圆的方程教案

圆的方程 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 60 知识点 圆的标准方程及其求法 圆的一般方程及其特点 圆的一般方程的求法 点与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与圆的一般方程． 2. 会根据条件求圆的标准方程和一般方程． 教学重点 圆的标准方程与圆的一般方程的理解；根据条件求圆的标准方程和一般方程 教学难点 根据条件求圆的标准方程和一般方程         教学过程 一、复习预习 1．初中圆的定义； 2．两点间的距离． 二、知识讲解 考点1  圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 考点2  圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝，故有： (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点； (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形． 要点诠释：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 考点3  P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系 (1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外； (2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上； (3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内． 三、例题精析 【例题1】 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上； (2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6. 【答案】(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0， 由解得 ∴圆心为C(7，－3)．又CB＝， 故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q点的坐标分别代入，得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④ 由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝ 0. 【解析】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解． 【例题2】 如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求： ( 1)的最大值与最小值； (2)x＋y的最大值与最小值． 【答案】(1)设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6所表示的圆C上的任意一点P(x，y)． 的几何意义就是直线OP的斜率， 设＝k，则直线OP的方程为y＝kx. 由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值． 因为点C到直线y＝kx的距离d＝，所以当＝， 即k＝3±2时，直线OP与圆相切． 所以的最大值与最小值分别是3＋2与3－2. (2)设 x＋y＝b，则y＝－x＋b，由图②知，当直线与圆C相切时，截距b取最值．而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝. 因为当＝，即b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆C相切，所以x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2. 【解析】与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1 )形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问 题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【例题3】 如图，在半径为1且圆心角为的圆弧 上有一点C. (1)若C为圆弧 的中点，D在线段OA上运动，求|＋|的最小值； (2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧 上运动时，求·的取值范围． 【答案】(1)以O为原点，为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系． 设D(t，0)(0≤t≤1)，C，所以＋＝. 所以|＋|2＝－t ＋t2＋＝t2－t＋1(0≤t≤1)， 当t＝时，最小值为，即|＋|的最小值为. (2)设＝(cos α，sin α)，则 ＝－＝－(cos α，sin α)＝. 又因为D，E，所以＝， 所以·＝＝sin＋. 因为≤α＋≤，所以·∈. 【解析】在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算． 【例题4】 在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)求圆C的方程； (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 【答案】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)， 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0. (2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0得x2＋Dx＋F＝0， 这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1. ∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3) 圆C必过定点，证明如下： 假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程， 并变形为 ．（*） 为使（*）式对所有满足 的 都成立，必须有 ，结合（*）式，得 ，解得 经检验知，点 均在圆C上，因此圆C过定点． 【解析】求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中可以借助圆的代数知识简化计算，如已知一个圆经过抛物线与坐标轴的交点时，可以运用根相同时方程的系数也一样来做，解题时要注意平面几何知识的应用；在一些问题中也可以借助圆的平面几何中的知识来简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 四、课堂运用 【基础】 1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】利用配方法，得2＋2＝－m＞0，解得m＜. 2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为_______． 【答案】0或2 【解析】由题意，得＝，解之，得a＝0或a＝2. 3．圆心为(1，1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是__________． 【答案】(x－1)2＋(y－1)2＝2 【解析】点(1，1)到直线x＋y＝4的距离 d＝＝，故半径为， 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 4．