[高考]圆锥曲线难题专项训练

[高考]圆锥曲线难题专项训练 圆锥曲线难题专项训练 1、圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。 (1)试用的代数式分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示和; (2)若C的方程为(如图)，求证:是与和点位置无关的定值; (3)请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算(加、减、乘、除)，其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。 (说明:对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不 同层次的评分) 2、如图，在轴上方有一段曲线弧，其端点、在轴上(但不属于)，对上任一点及点， ，满足:(直线，分别交直线于，两点( (1)求曲线弧的方程; (2)求的最小值(用表示); (3)曲线上是否存点，使为正三角形,若存在，求的取值范围;若不存在，说明理由( 圆锥曲线难题专项训练 page 1 of 61 3、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且( (1)求动点P所在曲线C的方程; (2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立(若存在，求出的值;若不存在，请说明理由( 进一步思考问题:若上述问题中直线、点、曲线C:，则使等式成立的的值仍保持不变(请给出你的判断.(填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)( 4、如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。 (?)求，的方程; 圆锥曲线难题专项训练 page 2 of 61 (?)设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. (i)证明:MD?ME; (ii)记?MAB,?MDE的面积分别是,.问:是否存在直线l,使得 =? 请说明理由。 5、 (2)设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为 ，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明: ; (3) 6、已知圆:，点，，点在圆上运动，的垂直平分线交于点( 圆锥曲线难题专项训练 page 3 of 61 (?)求动点的轨迹的方程; (?)设分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若 ，为坐标原点，求直线的斜率; (?)过点，且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点,若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由( ※(重点题 多次出现)7、给定椭圆C:，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为; (1)、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程; (2)、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。 (3)、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证:。 8、如图所示，椭圆C:的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)( (1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于轴，直线:,4与轴交 于点N，直线AF与BN交于点M。 (?)求证:点M恒在椭圆C上; (?)求?AMN面积的最大值( 圆锥曲线难题专项训练 page 4 of 61 10、 (本小题满分14分)已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足(若点满足( (1)求点的轨迹的方程; (2)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、(为坐标原点)，试判断是否为定值,若是，求出这个定值;若不是，请说明理由( 12、(本小题满分15分) 如图，四边形为矩形，点的坐标分别为、，点在上，坐标为，椭圆分别以、为长、短半轴，是椭圆在矩形内部的椭圆弧(已知直线与椭圆弧相切，且与相交于点( (?)当时，求椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程; (?)圆在矩形内部，且与和线段EA都相切，若直线将矩形分成面积相等的两部分，求圆M面积的最大值( 13、已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦长为( 圆锥曲线难题专项训练 page 5 of 61 (?)求p的值; (?)若直角三角形的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点的横坐 标为1，过点分别作抛物线L的切线，两切线相交于点，直线与 轴交于点，当直线的斜率在上变化时，直线斜率是否存 在最大值，若存在，求其最大值和直线的方程;若不存在，请说明理由( 14、在矩形中，已知，，E、F为的两个三等分 点，和交于点，的外接圆为?(以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系( (1)求以F、E为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程; (2)求?的方程; (3)设点，过点P作直线与?交于M，N两点，若点M 恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围( 15、设椭圆:的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线:相切(过定点的直线与椭圆交于，两点(点在点，之间)( (?)求椭圆的方程; 圆锥曲线难题专项训练 page 6 of 61 (?)