柱、锥、台体、圆的面积与体积公式

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式(一)圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积Sclrlrlc,,2,,,其中为底面半径为母线长为底面周长,圆柱侧2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1Sclrlrlc,,,,,其中为底面半径为母线长为底面周长,圆锥侧23、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积(二)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形侧面展开c''hh正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形侧面展开,c''hch正棱台的侧面积说明:这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式?即锥体的侧面积公式;c'c?,时即柱体的侧面积公式;(三)棱柱和圆柱的体积VShh,,其中S为柱体的底面积,为柱体的高柱体斜棱柱的体积,直截面的面积×侧棱长(四)棱锥和圆锥的体积1其中S为锥体的底面积,为锥体的高VShh,,锥体3(五)棱台和圆台的体积说明:这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式:?时即为锥体的体积公式;S,0上SS?,时即为柱体的体积公式。上下(六)球的表面积和体积公式(一)简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体;补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图:四、考点与典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 考点一几何体的侧面展开图1.5cm1cm4例有一根长为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圈，AD并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端、，则铁丝的最短长度为多少厘米,DCBA222AC解:展开后使其成一线段,ABBCcm，,，425,考点二求几何体的面积2.0.85m1.5m例 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶需要多少平方米铁板,(保留两位有效数字)SOE解:12,S,4，，1.5，1.13,3.40(m)2答:略。考点三求几何体的体积3.例求棱长为的正四面体的体积。2D1C1BA11补DCAB 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。1VV解:如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为，则:,正四面体正方体1114V1,,,。三棱锥4，，，1,323考点四求不规则几何体的体积1,,,例4.证明四面体的体积，其中a，b，c为自同一顶点S出发VabcCsinsinsin的三条棱SA、SB、SC的长，α，β为点S处的两个面角?BSC、?ASC，C为这两个面所6夹二面角的大小。证明:通过补形，可将此三棱锥补成一个三棱柱，如图。则该三棱柱的体积可以利用“直AAHDADHC截面面积×侧棱长”来进行求解，若设过点的直截面为，则由题意知:?,;ADSCADSAsinasin又?，故,×β,?β;BBESCEBEHDBCsinbsin.若过作?于，则,,×α,?α所以，1,,,SabCsinsinsin,ADH2从而有。考点五球的表面积和体积5.949400例在球心的同侧有相距为的两个平行截面，它们的面积分别为π和π，求球的表面积和体积。分析:画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径ROOO解:设球的半径为，为球心，、分别是截面圆的圆心，如图。12OA7OB20OAOBROOBOOA则,，,，,,，从而分别解三角形和三角形得到1221OOOOOOOO9R25和，由,,解得,，从而121262500,3球的表面积为2500π，球的体积为。考点六求点到平面的距离——等积法的应用6.ABCDA’B’C’D’aBAB’C例在正方体,中，已知棱长为，求到平面的距离。2解:设B到面AB’C的距离为h，因为AB’,B’C,CA,a，33222所以S,4(a),2a，ΔAB’C11131322因此?a?h,V,V,?a?a,a，32326,′′,BABCBABC33故h,3a，即B到面AB′C的距离为3a。附:拟柱体通用体积公式.拟柱体:所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体它在这两个平面内的面.叫做拟柱体的底面其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。32S0,S1,S,h,,,,120421122Vh(S4SS)(31),，，,，，,102，选A。66233EF,2例2.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为()91522A.B.5C.6D.27S,0,S,9,S,,h,21208115Vh(S4SS),，，,10262，选D。