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【doc】蒙特卡罗方法在三重积分中的应用.doc

【doc】蒙特卡罗方法在三重积分中的应用

陈友嘤
2017-10-23 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《【doc】蒙特卡罗方法在三重积分中的应用doc》,可适用于社会民生领域

【doc】蒙特卡罗方法在三重积分中的应用蒙特卡罗方法在三重积分中的应用第卷第期年月山东理工大学(自然科学版)JournalofShandongUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition)VoNoJan文章编号:()蒙特卡罗方法在三重积分中的应用孙维君,秦华(山东理工大学物理与光电信息技术学院,山东淄博)摘要:根据大数定律,通过方差分析,设计了理论意义下误差最小的有利随机数三重积分蒙特卡罗算法,用实际算例验证了该方法的优良性,并证明了蒙特卡罗方法积分结果的分布符合概率中心极限定理关键词:大数定律蒙特卡罗三重积分随机数中图分类号:O文献标识码:AApplicationoftripleintegralbasedonMonteCarlomethodSUNWeijun,QINHua(SchoolofPhysics,ShandongUniversityofTechnology,Zibo,China)Abstract:Accordingtothelawoflargenumbersandvarianceanalyses,akindofMonteCarloalgorithmforcomputingtripleintegralwasdesigned,andaproperrandomnumberwasusedtoreducetheoreticallyvariancetozeroTheactuacomputationcaseshowsthatthisalgorithmispriortothealgorithmusinguniformrandomnumbersandthedistributionofintegralvaluesobtainedbyMonteCarlomethodfollowsthecentrelimittheoremKeywords:lawoflargenumbersMonteCarlotripleintegralrandomnumbers蒙特卡罗方法是在数值计算多重积分时首选的方法,是利用随机数序列计算积分的方法】积分维数越高,该方法的积分效率就越高一般情况下,蒙特卡罗算法中用均匀随机数计算积分比较简单,但是精度不太理想蒙特卡罗方法的误差与被积函数的方差和模拟次数有关,增加模拟次数,计算精度可以得到改善,但是精度的提高非常缓慢,还要耗费大量的机时这对于多重积分中的蒙特卡罗计算,问题尤为严重为了更有效的减小误差,就应当选取最优的随机变量,使其方差最小对于减小方差的技巧论述较多的有分层抽样法,重要抽样法,控制变量法和对偶变量法等收稿日期:作者简介:孙维君(一),男,教授减小方差的技巧还在不断的增多本文通过对蒙特卡罗方法的误差分析,提出并论证了利用有利随机数可以使积分的精度达到最优给出了同一积分中用均匀随机数和最优随机数计算的算例,用MATLAB实现,并对算例用两种随机数计算的结果进行比较证明用有利随机数序列比用均匀随机数序列的计算结果误差更小蒙特卡罗计算三重积分一般方法三重积分的蒙特卡罗算法物理上的许多问题都会涉及三重定积分,这第期孙维君,等:蒙特卡罗方法在三重积分中的应用样的物理问题许多都需要作数值积分用均匀随机数计算三重积分可分为平均值法和掷点法两种,掷点法的精度较差,在这里我们只考虑三重积分的平均值法定理设f(x,Y,)是区域上的有界连续函于于『(drd)取包含积分区域的长方体V,V决定于nb,cYd,h,g)取任一概率密度函数g(,Y,),满足IIIg(,,z)dddz一JJn)(,Y,),i一,…,N是以g(,Y,)为概率密度的随机数列,设(,Y,),i一,…,为落在中的个随机数,当N充分大时,有gz,y,zdzdydz生()Ng(x,Y,z)…证明设(x,Y,z)是以g(,Y,)为概率密度的随机向量,(X,Y,Z),i:==,…,N为(X,y,Z)的一组样本,(,y,),i一,…,』,为其相应的值令c,,一{'厂'三::喜gz,y,zazddz一『gc,,ddd一『gc,,dddFZ!!兰一g(,Y,)依据大数定律,在依概率密度下,随机变量的统计平均值的极限是其概率平均(数学期望),即FZ苎!!