若实数满足，求的取值范围( 16、如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k 1)当直线PA平分线段MN时，求k的值; ( (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证:PA?PB 17、已知椭圆的离心率为，右焦点也是抛物线的焦点。 (1)求椭圆方程; (2)若直线与相交于、两点，?若,求直线的方程;?(选作)若动点满足 ，问动点的轨迹能否与椭圆存在公共点,若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由。 18、已知抛物线方程，点为其焦点，点在抛物线的内部，设点是抛物线上的任意一点，的最小值为4. (1)求抛物线的方程; (2)过点作直线与抛物线交于不同两点、，与轴交于点，且，试判断是否为定值,若是定值，求出该定值并证明;若不是定值，请说明理由. 圆锥曲线难题专项训练 page 7 of 61 19、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为. (1)求的取值范围，并求的最小值; (2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗,证明你 的结论. 20、某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(其中的一条为线段). 某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点的距离和为4(单位:百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位:百米). (?)以椭圆中心为原点建立如图的坐标系，求该椭圆的标准方程; (?)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值. 21、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为. (1)求的取值范围，并求的最小值; (2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗,证明你 的结论. 圆锥曲线难题专项训练 page 8 of 61 22、已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C. (1)求曲线C的方程; (2)过点D(0，,2)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足 (O为原点)，问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形,若存在，求出直线的方程;若不存在说明理由. 23、已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的 的最大距离为3. 点到点 (?) 求椭圆的标准方程; (?) 设过点的直线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率的取值范围. 24、已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为((1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率; (2)若的圆心在直线上，求椭圆的方程( 25、如图，在,已知A(-,0), B(,0), CDAB于D, 的垂心为H，且 (?)求点H的轨迹方程; (?)若过定点F(0，2)的直线交曲线于不同的两点(点在F,H之间)，且满足，求的取值范围. 圆锥曲线难题专项训练 page 9 of 61 26、设是椭圆上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于 两点. (1) 确定实数的取值范围，并求直线的方程; (2) 试判断是否存在这样的，使得四点在同一个圆上,并说明理由. 27、已知椭圆的离心率为，且经过点 (1)求椭圆C的方程; (2)已知A为椭圆C的左顶点，直线过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率 满足(定值)，求直线的斜率。 28、 设点M(x，y)到直线x,4的距离与它到定点(1，0)的距离之比为2，并记点M的轨迹曲线为C( (?)求曲线C的方程; (?)设过定点(0，2)的直线l与曲线C交于不同的两点E，F，且?EOF,90?(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的值; (?)设A(2，0)，B(0，)是曲线C的两个顶点，直线y,mx(m>0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(求四边形AEBF面积的最大值。 圆锥曲线难题专项训练 page 10 of 61 29、在直角坐标系xOy中，椭圆C:的左、右焦点分别为F、F(F也是抛物线C:11222的焦点，点M为C与C在第一象限的交点，且( 12 (?)求C的方程; 1 (?)平面上的点N满足，直线l?MN，且与C交于A、B两点，若?=0，求直线l的方程( 1 30、 如图，已知抛物线与圆相交于、、、 四个点。 (I)求得取值范围; (II)当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 31、设椭圆E: (a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点，O为坐标原点， (I)求椭圆E的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 32、在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于A、B两点. (?)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求?ANB 面积的最小值; (?)是否存在垂直于y轴的直线，使得被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值, 若存在，求出的方程;若不存在，说明理由. 圆锥曲线难题专项训练 page 11 of 61 (此题不要求在答题卡上画图) 33、已知F、F分别为双曲线(a,0，b,0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 ,8a，12 则双曲线的离心率的取值范围是 ( 圆锥曲线难题专项训练 page 12 of 61 参考答案 一、计算题 1、解( (1)因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以 则 „„„„„. 