圆的方程
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
圆的标准方程及其求法
圆的一般方程及其特点
圆的一般方程的求法
点与圆的位置关系
教学目标
1. 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程.
2. 会根据条件求圆的标准方程和一般方程.
教学重点
圆的标准方程与圆的一般方程的理解;根据条件求圆的标准方程和一般方程
教学难点
根据条件求圆的标准方程和一般方程
教学过程
一、复习预习
1.初中圆的定义;
2.两点间的距离.
二、知识讲解
考点1 圆的标准方程
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
表
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示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.
(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2.
考点2 圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为2+2=,故有:
(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示以为圆心,以为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;
(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
要点诠释:确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.
考点3 P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系
(1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点P在圆外;
(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;
(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点P在圆内.
三、例题精析
【例题1】
根据下列条件,求圆的方程:
(1)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线3x+10y+9=0上;
(2)经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6.
【答案】(1)∵AB的中垂线方程为3x+2y-15=0,
由解得
∴圆心为C(7,-3).又CB=,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P,Q点的坐标分别代入,得
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6有D2-4F=36.④
由①、②、④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=
0.
【解析】求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
【例题2】
如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求:
(
1)的最大值与最小值; (2)x+y的最大值与最小值.
【答案】(1)设方程(x-3)2+(y-3)2=6所表示的圆C上的任意一点P(x,y).
的几何意义就是直线OP的斜率,
设=k,则直线OP的方程为y=kx.
由图①可知,当直线OP与圆相切时,斜率取最值.
因为点C到直线y=kx的距离d=,所以当=,
即k=3±2时,直线OP与圆相切.
所以的最大值与最小值分别是3+2与3-2.
(2)设
x+y=b,则y=-x+b,由图②知,当直线与圆C相切时,截距b取最值.而圆心C到直线y=-x+b的距离为d=.
因为当=,即b=6±2时,直线y=-x+b与圆C相切,所以x+y的最大值与最小值分别为6+2与6-2.
【解析】与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(1
)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问
题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【例题3】
如图,在半径为1且圆心角为的圆弧
上有一点C.
(1)若C为圆弧
的中点,D在线段OA上运动,求|+|的最小值;
(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧
上运动时,求·的取值范围.
【答案】(1)以O为原点,为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.
设D(t,0)(0≤t≤1),C,所以+=.
所以|+|2=-t
+t2+=t2-t+1(0≤t≤1),
当t=时,最小值为,即|+|的最小值为.
(2)设=(cos α,sin α),则
=-=-(cos α,sin α)=.
又因为D,E,所以=,
所以·==sin+.
因为≤α+≤,所以·∈.
【解析】在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.
【例题4】
在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.
【答案】(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点是(0,b),
令f(x)=x2+2x+b=0,由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0得x2+Dx+F=0,
这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.
令x=0,得y2+Ey+F=0,此方程有一个根为b,代入得出E=-b-1.
∴圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
(3) 圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点
,将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为
.(*)
为使(*)式对所有满足
的
都成立,必须有
,结合(*)式,得
,解得
经检验知,点
均在圆C上,因此圆C过定点.
【解析】求具备一定条件的圆的方程时,其关键是寻找确定圆的两个几何要素,即圆心和半径,待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中可以借助圆的代数知识简化计算,如已知一个圆经过抛物线与坐标轴的交点时,可以运用根相同时方程的系数也一样来做,解题时要注意平面几何知识的应用;在一些问题中也可以借助圆的平面几何中的知识来简化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用.
四、课堂运用
【基础】
1.方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆,则m的取值范围是__________.
【答案】
【解析】利用配方法,得2+2=-m>0,解得m<.
2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为_______.
【答案】0或2
【解析】由题意,得=,解之,得a=0或a=2.
3.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是__________.
【答案】(x-1)2+(y-1)2=2
【解析】点(1,1)到直线x+y=4的距离
d==,故半径为,
故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
4.(2012江苏南京十二中高三联考)经过点P(2,-3)作圆x2+2x+y2=24的弦AB,使得点P平分弦AB,则弦AB所在直线的方程为__________.
【答案】x-y-5=0
【解析】点P在圆内,则过点P且被点P平分的弦所在的直线与圆心和点P的连线垂直.又圆心与点P的连线的斜率是-1,则所求直线的斜率为1,且过点P(2,-3),则所求直线方程是x-y-5=0.
【巩固】
1.(2012江苏镇江模拟)已知圆C与圆M:x2+y2-2x=0关于直线y=x+1对称,则圆C的方程为__________.
