2013年河北省
高中
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数学竞赛试卷（高二年级组）
（时间：9月15日上午8：30~11：30）
一、填空题（将每小题的
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
填在题后的横线上内，本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
1．若任意
，则
，就称A是“和谐”集合，则在集合
的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个。
2．数列
满足条件：
，
，则
_______________。
3．O是△ABC所在平面上一点，满足
，则△OAB的面积与△ABC的面积的比值为__________。
4．有一个正四棱锥，它的底面边厂与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为_______。
5．不等式
对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________。
6．已知直线
和
，点A在直线l上，若直线AC与
至少有一个公共点C，且
，则点A的横坐标的取值范围是__________。
7．计算
____________。
8．已知函数
在区间
上恒有
，则实数a的取值范围是____________。
二、解答题（本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各14分，13、14小题各15分，共86分）
9．一条直线型街道的两端A、B的距离为180米，为方便群众，想在中间安排两个报亭C、D，顺序为A、C、D、B。
（1）若由甲乙两人各选择一个，在随机选择的情况下，求甲、乙至少一人选择报亭C的概率；
（2）求A与C，B与D之间的距离都不小于60米的概率。
10．在△ABC中，
、
、
所对的边长分别是a、b、c，满足：
。
（1）求
的大小；（2）求
的最大值。
11．已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，
，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面
面ABCD（如图2）
（1）证明：平面
；
（2）设点M为棱PB的中点，求二面角M-AC-P的余弦值；
（3）在M满足（2）的情况下，求点B到平面ACM的距离。
12．已知整数列
满足
，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列。
（1）求数列
的通项公式；
（2）求出所有的正整数m，使得
。
13．已知定点
，动点P满足
。
（1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当m=0时，求
的取值范围。
14．设函数
，且
，
。
求证：（1）
且
；
（2）函数
在区间
内至少有一个零点；
（3）设
是函数
的两个零点，则
。
浙公网安备 33021202002483