2分[来源:学科网] 令则„„„„„. 4分 同理可得:，„„„„„. 6分 (3)第一层次: ?点是圆C:上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交 轴于点和点，则。„„„„„. 16分 证明如下:由(1)知: 圆锥曲线难题专项训练 page 13 of 61 在圆C:上，， 则 是与和点位置无关的定值 ?点是双曲线C:上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线 分别交轴于点和点，则。„„„„„. 16分 是与和点位置无关的定值 第二层次: 点是抛物线C:上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。„„„„. 18分 证明如下:由(1)知: ， 在抛物线C:上， 圆锥曲线难题专项训练 page 14 of 61 则 是与和点位置无关的定值 2、解:(1)由椭圆的定义，曲线是以，为焦点的半椭圆， . „„„„„„„„„„„„„„„„„1分 ?的方程为. „„„„„„„„„„„„„„„„„3分 (注:不写区间“”扣1分) (2)解法1:由(1)知，曲线的方程为，设， 则有， 即 „„? „„„„„„„„„„„„4分 又，，从而直线的方程为 AP:; BP: „„„„„5分 令得，的纵坐标分别为 ; . ? „„? „„„„„„„„„„„„„„„7分 圆锥曲线难题专项训练 page 15 of 61 将?代入?， 得 . ? . 当且仅当，即时，取等号( 的最小值是. „„„„„„„„„„„„„„„„„9分 即 解法2:设，则由三点共线，得 ((? 同理，由三点共线得: „? „„„„„„„5分 由???得:. 由，代入上式，. 即 . „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ， 当且仅当，即时，取等号( 即的最小值是 . „„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 (3)设，依题设，直线?轴，若为正三角形，则必有 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 圆锥曲线难题专项训练 page 16 of 61 从而直线的斜率存在，分别设为、，由(2)的解法1知， ; ， „„„„„„„„„„„11分 于是有 ， 而，矛盾.„„„„„„„„„13分 ?不存在点,，使为正三角形( „„„„„„„„„„„„„„„„„14分 注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分. 3、解 (1) 设动点为， 1分 依据题意，有 ， 化简得( 3分 因此，动点P所在曲线C的方程是:( „„„„4分 (2) 点F在以MN为直径的圆的外部( 理由:由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线: ，如图所示( 5分 联立方程组，可化为， 圆锥曲线难题专项训练 page 17 of 61 则点的坐标满足( 7分 又、，可得点、( 点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断( 因，，则=(9分 于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部( 10分 (3)依据(2)可算出，， 则 ， ( 14分 圆锥曲线难题专项训练 page 18 of 61 所以，，即存在实数使得结论成立( 15分 对进一步思考问题的判断:正确( 18分 4、 圆锥曲线难题专项训练 page 19 of 61 5、【解析】 圆锥曲线难题专项训练 page 20 of 61 6、解: (?) 因为的垂直平分线交 于点(所以 圆锥曲线难题专项训练 page 21 of 61 所以动点的轨迹是以点为焦点的椭圆„„„„„2分 设椭圆的标准方程为 则，，则椭圆的标准方程为„„4分 ，则 ? (?) 设 因为 则 ? 由??解得„„„„„7分 所以直线的斜率„„„„„8分 (?)直线方程为，联立直线和椭圆的方程得: 得„„„„9分 由题意知:点在椭圆内部，所以直线与椭圆必交与两点， 圆锥曲线难题专项训练 page 22 of 61 设则 假设在轴上存在定点，满足题设，则 因为以为直径的圆恒过点, 则，即: (*) 因为 则(*)变为„„„„11分 由假设得对于任意的,恒成立， 即解得„„13分 因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为(„„„„„„14分 7、解:(1)因为，所以„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 圆锥曲线难题专项训练 page 23 of 61 所以椭圆的方程为，伴随圆的方程为.„„„„„„„„„„4分 (2)设直线的方程，由得 由得„„„„„„„„„„6分 圆心到直线的距离为 ，所以„„„„„„„„„„„„8分 (3)?、当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当方程为时，此时与伴随圆交于点 此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或，即为(或，显然直线垂直; 同理可证方程为时，直线垂直.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 ?、当都有斜率时，设点其中， 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 由，消去得到， 即，„„„„„„„„„„„„„„„12分 圆锥曲线难题专项训练 page 24 of 61 ， 经过化简得到:， 因为，所以有，„„„„„„„„„„„14分 设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点， 所以满足方程， 因而，即垂直.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16分 8、方法一:(1)解:由题设，从而， 所以椭圆C的方程为，,1. „„„„„„„„„„„„3分 (2)(i)证明:由题意得F(1,0)、N(4,0)( 设，则，.? AF与BN的方程分别为: . ，则有 设 由上得 由于 圆锥曲线难题专项训练 page 25 of 61 ,,1. 