兰一g(,Y,)fz,y,zdzdydzN耋gY()(,,)…证毕三重积分蒙特卡罗算法的误差中』极限定理e可以给出蒙特卡罗估计值的偏差如果公式()中左边积分的期望值为,公式右边用N次抽样的蒙特卡罗估计值为,标准误差为,则当N充分大时,对任意的(),有limprbf一Jl一()这说明蒙特卡岁佰计值与该分的翌值之差在范围l一l()内的概率为蒙特卡罗估计值的标准误差,用定理中的近似公式()计算时,为一D(f(x,y,z)dzddz一(娄)一(骞一(骞)一(麓)一jfff(I)gc,,ddd一等捌,(畿舞g(x,y,z)dxdydz)一等捌,(川(x,y,z)dxdydz)从上面的分析可以看出,蒙特卡罗方法的误差与D{厂}和N有关,为了减小误差,就应当选取最优的随机变量,使其方差最小对于同一个问题,往往会有多个可供选择的随机变量,这时就应当择优而用之蒙特卡罗计算重积分的均匀随机数平均值法)在定理中,如果(t,y,),i一,…,N为V卜均匀分布的随机数列则g(v)为一常数山东理工大学(自然科学版)由…g(z,Y,z)dxdydz一得到g(x,y,)一(b一口)(f)(g一^)代人公式()的右边得到IIIf(x,Y,)dxdydn厂(xi~Yi,Zi)()^rJ,,一)均匀随机数平均值法计算三重积分的方差根据公式(),均匀随机数平均值法计算三重积分的方差为(ba)(dc)(gh)dxdydz一(川厂(x,y,z)dxdydz)(其标准误差(均方差)只能达到~N,增加N,就增加了计算机的机时,提高了费用显然均匀随机数方法并不是最好的方法蒙特卡罗计算重积分的最优算法有利随机数法任意随机数都能用于积分计算,对于不同的我们自然随机数,蒙特卡罗方法的误差显然不同,想到如何选择随机数序列,即如何选择概率密度函数g(x,y,)在公式()中,取g(x,Y,)一f(x,Y,z)c,f一…f(x,Y,)dxdydz时,一J力,即方差最小,g(x,Y,)一f(x,Y,)c称为有利密度函数,以g(x,Y,)为概率密度的随机数称为有利随机数这样得到方差最小的蒙特卡罗积分的最优算法如下:定理设f(x,Y,)是区域上的有界连续函数,f(x,Y,)M,按如下步骤得到计算IIIf(x,y,)dxdyd值的最优的蒙特卡罗算法)取包含积分区域的长方体,决定于口Xb,CYd,hg)取有利概率密度函数g(x,Y,)=f(x,Y,)c,其中f一…f(x,Y,z)dxdydzJ力)(zf,Y,),i一,…,N是以g(z,y,)为概率密度的随机数列,设(z,y),i一,…,为落在中的个随机数,当N充分大时,有fz,y,zdzdydz耋g(xYN,,)…实际计算中,由于C是要计算的,不可能事先得到,所以只能现估算,因此实现零方差的抽样往往是不可能的算例』』』ln(z)dzdd:z,Y,解由于对ln(z)出出的解析解比较繁琐,所以我们先算出它的近似解,从而得到CIn(zy)ln()n(z一{c一c一{)一ln()z一手C『』』棚n肌ln()ny)dxdydz丢z丢{一出出一In(昔取有利随机数密度函数,ln(){z{丢一丢g(x,Y,)一二二二ln()一昔根据公式(),用MATLAB编程,即可得到积分ln(z)出出的近似值,程序如下:fork一:J一m一:whilej一TIr=rand(,)if(og()r()r()r())(og()一)=log()*r()x(j)一r()Y(j)一r()z(j)一r()jjI(k)一(m)*sum(og(xYz)((og()xyz)(og()一')))第期孙维君,等:蒙特卡罗方法在三重积分中的应用程序中取个有利随机数,做了次计算,统计计算结果从开始,每隔作为一个统计段统计落在此段的I值的数目,图示出了统计结果为了对比,也取个均匀分布随机数,做次计算,并对计算结果做同样的统计,结果如图中的星号线所示图显示,()不论用有利随机数序列还是用均匀随机数序列,蒙特卡罗法积分值的分布符合中心极限定理()用有利随机数序列比用均匀随机数序列的计算结果更能靠近其真值(约),即用有利随机数序列计算得到的结果误差更小参考文献:j张晓立,陈伯显点通量积分法在蒙特卡罗方法中的应用J核电子学与探测技术,,():j张华,练继建,刘嘉馄应用蒙特卡罗方法求解一类随机微分方程J天津大学,,():积分值图用有利随机数序列与用均匀随机数序列计算三重定积分各次计算结果的分布刘应状,朱耀庭,朱光喜,等准直激光束水下光斑的变化规律研究EJ中国激光,,A():马文淦计算物理学M北京:科学出版社王勇,田波平概率论与数理统计M北京:科学出版社,复旦大学概率论M北京:高等教育出版社,,,,,p,p,(上接第页)nsi…川一专z)H(n,no))q(s)(一加))一,H(n,no)P()q(s)(卜加))专由式()可得…lims川一)q())这与式()矛盾,同理可证,方程()也无最终负解定理证毕参考文献:严秀坤一类二阶非线性差分方程的振动性J工程数学学报,():O刘开宇,罗交晚一类非线性差分方程的振动性J数学杂志,,():SahinerYOnoscillationofsecondorderneutraltypedelaydifferentialequationsJAppMathComput,,():伽枷瑚姗瑚瑚渤瑚棚籁求

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