 2 102CD CD I I bF B I b N d µ pi − = = = × 方向垂直导线向左 50 1 2 2 2 102FE EF I I bF B I b N( d a ) µ pi − = = = × + 方向垂直导线向右 50 1 2 0 1 2 2 2 3 102 2 d a d a CF d d I I I I d aF BI dx dx ln . N x d µ µ pi pi + + − + = = = = ×∫ ∫ 方向垂直导线向上 同理 50 1 2 2 2 3 102 d a ED d I I d aF BI dx ln . N d µ pi + − + = = = ×∫ 方向垂直导线向下 （2） 41.8 10CD EFF F F N − = − = × 方向向左 M=0 10-27 螺绕环中心周长 l = 10 cm，环上均匀密绕线圈 N = 400 匝，线圈中通有电流 I = 0.1 A．管内充满相对磁导率µr = 4200 的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小． O B A D C O＇ α α B v 解解解解：：：： 1400NH nI I A m l − = = = ⋅ 0 2.12rB H H Tµ µ µ= = = 10-21 如图所示，一平面塑料圆盘，半径为 R ，表面带有面密度为σ 的剩余电荷，假 定圆盘绕其轴线AA '以角速度 ( )1rad sω −� 转动，磁场 B 的方向垂直于转轴AA '。试证磁场 作用于圆盘的力矩的大小为 4 4 R BM piσω= 。（提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑。） 解解解解：：：： 在圆盘面上取宽度为 dr 的细圆环，其可等效成一圆电流 dI 2 rdrdI T σ pi = ， 2T pi ω = 其磁矩为 2 3dm r dI r drpi piσω= = 圆盘受到的磁力矩为 4 3 0 4 R R BM Bdm Br dr piσωpiσω= = =∫ ∫ 10-22 一电子在 420 10 TB −= × 的磁场中沿半径为 2.0cmR = 的螺旋线运动，螺距 5.0cmh = ，如图所示。 (1) 求这电子的速度； (2) 磁场 B 的方向如何？ 解解解解：：：： （1）电子作螺旋运动的回旋半径为 em vR eB ⊥ = ，则 67.03 10 / e eRB v m s m ⊥ = = × 而 62.8 10 / 2 e h heB v m s T mpi = = = × � 于是电子速度大小为： 2 2 67.57 10 /v v v m s⊥= + = ×� (2)磁场方向为沿螺旋轴线方向。 10-28 螺绕环的导线内通有电流10A ，利用冲击电流计测得环内磁感应强度的大小是 0.5T ，已知环的平均周长是40cm ，绕有导线400 匝，试计算： (1) 磁场强度； (2) 磁化强度； (3) 相对磁导率。 解解解解：：：： 4 110NH nI I A m l − = = = ⋅ 5 1 0 3.88 10BM H A m µ − = − = × ⋅ 0 39.8 r B H µ µ = = 11-4 如图所示，把一半径为 R 的半圆形导线CD置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当 导线CD以匀速率v向右移动时，求导线中感应电动势ε 大小。哪一端电势较高？ 解解解解：：：： 此半圆形导线中的电动势大小等于直径 CD 中的电动势大小，即 2RBvε = D 段电势高。 11-5 如图所示，长直导线通以电流 10AI = ，在其右方放一长方形线圈，两者共面， 线圈长 0.06mb = ，宽 0.04ma = ，线圈以速度 10.03m sv −= � 垂直于直线平移远离。求： 0.05md = 时线圈中感应电动势的大小和方向。 解解解解：：：： 0 1 2 IB d µ pi = 0 1 1 2 Ivb vbB d µ ε pi = = 0 2 2 ( ) IB d a µ pi = + 0 2 2 2 ( ) Ivb vbB d a µ ε pi = = + 80 1 2 1 1( ) 3.2 10 2 Ivb V d d a µ ε ε ε pi − = − = − = × + 方向顺时针。 11-6 如图所示，载有电流的 I 长直导线附近，放一导体半圆环 MeN 与长直导线共面， 且端点 MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为 b，环心 O 与导线相距 a．设半圆环以 速度 v 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及 MN 两端的电压 UM − UN ．并指出 M 和 N 点哪点的电势高。 b M N e a I O v 解解解解：：：： 引入一条辅助线直径 MN，构成闭合回路MeNM ，闭合回路在运动过程中，磁通量不变， 闭合回路总电动势为零, 即 0=+= NMMeN εεε总 ，则半圆环内感应电动势 NNMMeN M- εεε == 导体直线段MN 中动生电动势为 ba baIvdx x I vldBv ba ba ba baMN − + −=−=•×= ∫∫ + − + − ln 22 )( 00 pi µ pi µ ε rrv  负号表示 MNε 的方向与 x 轴相反。 ba baIv MeN − + −= ln 2 0 pi µ ε ， 方向 N 指向 M。 0 ln 2M N MN I v a b U U a b + - = - = - µ ε pi ，M 点电势高。 11-8 导线 CD 长为 l ，绕过O点的垂直轴以匀角速ω 转动。 3 lCO = ，磁感应强度 B 平行于转轴，如图所示。试求： (1) CD 两端的电势差； (2) C、D 两端哪一点电势高？ 解解解解：：：： CD CO ODε ε ε= + 2 21 1( ) 2 3 18CO lB Blε ω ω= − = − 2 21 2 4( ) 2 3 18OD lB Blε ω ω= = 21 6CD CO OD Blε ε ε ω= + = D 点电势高。 11-10 如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面．且导线框的一个边与长直 导线平行，他到两长直导线的距离分别为 r1、r2．已知两导线中电流都为 tII ωsin0= ，其 中 I0 和ω为常量，t 为时间．导线框长为 a 宽为 b，求导线框中的感应电动势． I I O x r1 r2 a b 解解解解：：：： 两个载同向电流的长直导线在距 O 点 x 处所产生的磁场为 0 1 2 1 1( ) 2 IB x x r r µ = + pi − + 选顺时针方向为线框回路正方向，则 1 1 0 1 2 1 1( ) d 2π r b r IBdS a x x x r r µΦ + = = + − +∫ ∫ )ln( 2 2 2 1 10 r br r brIa + ⋅ + pi = µ ∴ t I rr brbra t d d]))((ln[ 2d d 21 210 ++ pi −=−= µ ε Φ t rr brbraI ω ωµ cos]))((ln[ 2 21 2100 ++ pi −= 11-12 如图所示，限定在半径为 R 圆柱体内的均匀磁场 B 以 210 T/s− 的恒定变化率减 少，电子在磁场中 C、O、D 各点处时，它所获得的瞬时加速度（大小和方向）各为多少？ 设 2.5cmr = 。 解解解解：：：： dt dldE L r Φ −=•∫ rr 以 r 为半径绕 O 作圆周为积分路径 L,若 r