所以点M恒在椭圆C上(„„„„„„„„„„„„7分 (?)解:设AM的方程为，代入， 得ks5u 设、，则有，. ,,. 令，则 , 因为函数在为增函数， 所以当即时，函数有最小值4. 即时,有最大值3，此时AM过点F. „„„„„„„„„11分 ?AMN的面积S,?有最大值.„„„„„„„„„12分 ?AMN 9、解:(1)因为，所以 2分 圆锥曲线难题专项训练 page 26 of 61 所以椭圆的方程为， 准圆的方程为. 4分 (2)?当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 因为 当方程为时，此时与准圆交于点 此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或，即为(或，显然直线垂直; 同理可证方程为时，直线垂直. 7分 ?当都有斜率时，设点其中， 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 则，消去得到， 即， ， 经过化简得到:， 9分 因为，所以有， 设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点， 圆锥曲线难题专项训练 page 27 of 61 所以满足上述方程， 所以，即垂直. 13分 10、解:(1)椭圆右焦点的坐标为，„„„„„„1分 ， 由，得( „„„„„„„„„„3分 设点的坐标为，由，有， 代入，得( „„„„„„„„„„5分 (2)(法一)设直线的方程为，、， 则，( „„„„„„„„„„„„6分 由，得， 同理得(„„„„„„„„„„8分 ，，则( „„„9分 由，得，( „„„„„„„„11分 圆锥曲线难题专项训练 page 28 of 61 则( „„„„„„„„„„13分 因此，的值是定值，且定值为( „„„„„„„„„„„„„14分 (法二)?当时， 、，则， ( 得点的坐标为，则( 由 由 得点的坐标为，则( ( „„„„„„„„„„„„„„„7分 ?当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得 ( „„„„„„„„„„„„„10分 由，得，(„„„„„„„„11分 则( „„„„„„„„„„13分 因此，的值是定值，且定值为( „„„„„„„„„„„„„14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论 证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想( 11、解:(1)因为，所以 2分 所以椭圆的方程为， 准圆的方程为. 4分 圆锥曲线难题专项训练 page 29 of 61 (2)?当中有一条无斜率时，不妨设无斜率， 因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当方程为时，此时与准圆交于点 此时经过点(或且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或，即为(或，显然直线垂直; 同理可证方程为时，直线垂直. 7分 ?当都有斜率时，设点其中， 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为， 则，消去得到， 即， ， 经过化简得到:， 9分 因为，所以有， 设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点， 所以满足上述方程， 圆锥曲线难题专项训练 page 30 of 61 所以，即垂直. 13分 12、解:(1)解:设椭圆的方程为.k*s5*u 由 消去y得. „„„„„„„3分 由于直线l与椭圆相切，， 化简得， ? 当时，， 则椭圆的标准方程为. „„„„„„„„„6分 (2)由题意知，，， 于是的中点为. 因为将矩形分成面积相等的两部分，所以过点， 即，亦即. ? 由??解得，故直线的方程为 „„„„„„9分 ?. 因为圆与线段相切，所以可设其方程为. 圆锥曲线难题专项训练 page 31 of 61 因为圆在矩形及其内部，所以 ? 圆与相切，且圆在上方，所以，即. 代入?得即 所以圆面积最大时，，这时，圆面积的最大值为(„„„15分 13、 (?) 解:(1)?由解得„„„„„„2分 ?，? „„„„„„5分 (?) 解: B，设，， 设BC的斜率为k,则 ， 又，C A 圆锥曲线难题专项训练 page 32 of 61 ， 直线AC的方程为， 令 AD: 同理CD:，联立两方程得D 令递减，所以，当时，最大为8 所以，BC的方程为即„„„„„„„„„„„(15分) 14、?当时，由已知得 ，，， 因为是等差数列，所以，，成等差数列，所以， 即，所以，解得，或(„„„„„„„2分 当时，，对，成立，所以数列是等差数列; 圆锥曲线难题专项训练 page 33 of 61 当时，，对，成立，所以数列是等差数列; 所以数列的通项公式分别为或(„„„„„„„„„„„„„4分 ?因为是等比数列，所以，，成等比数列，所以， 即，化简得，所以或， 当时，，所以，不满足( 当时，若，则与矛盾，所以，因此(„„„„„8分 则，因为按某种顺序排列成等差数列， 所以有，或，或， 解之得或或(„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 又因为，所以，所以， 由，得，即， 因为是正整数，所以的取值集合为(„„„„„„„„„„„„„„16分 15、解析】(?)因为，所以为的中点.设的坐标为， 因为，所以，， 圆锥曲线难题专项训练 page 34 of 61 且过三点的圆的圆心为，半径为. 因为该圆与直线相切，所以. 解得，所以，. 故所求椭圆方程为. ??????????????????5分 (?)?当直线斜率存在时， 设直线方程为，代入椭圆方程 得. 由，得. 设，， 则，. ??????????????7分 又，所以. 所以. 所以，.????????????????8分 所以. 所以. 整理得. 因为，所以，即. 所以. 解得. 且 圆锥曲线难题专项训练 page 35 of 61 又，所以. ????????????????10分 斜率不存在时，直线的方程为， ?又当直线 此时，，，， ，所以. 所以，即所求的取值范围是.????????12分 16、解:(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直 线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点，所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 (3)解法一: 圆锥曲线难题专项训练 page 36 of 61 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二: 设. 设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以 从而 圆锥曲线难题专项训练 page 37 of 61 因此 17、解:(1)根据，即，据得，故， 所以所求的椭圆方程是。 (2)?当直线的斜率为时，检验知。设， 根据得得。 设直线，代入椭圆方程得， 故，得， 代入得，即， 解得，故直线的方程是。 ?问题等价于是不是在椭圆上存在点使得成立。 当直线是斜率为时，可以验证不存在这样的点， 故设直线方程为。(9分) 用?的设法，点点的坐标为， 若点在椭圆上，则， 圆锥曲线难题专项训练 page 38 of 61 即， 又点在椭圆上，故， 上式即，即， 由?知 ， 代入得，解得，即。 当时，，; 当时，，。 故上存在点使成立， 即动点的轨迹与椭圆存在公共点，公共点的坐标是。 18、解:(1)准线方程为，点到的距离设为， 由抛物线定义，„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 所以 圆锥曲线难题专项训练 page 39 of 61 所以„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 (2)设 由题意知直线的斜率存在且不等于0， 设则 由知 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 将代入得 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 为定值.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 19、解:(?)与圆相切, „„„„ 2分 由 , 得 , , 圆锥曲线难题专项训练 page 40 of 61 ,故的取值范围为.„„„„„„„4分 由于， 当时，取最小值.„„„„„„ 7分 (?)由已知可得的坐标分别为， ， ， 由 ， 为定值. „„„„13分 20、 圆锥曲线难题专项训练 page 41 of 61 解:(?) 设椭圆的方程为，,1(a>b>0)， 由已知，2a,4，a,c,1，a,2，c,1，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ?b,，故椭圆的标准方程，,1.„„3分 (?)?若该直角三角形斜边斜率存在且不为0， 设直角三角形斜边所在直线方程为y,kx，m，斜边与椭圆的交点A(x，y)，B(x，y)， 1122联立方程组 y=kx+m ，,1 22222得3x，4(kx，m),12，即(3，4k)x，8kmx，4m,12,0， 22222222则Δ,64km,4(3，4k)(4m,12),48(4k,m，3)>0，即4k,m，3>0. x+ x= - 8km 12 23，4k x x= ， „„„„6分 12 2222yy,(kx，m)(kx，m),kxx，km(x，x)，m,k,，m 12121212 ,， 要使?AOB为直角三角形，需使xx，yy,0， 1212 圆锥曲线难题专项训练 page 42 of 61 22即，,0，所以7m,12k,12,0， „„„„8分 2222即m,，故4k,m，3,4k，3,,>0， 所以|AB|,,, , ,, ,?. 2当仅当16k,，k,?时，等号成立. „„„„10分 ?若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为. 综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米). „„„„12分 21、 解:(1)与圆相切, „„„„„2分 由 , 得 , 圆锥曲线难题专项训练 page 43 of 61 , ,故的取值范围为.„„„„„„„5分 由于， 当时，取最小值.„„„„ 7分 (2)由已知可得的坐标分别为， ， „„„„„„„10分 ， 由 ， 为定值. „„„„14分 22、解:(1)设M(x，y)是曲线C上任一点，因为PM?x轴，，所 以点P的坐标为(x，3y) 圆锥曲线难题专项训练 page 44 of 61 点P在椭圆上，所以，因此曲线C的方程是 (2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件 所以设直线l的方程为y=kx,2与椭圆交于A(x，y)，B(x，y)，N点所在直线方程为1122 ， 由， 因为，所以四边形OANB为平行四边形， 假设存在矩形OANB，则 即， 所以， 设N(x，y)，由，得 00 ，即N点在直线， 所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为 23、 (?)由得， 圆锥曲线难题专项训练 page 45 of 61 由，解得. 2分 设椭圆的标准方程为，则解得， 从而椭圆的标准方程为. 6分 (?) 过的直线的方程为，，， 由，得，因点在椭圆内部必有， 有， 8分 2所以|FA|?|FB| ,(1 + k )|(x – 1)(x – 1 )| 11分 12 由， 得， 解得或， 所以直线的斜率的取值范围为. 14分 24、(本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以 及推理论证能力和运算求解能力) 解:(1)由椭圆的方程知， ?点，， 圆锥曲线难题专项训练 page 46 of 61 设的坐标为， „„„„„„1分 ?FC是的直径， ? ? ? --------------------2分 ?， --------------------------------------3分 解得 --------------------------------------5分 ?椭圆的离心率--------------------6分 (2)?过点F,B,C三点， ?圆心P既在FC的垂直平分线上， 也在BC的垂直平分线上， FC的垂直平分线方程为--------? -----------7分 ?BC的中点为， ?BC的垂直平分线方程为-----? 圆锥曲线难题专项训练 page 47 of 61 ---------9分 由??得， 即 -----11分 ?P在直线上， ? ? ? ------------------13分 由得 ?