椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究
河北乐亭一中
题目：在椭圆
求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。
引申1： 椭圆
的两个焦点是F1、F2，，点P为它上面一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___________。
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
： 受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。如图，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径画圆与椭圆交于A、B、C、D四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P位于A、B、C、D四点时，∠F1PF2为直角，当点P位于椭圆上弧AB或弧CD上时，∠F1PF2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P横坐标的取值范围是
。
引申2： 双曲线
的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_____________。
分析： 该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，以|F1F2|为直径作圆与双曲线的交点（即点P）的坐标，易求点P的纵坐标为
，故所求距离为
。
引申3： 已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2为直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）
A.
B. 3 C.
D.
分析： 该题是将原题中∠
为直角改为△
为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠
=90°时，只要找以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以|F1F2|为直径的圆的方程
与椭圆
无交点，故此种情况无解；当∠
=90°或∠
=90°时，易求点P到x轴的距离为
，故选D。
引申4： F1、F2是椭圆C：
的两焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________。
分析： 该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F1F2|为直径的圆与椭圆的交点个数，显然以|F1F2|为直径的圆方程为
，与椭圆C：
相切于椭圆短轴端点，故点P的个数为2个。
引申5： 设椭圆
的两个焦点是F1（－c，0），F2（c，0），c>0，且椭圆上存在点P，使得PF1与PF2垂直，求实数m的取值范围。
分析： 显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使PF1⊥PF2，只需以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长，即
，易得
。
下面将上述问题推广到一般：
结论1： 已知F1、F2是椭圆
（a>b>0）的两个焦点。
（1）若椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的范围是
；
（2）若椭圆上存在点P，使∠
为钝角，则椭圆的离心率的范围是
；
（3）若椭圆上存在点P，使∠
，则椭圆的离心率的范围是
。
证明：（1）若存在点P，使PF1⊥PF2，
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
明
，因而
－
，解得
。
（2）若存在点P，使∠
为钝角，表明c>b，因而
，解得
<1。
（3）在△
中，由余弦定理得
=（
＋
）2－
∴
∴
，
，解得
。
结论2： 椭圆
上对两焦点张角为θ（
）的点P的个数由θ与∠
=
（P0为椭圆短轴的一个端点）的大小确定，当
时，P点有0个；当
时，P点有2个；当
时，P点有4个。
分析： 若点P为椭圆
上的动点，则
cos∠F1PF2=
，∵
，∴当
，即点P在短轴上时，cos∠
有最小值，从而∠
有最大值，即当点P在短轴上时∠
取最大值，进而易知结论2成立。
浙公网安备 33021202002483