(2012江苏南京十二中高三联考)经过点P(2，－3)作圆x2＋2x＋y2＝24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为__________． 【答案】x－y－5＝0 【解析】点P在圆内，则过点P且被点P平分的弦所在的直线与圆心和点P的连线垂直．又圆心与点P的连线的斜率是－1，则所求直线的斜率为1，且过点P(2，－3)，则所求直线方程是x－y－5＝0. 【巩固】 1．(2012江苏镇江模拟)已知圆C与圆M：x2＋y2－2x＝0关于直线y＝x＋1对称，则圆C的方程为__________． 【答案】(x＋1)2＋(y－2)2＝1 【解析】圆x2＋y2－2x＝0的圆心为M(1，0)，半径为1，而点M关于直线y＝x＋1的对称点的坐标为C(－1，2)，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y －2)2＝1. 2．(2012江苏南京九中高三期末)已知点A(－2，0)，B(1，)是圆x2＋y2＝4上的定点，经过点B的直线与该圆交于另一点C，当△ABC面积最大时，直线BC的方程是______． 【答案】x＝1 【解析】AB的长度恒定，故△ABC面积最大只需要C到直线AB的距离最大即可．此时，C在AB的中垂线上，AB的中垂线方程为y－＝－，即y＝－x. 将其代入x2＋y2＝4得C(1，－)或(－1，)． 当C的坐标为(1，－)时，BC＝2； 当C的坐标为(－1，)时，BC＝2. 因为2＞2，所以直线BC的方程是x＝1. 3．(2012江苏南京三校联考)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝__________. 【答案】－ 【解析】因为直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，圆的半径为1，所以∠AOB＝120°，·＝||||cos∠AOB＝1×1×＝－. 4．根据下列条件求圆的方程： (1)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (3)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)． 【答案】(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意列出方程组解之，得 ∴  圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (2)过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r＝＝2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.[来源:Zxxk.Com] (3)由A(1，12)，B(7，10)，得A，B的中点坐标为(4，11)，kAB＝－， 则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0. 同 理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 联立得 即圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝10. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. 【拔高】 1. 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 【答案】 解法一：将x＝3－2y代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件： y1＋y2＝4，y1y2＝. ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝. 故＋＝0，解得m＝3， 此时Δ＞0，圆心坐标为，半径r＝. 解法二：如图所示，设弦PQ中点为M， 设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由解法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2， ∴x0＝＝－1，y0＝＝2，解得M的坐标为(－1，2)． 则以PQ为直径的圆可设为 (x＋1)2＋(y－2)2＝r2. ∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2. 在Rt△O1MQ中，O1Q2＝O1M2＋MQ2. ∴＝2＋(3－2)2＋5. ∴m＝3，∴半径为，圆心为. 课程小结 一个复习指导 本节复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，注意狠抓基础知识和通性通法的训练，并在此基础上灵活应用圆的知识解决其他问题．主要考查待定系数法求圆的方程． 三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 课后作业 【基础】 1．点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】当点P在圆的内部时，点P到圆心的距离小于该圆的半径， 即有(5a)2＋(12a)2＜1?a2＜?|a|＜?－＜a＜. 2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是__________． 【答案】6 【解析】所给圆的圆心坐标为(2，2)，半径为r＝3，圆心(2，2)到直线x＋y－14＝0的距离d＝＝5. ∴  所求的最大距离与最小距离的差为( d＋r)－(d－r)＝2r＝6. 3．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，过点A(－1，0)的弦中，弦长的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________. 【答案】10－2 【解析】点A在⊙C内，过点A的最大弦长为 直径10，∴  M＝10. ∵  弦长最小的弦与AC垂直(即以A为中点的弦)，∴  m＝2＝2. ∴  M－m＝10 －2. 4．(2012江苏扬州模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0 相切的圆的方程为__________． 【答案】x2＋y2＝2 【解析】设圆的方程为x2＋y2＝r2(r＞0)，则r＝＝，所以圆的方程为x2＋y2＝2. 5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4) ，B(0，－2)，则圆C的方程为__________． 【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝5 【解析】圆心在AB中垂线y＝－3上，又在2x－y－7＝0上， 所以C(2，－3)，CA＝，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5． 6．已知圆C经过直线2x－y＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过点(2，0)，则圆C的方程为________． 【答案】x2＋y2－x－y－2＝0 【解析】方法一：直线2x－y＋2＝0与坐标轴的交点为A(－1，0)，B(0，2)，圆又经过点(2，0)，可把圆C的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x2＋y2－x－y－2＝0. 方法二：可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点，先求出圆心，并求出半径，再求． 【巩固】 1．过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为__________． 【答案】(x－3)2＋y2＝2 【解析】∵由已知得圆C过A(4，1)，B(2，1)两点， ∴  直线AB的垂直平分线x＝3过圆心C. 又∵  圆C与直线y＝x－1相切于点B(2，1)，∴  kBC＝－1.