椭圆的方程为. -------------------14分 25、(1)设点H的坐标为(x,y)，C点坐标为(x, m), 则D(x.,0) „„„„„„„„„„2分 故点H的轨迹方程为„„„„„„„„„„„„„„„.6分 (2)当直线GH斜率存在时， 设直线GH方程为 圆锥曲线难题专项训练 page 48 of 61 得 设„„„„„„„„8分 ， „„„„„„„„10分 „„..12分 „„„„„„13分 又当直线GH斜率不存在，方程为 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„.14分 26、(1)解法一:设直线的方程为，代入 圆锥曲线难题专项训练 page 49 of 61 整理得 ? 设，，? 且 由是线段的中点，得，解得，代入?得 所以直线的方程为，即 (5分) 解法二:设，(点差)则有，因为是线段的中点， 又在椭圆内部，，即，所以直线的方程为，即 (2)解法一:因为垂直平分，所以直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得 设，的中点，且 ，即，由弦长公式得?，将直线的方程代入椭圆方程得?，同理可得 ? (9分) 因为当时，，所以 假设存在，使四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心。点到直线的距离?， 圆锥曲线难题专项训练 page 50 of 61 于是， 故当时，在以为圆心，为半径的圆上 (12分) 27、解:(1) 2分 又 解得 3分 椭圆C的方程是 „„„„„„„„„„4分 (2)若直线斜率不存在，显然不合题意 „„„„„„„„„„„„5分 设直线方程为 取立方程组得 „„„„„„„„„„„„„„7分 „„„„„„„„„„„„„„8分 又 圆锥曲线难题专项训练 page 51 of 61 „„„„„„„„„„„„„„11分 „„„„„„„„„„„„„„„12分 28、解:(?)设曲线上的任意一点 则有化简得: „„„„„„„„„„4分 (?)设直线的方程为,与椭圆的交点 或 ,„„„„„„„„„„„„„„6分 圆锥曲线难题专项训练 page 52 of 61 因为与椭圆交于不同的两点且=90得 , 解得:(满足或)„„„„„„„„„„„„„„8分 (?) 解方程组得; 即, „„„„„„„„„10分 圆锥曲线难题专项训练 page 53 of 61 因为所以(当且仅当时取等号) 即的最大面积为(当时取等号) „„„„„„„„„„12分 29、解:(?)由:知(设，在上，因为，所以，得 ,(M在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得 ，解得(不合题意，舍去)(故椭圆的方程为((6分) (?)由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点， 因为，所以与的斜率相同，故的斜率( 设的方程为(由消去并化简得( 设，，，(因为，所以( (所以( 此时， 圆锥曲线难题专项训练 page 54 of 61 故所求直线的方程为，或((14分) 二、综合题 30、分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去， ((((((((((((((,) 整理得 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:方程(,)有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以( (II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点( 设四个交点的坐标分别为、、、。 则由(I)根据韦达定理有， 则 令，则 下面求的最大值。 方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。 圆锥曲线难题专项训练 page 55 of 61 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。 方法二:利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点的坐标。设点的坐标为:以下略。 31、解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则?=,即 , 要使 ,需使,即,所以,所以又 ,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为 圆锥曲线难题专项训练 page 56 of 61 ,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ?当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取”=”. 圆锥曲线难题专项训练 page 57 of 61 ? 当时,. ? 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即: 主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题, 位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 32、本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力( 解法1:(?)依题意，点的坐标为，可设， 直线的方程为，与联立得消去得 ( 由韦达定理得，( 于是( ， 圆锥曲线难题专项训练 page 58 of 61 当，( (?)假设满足条件的直线存在，其方程为， 的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为， 设 则，点的坐标为( ， ， ， ( 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为， 即抛物线的通径所在的直线( 解法2:(?)前同解法1，再由弦长公式得 圆锥曲线难题专项训练 page 59 of 61 ， 又由点到直线的距离公式得( 从而， 当时，( (?)假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为 ， 将直线方程代入得， 则( 设直线与以为直径的圆的交点为， 则有( 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为， 即抛物线的通径所在的直线( 三、填空题 33、 (1,3] 圆锥曲线难题专项训练 page 60 of 61 四、选择题 34、B 35、C 36、D 37、B 38、D 39、B 40、C 圆锥曲线难题专项训练 page 61 of 61