梅氏定理,塞瓦定理[最新]

梅氏定理,塞瓦定理[最新]梅氏定理,塞瓦定理[最新] 梅氏定理梅涅劳斯(Menelaus)定理及其逆定理梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出:如果一条直线与?ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯(Menelaus)定理证明证明一: 过...

梅氏定理,塞瓦定理[最新] 梅氏定理梅涅劳斯(Menelaus)定理及其逆定理梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出:如果一条直线与?ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯(Menelaus)定理证明证明一: 过点A作AG?BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得: (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二: 过点C作CP?DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在?ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。证明三: 过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，所以AD:DB=AA':BB'，BE:EC=BB':CC'，CF:FA=CC':AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四: 连接BF。 (AD:DB)?(BE:EC)?(CF:FA) =(S?ADF:S?BDF)?(S?BEF:S?CEF)?(S?BCF:S?BAF) =(S?ADF:S?BDF)?(S?BDF:S?CDF)?(S?CDF:S?ADF) =1 塞瓦定理塞瓦(Giovanni Ceva，1648,1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。具体内容塞瓦定理在?ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 (?)本题可利用梅涅劳斯定理证明: ??ADC被直线BOE所截， ? (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ? 而由?ABD被直线COF所截，? (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1? ???:即得:(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 (?)也可以利用面积关系证明 ?BD/DC=S?ABD/S?ACD=S?BOD/S?COD=(S?ABD-S?BOD)/(S?ACD-S?COD)=S?AOB/S?AOC ? 同理 CE/EA=S?BOC/ S?AOB ? AF/FB=S?AOC/S?BOC ? ?×?×?得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点(重心):如图5 D , E分别为BC , AC 中点所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点

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