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《固体物理学》部分习题解答

《固体物理学》部分习题解答

ruanbingdu
2008-02-29 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《《固体物理学》部分习题解答doc》,可适用于人文社科领域

《固体物理学》部分习题解答《固体物理学》部分习题解答证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方。解由倒格子定义体心立方格子原胞基矢倒格子基矢EMBEDEquationDSMT同理可见由为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为体心立方格子证明倒格子原胞的体积为其中为正格子原胞体积证倒格子基矢倒格子体积证明:倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。证:容易证明与晶面系正交。如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面其面密度较大容易解理证简单正交系倒格子基矢倒格子矢量EMBEDEquationDSMT晶面族的面间距EMBEDEquationDSMT面指数越简单的晶面其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大这样的晶面越容易解理指出立方晶格()面与()面()面与()面的交线的晶向解()面与()面的交线的AB-AB平移A与O重合。B点位矢()与()面的交线的晶向晶向指数()面与()面的交线的AB将AB平移A与原点O重合B点位矢()面与()面的交线的晶向――晶向指数.证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取即遇正离子取正号遇负离子取负号)用r表示相邻离子间的距离于是有前边的因子是因为存在着两个相等距离的离子一个在参考离子左面一个在其右面故对一边求和后要乘马德隆常数为当X=时有若一晶体的相互作用能可以表示为求)平衡间距)结合能W(单个原子的))体弹性模量)若取计算值。解)晶体内能平衡条件)单个原子的结合能)体弹性模量晶体的体积A为常数N为原胞数目晶体内能体弹性模量由平衡条件体弹性模量()).用林纳德琼斯(LennardJones)势计算Ne在bcc(球心立方)和fcc(面心立方)结构中的结合能之比值.解.对于从气体的测量得到LennardJones势参数为计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能(以KJmol单位)每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为kJ/mo试与计算值比较.解以为基团组成fcc结构的晶体如略去动能分子间按LennardJones势相互作用则晶体的总相互作用能为:EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT因此计算得到的晶体的结合能为KJ/mol远大于实验观察值lKJ/mo.对于的晶体量子修正是很重要的我们计算中没有考虑零点能的量子修正这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因..已知一维单原子链其中第个格波在第个格点引起的位移为为任意个相位因子并已知在较高温度下每个格波的平均能量为具体计算每个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加即()由于数目非常大为数量级而且取正或取负几率相等因此上式得第项与第一项相比是一小量可以忽略不计。所以由于是时间的周期性函数其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为()已知较高温度下的每个格波的能量为kT的动能时间平均值为其中L是原子链的长度使质量密度为周期。所以()因此将此式代入()式有所以每个原子的平均位移为讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)其N个格波解当M=m时与一维单原子链结果一一对应解质量为M的原子位于nnn……。质量为m的原子位于nnn……。牛顿运动方程体系有N个原胞有N个独立的方程方程的解A,B有非零解两种不同的格波的色散关系对应一个q有两支格波:一支声学波和一支光学波总的格波数目为NM=m长波极限情况下与一维单原子晶格格波的色散关系一致.考虑一双原子链的晶格振动链上最近邻原子间力常数交错的等于c和c.令两种原子质量相同且最近邻间距为.求在和处的.大略地画出色散关系.本题模拟双原子分子晶体如。<解>aCc将代入上式有是Uv的线性齐次方程组存在非零解的条件为=解出当K=时当K=时与的关系如下图所示.这是一个双原子(例如)晶体计算一维单原子链的频率分布函数解设单原子链长度波矢取值每个波矢的宽度状态密度dq间隔内的状态数对应取值相同间隔内的状态数目一维单原子链色散关系令两边微分得到代入EMBEDEquationDSMT一维单原子链的频率分布函数.设三维晶格的光学振动在q=附近的长波极限有求证:频率分布函数为解依据并带入上边结果有所以.有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格在德拜近似下计算比热并论述在低温极限比热正比于。证明:在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积且则.写出量子谐振子系统的自由能证明在经典极限下自由能为证明:量子谐振子的自由能为经典极限意味着(温度较高)应用所以因此其中.设晶体中每个振子的零点振动能为使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的与温度无关故T=K时振动能就是各振动模零点能之和。和代入积分有由于一股晶体德拜温度为~可见零点振动能是相当大的其量值可与温升数百度所需热能相比拟..一维复式格子EMBEDEquationDSMT求()光学波声学波。()相应声子能量是多少电子伏。()在k时的平均声子数。()与相对应的电磁波波长在什么波段。解()()()().根据状态简并微扰结果求出与及相应的波函数及。说明它们都代表驻波并比较两个电子云分布(即)说明能隙的来源(假设=)。解令简并微扰波函数为取带入上式其中V(x)<,,从上式得到B=A,于是=取=由教材可知及均为驻波.在驻波状态下电子的平均速度为零.产生驻波因为电子波矢时电子波的波长恰好满足布拉格发射条件这时电子波发生全反射并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同所以对应不同代入能量。.写出一维近自由电子近似第n个能带(n=)中简约波数的级波函数。解:第一能带:第二能带:第三能带:.电子在周期场中的势能.其中a=b是常数.()试画出此势能曲线求其平均值()用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度.解:(I)题设势能曲线如下图所示.()势能的平均值:由图可见是个以为周期的周期函数所以题设故积分上限应为但由于在区间内故只需在区间内积分.这时于是。()势能在b,b区间是个偶函数可以展开成傅立叶级数EMBEDEquationDSMT利用积分公式得第二个禁带宽度代入上式再次利用积分公式有用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数解面心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数s原子态波函数具有球对称性任选取一个格点为原点最近邻格点有个个最邻近格点的位置EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT类似的表示共有项归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带对于体心立方格子――任选取一个格点为原点有个最邻近格点最近邻格点的位置类似的表示共有项归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带.有一一维单原子链间距为a总长度为Na。()用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。()求出其能态密度函数的表达式。()如果每个原子s态只有一个电子求等于T=K的费米能级及处的能态密度。解:(),(),()证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大倍.()对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少?()()的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响解()二维简单正方晶格的晶格常数为a倒格子晶格基矢第一布里渊区如图所示EMBEDEquationDSMT所以()如果二价金属具有简单立方品格结构布里渊区如图所示.根据自由电子理论自由电子的能量为FerM面应为球面.由()可知内切于点的内切球的体积于是在K空间中内切球内能容纳的电子数为其中二价金属每个原子可以提供个自由电子内切球内只能装下每原子个电子余下的个电子可填入其它状态中.如果布里渊区边界上存在大的能量间隙则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点).这样晶体将只有绝缘体性质.然而由(b)可知B点的能员比A点高很多从能量上看这种电子排列是不利的.事实上对于二价金属布里渊区边界上的能隙很小对于三维晶体可出现一区、二区能带重迭.这样处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态并形成横跨一、二区的球形Ferm面.因此一区中有空态存在而二区中有电子存在从而具有导电功能.实际上多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构能带出现重达所以可以导电.半金属交叠的能带其中为能带的带顶为能带的带底由于能带的交叠能带中的部分电子转移到能带中而在能带中形成空穴讨论T=K的费密能级解半金属的能带和能带能带的能态密度同理能带的能态密度如果不发生能带重合电子刚好填满一个能带由于能带交叠能带中的电子填充到能带中满足EMBEDEquationDSMT.设有二维正方晶格晶体势为用近自由电子近似的微扰论近似求出布里渊区顶角处的能隙.解:以表示位置矢量的单位矢量以表示倒易矢量的单位矢量则有晶体势能EMBEDEquationDSMT。这样基本方程求布里渊区角顶即处的能隙可利用双项平面波近似来处理。当时依次有而其他的所以在双项平面波近似下上式中只有EMBEDEquationDSMT因为)简单立方晶格的晶格常数为a倒格子基矢为第一布里渊区如图所示.设一维晶体的电子能带可以写成其中a为晶格常数计算)能带的宽度)电子在波矢k的状态时的速度)能带底部和能带顶部电子的有效质量解)能带的宽度的计算能带底部能带顶部能带宽度EMBEDEquationDSMT)电子在波矢k的状态时的速度电子的速度)能带底部和能带顶部电子的有效质量电子的有效质量EMBEDEquationDSMT能带底部有效质量能带顶部有效质量设电子等能面为椭球外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为)写出电子的准经典运动方程)证明电子绕磁场回转频率为。其中解恒定磁场中电子运动的基本方程电子的速度电子能量电子的速度磁感应强度电子运动方程应用关系电子运动方程令有非零解系数行列式为零无意义旋转频率其中在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成如果一个摩尔的金属钾有个电子求钾的费米温度解一摩尔的电子对热容的贡献与实验结果比较EMBEDEquationDSMT费米温度若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量)费密能量和费密温度)费米球半径)费米速度)费米球面的横截面积)在室温以及低温时电子的平均自由程解)费密能量费密温度)费密球半径)费密速度)费密球面的横截面积――是与z轴间夹角)在室温以及低温时电子的平均自由程电导率驰豫时间平均自由程EMBEDEquationDSMTK到室温之间的费密半径变化很小平均自由程将代入设N个电子组成简并电子气体积为V证明T=K时)每个电子的平均能量)自由电子气的压强满足解自由电子的能态密度T=K费米分布函数电子总数电子平均能量将电子气看作是理想气体压强.InSb电子有效质量介电常数晶格常数。试计算()施主的电离能()基态的轨道半径()施主均匀分布相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时掺有的施主杂质浓度应高于多少?解:()由于施主电离能是氢原子电离能的()()如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠则均匀分布于中施主杂质浓度就一定满足�EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT����EMBEDEquationDSMT���PAGE此答案由多种版本教学资料参考整理而成仅供参考。请勿抄袭!unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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