【答案】(x+1)2+(y-2)2=1
【解析】圆x2+y2-2x=0的圆心为M(1,0),半径为1,而点M关于直线y=x+1的对称点的坐标为C(-1,2),所以圆C的方程为(x+1)2+(y
-2)2=1.
2.(2012江苏南京九中高三期末)已知点A(-2,0),B(1,)是圆x2+y2=4上的定点,经过点B的直线与该圆交于另一点C,当△ABC面积最大时,直线BC的方程是______.
【答案】x=1
【解析】AB的长度恒定,故△ABC面积最大只需要C到直线AB的距离最大即可.此时,C在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y-=-,即y=-x.
将其代入x2+y2=4得C(1,-)或(-1,).
当C的坐标为(1,-)时,BC=2;
当C的坐标为(-1,)时,BC=2.
因为2>2,所以直线BC的方程是x=1.
3.(2012江苏南京三校联考)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则·=__________.
【答案】-
【解析】因为直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,圆的半径为1,所以∠AOB=120°,·=||||cos∠AOB=1×1×=-.
4.根据下列条件求圆的方程:
(1)经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(3)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
【答案】(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意列出方程组解之,得
∴ 圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
(2)过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).
∴半径r==2,
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[来源:Zxxk.Com]
(3)由A(1,12),B(7,10),得A,B的中点坐标为(4,11),kAB=-,
则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同
理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.
联立得
即圆心坐标为(1,2),半径r==10.
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.
【拔高】
1. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
【答案】 解法一:将x=3-2y代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件: y1+y2=4,y1y2=.
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∵x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=.
故+=0,解得m=3,
此时Δ>0,圆心坐标为,半径r=.
解法二:如图所示,设弦PQ中点为M,
设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由解法一知,y1+y2=4,x1+x2=-2,
∴x0==-1,y0==2,解得M的坐标为(-1,2).
则以PQ为直径的圆可设为 (x+1)2+(y-2)2=r2.
∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2.
在Rt△O1MQ中,O1Q2=O1M2+MQ2.
∴=2+(3-2)2+5.
∴m=3,∴半径为,圆心为.
课程小结
一个复习指导
本节复习时,应熟练掌握圆的方程的各个要素,注意狠抓基础知识和通性通法的训练,并在此基础上灵活应用圆的知识解决其他问题.主要考查待定系数法求圆的方程.
三个性质
确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
课后作业
【基础】
1.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当点P在圆的内部时,点P到圆心的距离小于该圆的半径,
即有(5a)2+(12a)2<1?a2<?|a|<?-<a<.
2.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是__________.
【答案】6
【解析】所给圆的圆心坐标为(2,2),半径为r=3,圆心(2,2)到直线x+y-14=0的距离d==5.
∴ 所求的最大距离与最小距离的差为(
d+r)-(d-r)=2r=6.
3.已知⊙C:(x-2)2+(y+3)2=25,过点A(-1,0)的弦中,弦长的最大值为M,最小值为m,则M-m=__________.
【答案】10-2
【解析】点A在⊙C内,过点A的最大弦长为
直径10,∴ M=10.
∵ 弦长最小的弦与AC垂直(即以A为中点的弦),∴ m=2=2.
∴ M-m=10
-2.
4.(2012江苏扬州模拟)圆心在原点且与直线x+y-2=0
相切的圆的方程为__________.
【答案】x2+y2=2
【解析】设圆的方程为x2+y2=r2(r>0),则r==,所以圆的方程为x2+y2=2.
5.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)
,B(0,-2),则圆C的方程为__________.
【答案】(x-2)2+(y+3)2=5
【解析】圆心在AB中垂线y=-3上,又在2x-y-7=0上,
所以C(2,-3),CA=,故圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
6.已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点,又经过点(2,0),则圆C的方程为________.
【答案】x2+y2-x-y-2=0
【解析】方法一:直线2x-y+2=0与坐标轴的交点为A(-1,0),B(0,2),圆又经过点(2,0),可把圆C的方程设为一般形式,把点坐标代入求得x2+y2-x-y-2=0.
方法二:可以利用圆心在弦的垂直平分线上的特点,先求出圆心,并求出半径,再求.
【巩固】
1.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为__________.
【答案】(x-3)2+y2=2
【解析】∵由已知得圆C过A(4,1),B(2,1)两点,
∴ 直线AB的垂直平分线x=3过圆心C.
又∵ 圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴ kBC=-1.