九年级数学知识点总结

九年级数学知识点总结 1.等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其 中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。有一个角等于60º的的等腰三角形是等边三角形。如果 222知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：?勾股定理：a +b =c （注意区分斜边与直角边）；?在直角三角形 中，如有一个内角等于30º，，那么它所对的直角边等于斜边的一半；?在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一 半。 3.垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>，线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。 4.三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为2++=0（a、b、c为常数，a?0）的形式，这样的方程叫一元二次axbxc 2方程。把++=0（a、b、c为常数，a?0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为axbxc 2常数项。解一元二次方程的方法：?配方法<即将其变为(+)=0的形式>?公式法（注意在找abc 时须先把方程化为xm 一般形式）?分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 2222.根与系数的关系：当b-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当b-4ac<0 2时，方程无实数根。如果一元二次方程ax+bx+c=0的两根分别为x1、x2，则有：x1+x2=-b/a；x1?x2=c/a。 1.反比例函数的概念：一般地，y=k/x（k为常数，k?0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）。判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：?按照反比例函数的定义判断；?看两个 变量的乘积是否为定值<即xy=k>。（通常第二种方法更适用）；反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。反比 例函数性质：?当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；?当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；?双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。用 一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 1.正切：定义在Rt?ABC中，锐角?A的对边与邻边的比叫做?A的正切，记作tanA，即tanA=?A的对边/?A的邻边。?tanA是一个完整的符号，它表示?A的正切，记号里习惯省去角的符号“?”；?tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中?A的对边与邻边的比；?tanA不表示“tan”乘以“A”；?初中阶段，我们只学习直角三角形中，?A是锐角的正切；?tanA的值越大，梯子越陡，?A越大；?A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 2.正弦：定义：在?中，锐角?A的对边与斜边的比叫做?A的正弦，记作sinA，即sinA=?A的对边/斜边； RtABC 3.余弦：定义：在Rt?ABC中，锐角?A的邻边与斜边的比叫做?A的余弦，记作cosA，即cosA=?A的邻边/斜边； 4.余切：定义：在Rt?ABC中，锐角?A的邻边与对边的比叫做?A的余切，记作cotA，即cotA=?A的邻边/?A的对边； 5.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余 函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达： 若?A 为锐角，则?sinA = cos(90???A）等等。 6.记住特殊角的三角函数值表0?，30?，45?，60?，90?。 7.当角度在0?～90?间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随 着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0?sinα?1，0?cosα?1。同角的三角函数间的关系：tgα?ctgα=1，tg 22α=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sinα+cosα=1。 2228.在?ABC中，?C为直角，?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a+b=c；(2)两锐角的 1 关系：?A＋?B=90?；(3)边与角之间的关系：sinα等等。（4）面积公式。（5）直角三角形?ABC内接圆?O的半径为(a+b-c)/2，（6）直角三角形?ABC外接圆?O的半径为c/2。 21.二次函数的概念：形如y=ax+bx+c(a，，b，是常数，a?0)的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实 数。 2二次函数y＝ax的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。描述抛物线常从开口方向、对称 性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。?函数的定义域是全体实数； ?抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y 轴(或称直线x＝0)；?当a＞0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当 a＜0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。?函数的增减性：?当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。?最大值或最小值：当a＞0，且x＝0 时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0 时函数有最 22大值，最大值是0。二次函数y=ax+c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线。二次函数y=ax+bx+c的图象的对 称轴及顶点。开口方向和大小由a来决定。|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降） 2速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。二次函数=+yaxc图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的 高低。 22222.二次函数=++的图象与=的图象的关系：=++的图象可以由=的图象平移得到，其步骤如下：?yaxbxcyaxyaxbxcyax 222将=++配方成y=a(x-h)+k的形式；(其中h=-b/za)；?把抛物线=向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，yaxbxcyax222得到y=a(x-h)的图象；?再把抛物线y=a(x-h)向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，便得y=a(x-h)+k的图像。二次 函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。 223.二次函数y=ax+bx+c的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程y=ax+bx+c的两个实数根。 22抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：b?4ac>0<===>抛物线与x轴有2个交点；b? 224ac=0<===>抛物线与x轴有1个交点；b?4ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点（无交点）；当b?4ac>0时，设抛物线与x轴 的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离： 。 1.圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆 的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：?圆是一条封闭曲线，不是圆面；?圆由两个条件唯一 确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则?点在圆上<===>d=r；?点在圆内 <===>dd>r。证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。 3.与圆相关的概念：?弦和直径。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。?弧、半圆、 优弧、劣弧。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“?”表示，以CD为端点的弧记为“ ”，读作 “圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣 弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)?弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做 弓形。?同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。?等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的 两个圆是等圆。?等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。?圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。? 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：?过圆心；?垂 直于弦；?平分弦；?平分弦所对的优弧；?平分弦所对的劣弧。 5.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 6.1?的弧的概念：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1?的圆心角，相应的整个圆也被等分成360 份，每一份同样的弧叫1?弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角，叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1： 同弧或等弧所对的 圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90?的 圆周角所对的弦是直径； 7.确定圆的条件：?理解确定一个圆必须的具备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。经 2 过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。?经过三点作圆要分 两种情况：(1)经过同一直线上的三点不能作圆。(2)经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。定理：不在同 一直线上的三个点确定一个圆。 8.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念：(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形 三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫 做这个三角形的外心。(3)三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等。 9.直线和圆相交、相切相离的定义：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。 (2)相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 10.直线与圆的位置关系的数量特征：设?O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；?d直线L和?O相交。?d=r<===>直线L和?O相切。?d>r<===>直线L和?O相离。 11.切线的总判定定理：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于 过切点的半径。推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。分 析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可 推出第三个。?垂直于切线；?过切点；?过圆心。 12.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念。和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫 做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 13.三角形内心的性质：(1)三角形的内心到三边的距离相等。(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。由此 性质引出一条重要的辅助线： 连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。 14.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义。(1)外离： 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。(2)外切： 两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外， 每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 叫做这两个圆外切。这个惟一的公共点叫做切点。(3)相交： 两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。(4)内切： 两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另 一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个惟一的公共点叫做切点。(5)内含： 两个圆没有公共点， 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内的一个特例。两圆位置关系的性质与判定：(1)两圆外离<===>d>R+r；(2)两圆外切<===>d=R+r；(3)两圆相交<===>R-rd=R-r(R>r)；(5)两圆内含<===>dr)。 15.相切两圆的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 16.相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 17.圆周长公式：圆周长C=2 πR(R表示圆的半径)。弧长公式：2nπR/360(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)。扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。弓形定义：由弦及其所对的弧组成的 2图形叫做弓形。弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高。圆的面积公式。圆的面积S=πR(R表示圆的半径)。扇形的面积2公式：扇形的面积=πnR/360(R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数)。弓形的面积公式。 18.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆 锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这 个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。如果设圆锥底面半径为r，侧面母线长(扇形半径)是l，底面圆周长(扇形弧长)为c，那么它的侧面积是：S=cl/2=2πrl/3=πrl。总面积=侧面积+底面积 19.若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边 形的外接圆。圆内接四边形的特征： ?圆内接四边形的对角互补；?圆内接四边形任意一个外 角等于它的内错角。 20.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。推论：如果两个弦切角所夹 的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图7，CD 切?O 于C，则，?ACD=?B。 3 21．和圆有关的比例线段：?相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；?推论：如果弦 与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图8，AP•B=CP•D，如图9，若CD?AB 于P，AB 为?O 直径，则CP2=AP•B。 22．切割线定理：?切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项；?推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图10， ?PT 切?O 于T，PA 是割线，点A、B 是它与?O 的交点，则PT2=PA•B，?PA、PC 是?O 的两条割线，则PD•C=PB•A。 23．两圆连心线的性质：?如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。?如果两圆相交，那 么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图11，?O1与?O2交于A、B 两点，则连心线6．两圆的公切线两圆的两条外公切线 的长及两条内公切线的长相等。如图12，AB 分别切?O1与?O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2C?O1A 于C，公切线长为 l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r 则外公切线长： 如图13，AB 分别切?O1与?O2于A、B，O2C?AB，O2C ?O1C 于C，?O1半径为R，?O2半径为r，则内切线长： 4