【模拟题】一、选择题1.2008MNOOPNP=MN=OMN(四川)设，是球心的半径上的两点，且，分别过，MOOP，作垂直于的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为:()A.356B.368C.579D.589::::::::2.2008(山东)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A.9B.10ππC.11D.12ππ,3.20081(湖北)用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为(),32,882,A.B.C.D.82,3334.2008ABCDABCD8AB2AD(湖南)长方体,的个顶点在同一球面上，且,，,，31111AA1AB,，则顶点、间的球面距离是()12,2,A.2B.C.D.2,2,24*5.2008V4(重庆)如图，体积为的大球内有个小球，每个小球的球面过大球球心且44.V与大球球面有且只有一个交点，个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的个顶点1V为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，2则下列关系中正确的是()VVA.VB.V,,1222C.V>VD.V<V12126.2008(海南改)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的93顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，那么这个球的体积为8()4152A.,B.C.D.,,,33337.2008(天津改)若一个球的体积为，则它的表面积为()43,,,A.B.C.12D.2443,83,二、填空题:38.2008(四川)已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，63________________则该正四棱柱的体积等于。9.2008OABCDDABCABCAB(浙江)如图，已知球的面上四点、、、，平面，，,,DAABBCO___________,,,，则球的体积等于。3三、解答题*10.2008(广东卷)如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中RBDABCDPABCD,是圆的直径，，，垂直底面，，PDABCDEF，，,ABD60，,BDC45PDR,22PEDF分别是上的点，且,，过点作的平行线交于(EBCPCGPBCD，EBFC1()求与平面所成角的正弦值;BDABP,2()证明:是直角三角形;?EFGPE13,()当时，求的面积。?EFGEB211.2008(辽宁卷),,,,1APBQb0<b<1PQEF如图，在棱长为的正方体中，,,()，截面ABCDABCD,,,PQGH?，截面?。ADADPQEFPQGH(?)证明:平面和平面互相垂直;PQEFPQGH(?)证明:截面和截面的面积之和是定值，并求出这个值;,,PQEFPQGH(?)若与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值。DEDE45,D,CGH,A,BPQDCFEAB**12.233455在六条棱分别为，，，，，的所有四面体中，最大的体积是多少,并证明你的结论。13.PABCAPBBPCCPA90ºPAPBPC设一直角四面体,(即?,?,?,)的三条棱、、L的长之和为，试求(并证明)其最大体积。【试题答案】DDBCDAB一、选择题二、填空题82、;9π9、2三、解答题101、【解】()在中，，RtBAD,？,,ABRADR,3，,ABD602222PDABCD而垂直于底面，PAPDADRRR,，,，,(22)(3)112222，PBPDBDRRR,，,，,(22)(2)23222在中，，即为以为直角的直角三角形。,PAB,PAB，PABPAABPB，,VV,设点到面的距离为，由有，即DHPABPABDDPAB,,PA,AB,H,AB,AD,PDH66AD,PD3R,22R266;,,,sinH,,,RPA11BD1111RPEGADFBCPEPGPGDFPEDFEG//BC,？,,,？GF//PD,,？,GFBCEBGCEBFCGCDC(2)，而，即，，是直角三角形;？,GFEG？,EFGPE1EGPE1GFCF2,,,,,PDCD3EB2BCPB3(3)时，，1122242即，EGBCRRGFPDRR,,，，:,,,，,2cos45,223333331124242S,EG,GF,，R，R,R,EFG？,EFG22339的面积11、解:,,,,(?)证明:在正方体中，，，又由已知可得，ADAD,ADAB,PFAD?PQAB?PHPQ,PQEF,，，所以，，所以平面。PHAD?PHPF,PH,PQEFPQGH所以平面和平面互相垂直。PQEFPQGH(?)证明:由(?)知，又截面和截面,PFAPPHPA,,22，PQ1PQEFPQGHR都是矩形，且,，所以截面和截面的面积之和是，是定值。,(22)2APPAPQ，，,IIIBCEQM()解:连结′交于点。,D,CHG,A,BQPMNDCFEABPQAB?,因为，，PHAD?,,,,PQGHPQGH所以平面和平面互相平行，因此与平面所成角与与平DEDEABCD,,面所成角相等(ABCD,,,EQPQGHEMEM与(?)同理可证?平面，可知?平面，因此与的比DEABCD值就是所求的正弦值(AD’PFNEN设交于点，连结，由知FDb,,1222(,,DEbNDb,,，,，,(1)2(1)，22,AD’PQEFPQEF因为?平面，又已知与平面成角，DE45，，2222(1)(1)2，,,,，bb所以，即，,,DEND,2,,22，，1b,EBC解得，可知为中点(2322,EMDEb,,，,(1)2所以,，又，24EM2D’EPQGH故与平面所成角的正弦值为(,,DE6122、【解】三角形两边之和大于第三边，按题设的数据，一边为的三角形，其余两边只33554534可能是:?，;?，;?，;?，。21从而，四面体中以为公共边的有两个面，其余两边只可能有下列三种情形:(?与23?;(?与?;(?与?(下面就这三种情形分别讨论(1.aCDACCDBC如图，由勾股定理，?，?，所以，四面体的体积1112V,CD,S,，4，2，，3,1,82/3,1ABC3322.bc如图、，这样的四面体有两个，它们的体积为1V,，4，S,V2,ABC133.de如图、图，这样的四面体也有两个，体积为115522V,，2，，5，3,(),11,V31322613、设一直角棱长为x，一直角棱长为y，则第三条直角棱长为L,x,y，则体积111x，y，L,x,y3V,，xy(L,x,y),，()，等号当且仅当x,y,L,x,y时成立，从32633LV,max而。162