无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 第三节 无穷小量与无穷大量 教学目标:1.了解无穷小量和无穷大量的概念 2.理解无穷小量的性质 教学重点:无穷小量、无穷大量的概念 教学难点:无穷小量的性质 教学课时:2学时 教学方法:讲授法 教学过程: 1.3.1无穷小量 定义1.12:如果函数f(x)当x,x(或x,,)时的极限为零～ 那么0 称函数f(x)为当x,x(或x,,)时的无穷小, 0 特别地～ 以零为极限的数列{x}称为n,,时的无穷小, n 例如～ 11lim,0 因为～ 所以函数为当x,,时的无穷小, x,,xx 因为lim(x,1),0～ 所以函数为x,1当x,1时的无穷小, x,1 11lim,0 因为～ 所以数列{}为当n,,时的无穷小, n,,n，1n，1 讨论: 很小很小的数是否是无穷小,0是否为无穷小, 提示: 无穷小是这样的函数～ 在x,x(或x,,)的过程中～ 极限为0 零, 很小很小的数只要它不是零～ 作为常数函数在自变量的任何变化过程中～ 其极限就是这个常数本身～ 不会为零, 说明: x,,x,,,1.无穷小量对函数中对 x,，, ，,x,x xx, xx,都适用 000 2.无穷小量的定义对数列也适用 23 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 3.无穷小量是以0为极限的变量，不能把很小的常数看做无穷小量。(0是唯一可以作为无穷小量的常数) 4.无穷小量是对某一个变化过程而言的 5.无穷小是以绝对值而言的 无穷小与函数极限的关系: 定理1 在自变量的同一变化过程x,x(或x,,)中～ 函数f(x)0 具有极限A的充分必要条件是f(x),A，,～ 其中,是无穷小, 证明:设～ ,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, 时～ 有 limf(x),A0x,x0 |f(x),A|,, , 令,f(x),A～ 则是x,x时的无穷小～ 且 ,,0 f(x),A，, , 这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小,之和, 反之～ 设f(x),A，, ～ 其中A 是常数～ ,是x,x时的无穷小～ 于是 0 |f(x),A|,|,|, 因,是x,x时的无穷小～ ,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, ～ 有 00 |,|,, 或|f(x),A|,, 这就证明了A 是f(x) 当 x,x时的极限, 0 简要证明: 令,,f(x),A～ 则|f(x),A|,|,|, 如果,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, ～ 有f(x),A|,, ～ 就有|,|,, , 0 反之如果,, ,0 ～ ， , ,0～ 使当0,|x,x|,, ～ 有|,|,, ～ 就有f(x),A|,, 0 , 这就证明了如果A 是f(x) 当 x,x时的极限～ 则,是x,x时的00无穷小, 如果,是x,x时的无穷小～ 则A 是f(x) 当 x,x时的极限, 00 类似地可证明x,,时的情形, 24 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 1.3.2 无穷大量 1定义:1.13 如果在x的某一变化过程中，是无穷小量，y,fx()则在该变化过程中，为无穷大量，简称无穷大，记作: fx()lim()fx,, 如果在x的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大(函数)～ 就称函数 f(x)为当x,x(或x,,)时的无穷大, 记为 0 (或), limf(x),,limf(x),,x,xx,,0 应注意的问题: 当x,x(或x,,)时为无穷大的函数f(x)～ 按函0 数极限定义来说～ 极限是不存在的, 但为了便于叙述函数的这一性态～ 我们也说“函数的极限是无穷大”～ 并记作 (或), limf(x),,limf(x),,x,xx,,0 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述,很大很大的数是否是无穷大? 提示: ,,M,0～ ，,,,0～ 当0,|x,|,,,时～ 有limf(x),,x0x,x0 |f(x)|,M, 正无穷大与负无穷大: ～ , limf(x),，,limf(x),,, x,x x,x00(x,,)(x,,) 1lim,, 例2 证明, x,1x1, 1,, 证 因为,M,0～ ，～ 当0,|x,1|,, 时～ 有 M 1||,M ～ x,1 1lim,,所以, x,1x1, 111|x,1|,||,,M提示: 要使～ 只要, Mx,1|x,1| 25 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 铅直渐近线: 如果～ 则称直线是函数y,f(x)的图形的铅直渐近limf(x),,x,x0x,x0 线, 1 例如～ 直线x,1是函数的图形的铅直渐近线, y,x,1 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系) 在自变量的同一变化过程中～ 如果f(x)为无穷大～ 11则为无穷小, 反之～ 如果f(x)为无穷小～ 且f(x),0～ 则为无f(x)f(x)穷大, 简要证明: 1,, 如果～ 且f(x),0～ 那么对于～ ，,,,0～ 当limf(x),0x,xM0 0,|x,|,,,时～ x0 1|f(x)|,,,有～ 由于当0,|x,|,,,时～ f(x),0～ 从而 x0M 1 ～ ||,Mf(x) 1所以为x,x时的无穷大, 0f(x) 1M, 如果limf(x),,～ 那么对于～ ，,,,0～当0,|x,|,,,时～ x0x,x,0 11|f(x)|,M,有～ 即||,,～ 所以为x,x时的无穷小, ,f(x) 简要证明: 如果f(x),0(x,x)且f(x),0～ 则,, ,0～ ，,,,0～ 0 当0,|x, x|,,,时～ 有|f(x)|,, ～ 即～ 所以f(x),,(x,x), 00 如果f(x),,(x,x)～ 则,M,0～ ，,,,0～当0,|x, x|,,,时～ 00有|f(x)|,M～ 即～ 所以f(x),0(x,x), 0 1.3.3无穷小量的性质 26 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小， 性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小， 性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小， 性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 1例:求x limsinx,0x 1.3.4无穷小量的阶(阶:理解为无穷小量趋近于零的速度) 定义1.14:设是同一变化过程中的两个无穷小量 ,,, ,lim0, 如果，就说是比高阶的无穷小量，记作,,, ,,,0() ,lim,, 如果，就说是比低阶的无穷小量， ,,, ,lim0,,c 如果，就说是比同阶的无穷小量， ,,, ,lim0,0,,,ck 如果，就说是关于的k阶无穷小量， ,,k, ,lim1, 如果，就说是比等价无穷小量，记作 ,,,, , x,0补充:常见的等价无穷小量 当时 sin~xxarcxxsin~tan~xxarcxxtan~ 1112xn，xxex-1~(1cos)~,xx(1)~ linxx(1)~，2n 27 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 28 教 案 专业:14机电1 科目:《高等数学》 第 八 周第7-8 学时教案 授课教师:贾其鑫 29