三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；
商数关系：tanα=；
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;
（Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，
最小正周期：2. 奇偶性：奇函数
有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1，值域为[-1，1]。
对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。
最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数,
最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,
sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;
tan(αβ)=
两角和与差的变式：
三角和的正切公式：
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos, sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=
三倍角公式及变式：，
，
定理9 半角公式: sin=, cos=,
tan==
定理10 万能公式: , ,
定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，
则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，
其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 射影定理：在任意△ABC中有，，
定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。
定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长
则
定理17 与△ABC三个内角有关的公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]).
函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]).
函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理19 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}.
如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。
恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理20 若干有用的不等式：
（1）若，则sinx
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】 若，则-10，所以cos(sinx)>sin(cosx).
若，则因为sinx+cosx=sin(x+)≤<，所以0cos(-cosx)=sin(cosx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)0).
例6 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(x+)=sin(-x+)，
所以cossinx=0，对任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).
又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
7．三角公式的应用。
例7 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。
【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例8 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。
【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，
又由于
=
，
所以=0。解得或。
又>0，所以。
例9 求证：tan20+4cos70=
【解】 tan20+4cos70=+4sin20
例10 证明：
分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为、
的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.
证明：因为
从而有
评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令
，展开即可.
例11 已知
证明：
例12 证明：对任一自然数n及任意实数为任一整数），
有
思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.
证明：
同理 ……
评述：①本题裂项技巧也可通过
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
.
例13 设的内角所对的边成等比数列，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
[解] 设的公比为，则，而
．
因此，只需求的取值范围．
因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组
即解得
从而，因此所求的取值范围是．故选C
例14 △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，
则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+
同理
原式=选A.
例15 若对所有实数，均有，则（ ）.
、； 、； 、； 、．
解：记 ，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意．故选D
例16 已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是
A． B. 2 C. D. 4
解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则
。因此 选 A。
例17 已知，直线与
的交点在直线上，则 。
解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程，
的两个根，即为方程
的两个根。
因此，即0。
1、＝ 。
2、已知函数，则f(x)的最小值为_____。
3、已知，且。则的值是_ __.
4、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则=
5、设0<<π，求sin的最大值。
6、求证：
7、已知a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>.
8、已知
9、若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
10、证明：
11、已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：
12、求证：① ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=
全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1、解：根据题意
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
，，。于是有。因此
。因此答案为 1。
2、解：实际上，设，则g(x)≥0，g(x)在上是增函数，在上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g(x2)=g(x1)。于是
，而f(x)在上是减函数，所以，即f(x)在上的最小值是。
3、解：
4、解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x−c)=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x−c)=1，由此得。
一般地，由题设可得，，其中且，于是af(x)+bf(x−c)=1可化为，即
，
所以
。
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=−1。由(1)、(3)知，所以。
5、【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0.
所以sin（1+cos）=2sin·cos2=
≤=
当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。
6、思路分析：等式左边同时出现、，联想到公式.
证明：
评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证等.
7、【证明】 由题设知an>0，令an=tanan, an∈，
则an=
因为，an∈，所以an=，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。
又因为当0x，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
8、分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.
证法1：
证法2：
9、【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①
sinC+sin, ②
又因为
，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
10、证明：
所以，
评述：①类似地，有
②利用上述公式可快速证明下列各式：
11、【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosαsin(-β)=cosβ, 所以0<<1，
所以
若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以>1。
又01，
所以
，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°
②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°
=
又
即
所以
浙公网安备 33021202002483