第一章 多项式理论
课题
§1.3 多项式的整除性
授课时间
授课时数
1学时
教学目的及要求
1. 使学生熟练掌握多项式的带余除法;
2. 使学生牢固掌握多项式整除的定义和基本性质;
教学重点
1. 多项式的带余除法定理;
2. 多项式整除的定义与基本性质.
难点
1. 多项式的带余除法定理;
2. 多项式整除的定义与基本性质.
教学
方法
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讲授法
教学的主要内容和过程
注记
通过上一节的学习, 我们已经知道集合
对多项式的加法, 减法和乘法是封闭的, 但是对乘法的逆运算—除法运算,
并不封闭. 这也是我们研究多项式的整除性的主要原因.
定理1.3.1 (带余除法定理) 设
是一个数域,
且
, 则存在唯一的
使得
教学的主要内容和过程
注记
(1)
其中
或
.
注1 定理1.3.1的证明过程给出了求
和
的具体的过程, 习惯上称
为商式,
为余式.
例1 设
,
, 求
除
所得的商式
和余式
.
定义1 设
,
, 如果存在
使
(2)
则称
整除
, 记作
. 如果这样的
不存在, 则称
不整除
, 记作
. 当
时, 称
是
的因式.
注2 如果
是
的因式且
, 则显然有
.
下面利用带余除法给出整除性的一个判别法:
定理1.3.2 若
, 则
(1)式中的
.
例2 试确定
使
能够整除
.
注3 根据整除的定义, 对任意多项式
, 如下事实成立:
(1)
(零多项式);
(2)
;
(3)
,
为非零常数.
下面我们为大家介绍关于整除的几个常用性质:
定理1.3.3
且
. (整除的传递性)
定理1.3.4
且
,
为非零常数.
定理1.3.5
且
.
定理1.3.6 如果
,
都成立, 则对于任意的多项式
我
们有
.
注4 需要指出的是: 根据商式和余式是唯一存在的这一事实可知, 多项式的整除关系不因数域的扩大而改变.
例3证明: 对任意多项式
和任意非零常数
恒有
.
例4 证明:
且
且
.
此处需强调!
作业
P20 第1题(2), 第2题
参考文献
1. 张禾瑞,郝丙新,《高等代数》（第四版）,高等教育出版社,1999年.
2.北京大学数学系,《高等代数》（第三版）,高等教育出版社,1999年.
3.北京大学几何与代数教研室代数小组,《高等代数》（第二版）,高等教育出版社,1988年.
4 张贤科，汗浦华，《高等代数》（第二版），清华大学出版社，2004年.
教 学后 记
讲授本节内容时应特别强调带余除法和整除概念的对比与区别.
浙公网安备 33021202002483