数学思维训练教材四年级上册

数学思维训练教材四年级上册 目 录 第1讲 平均数问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1 第2讲 速算与巧算„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 第3讲 找规律„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5 第4讲 变化规律„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 7 第5讲 算式谜(一)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 9 第6讲 算式谜(二)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 第7讲 应用题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15 第8讲 逻辑推理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„17 第9讲 数数图形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„21 第10讲 容斥原理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„24 第11讲 简单的统筹规划问题„„„„„„„„„„„„„„„„27 第12讲 图形问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„31 第13讲 错中求解„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„34 第14讲 数学开放题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„36 第15讲 数数与计数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„40 终结性测试题一 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 44 终结性测试题二 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 46 第1讲 平均数问题 专题简析: 我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。 平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。 求平均数问题的基本数量关系是: 总数量?总份数=平均数 解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。 例1:二(1)班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵;第二组有6人，共植树66棵;第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵, 分析与解答: 因为二(1)班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为:80+66+54=200棵，总人数为:8+6+6=20人，所以平均每人植树200?20=10棵。 随堂练习: 电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台, 例2:王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。 分析与解答:这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和?份数=平均数”。 (153×2，152，149×2，147×2)?(2，1，2，2)=150厘米 或:150，(3×2，2,1×2,3×2)?(2，1，2，2)=150厘米 随堂练习: 五(1)班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少, 例3:从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。 分析与解答:求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72?6=12千米。 随堂练习: 小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度。 1 例4:李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他, 分析与解答:先求出五项的总得分:85×5=425分，再算出四项的总分:83×4=332分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩:425,332=93分。 随堂练习: 小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分, 例5:如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁, 分析与解答:因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23×4=92岁;又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是92,18×3=38岁。 随堂练习: 如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁, 拓展训练 1、小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小明这五次考试的平均分数是多少。 2、二(1)班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵;第二组有6人，平均每人植树11棵;第三组有6人，平均每人植树9棵。二(1)班平均每人植树多少棵, 3、气象小组每天早上8点测得的一周气温如下:13?、13?、13?、14?、15?、14?、16?。求一周的平均气温。 4、敬老院有8个老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄。 5、李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶;下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。 6、小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米, 7、小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分;数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分, 8、某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。这个班有多少人, 9、如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁, 10、如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁, 2 第2讲 速算与巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 例 1 计算:? 300-73-27 ? 1000-90-80-20-10 解:?式= 300-(73， 27) ,300-100=200 ?式=1000-(90，80，20，10) ,1000-200,800 随堂练习: 计算:500-124-56 210-48-52 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例2 计算:? 4723-(723，189) ? 2356-159-256 解:?式=4723-723-189 ,4000-189=3811 ?式=2356-256-159 ,2100-159 =1941 随堂练习: 计算:368-124-168 721-59-221 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千„的数先变整，再运算(注意把多加的数 再减去，把多减的数再加上)。 例 3 计算:?506-397 ?467，997 解:?式=500，6-400+3(把多减的 3再加上) =109 ?式=467，1000-3(把多加的3再减去) ,1464 随堂练习: 计算:323-189 543，198 拓展训练 1、用简便方法求差。 ? 1870-280-520 ? 4995-(995-480) ? 4250-294，94 ? 1272-995 2、用简便方法计算。 ? 890-198 ? 365-296 ? 284，97 ? 342，198 6、计算1032+1028+1033+1029+1031+1030 3 7、计算19998+39996+49995+69996 8、计算1208,569,208 9、计算283+69,183 10、计算2318+625,1318+375 4 第3讲 找规律 专题简析: 对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考: 1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变 的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法 再分析; 2、对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特 殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 3、对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 例1:根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。 12 18 6 8 15 7 4 8 分析与解答: 经仔细观察、分析表格中的数可以发现:12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等 于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为:4+8=12。 随堂练习:找规律，在空格里填上适当的数。 9 16 7 8 17 5 4 12 9 16 21 5 10 11 9 6 24 4 9 12 16 7 35 30 例2:根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数, 548 12620830 分析与解答: 经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系: 5×12?10=6 4×20?10=8 根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为:8×30?10=24 随堂练习:根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 (1) 510 3 3012396 5 例3:先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出 后几题的得数。 12345679×9= 12345679×18= 12345679×54= 12345679×81= 分析与解答: 题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，结果 是由九个1组成的九位数，即:111111111。不难发现，这组题得数的规律是:只要看每 道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。 因为:12345679×9=111111111 所以:12345679×18=12345679×9×2=222222222 12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999 随堂练习:找规律，写得数。 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9= 例4:找规律计算。 (1) 81,18=(8,1)×9=7×9=63 (2) 72—27=(7,2)×9=5×9=45 (3) 63,36=(?,?)×9=?×9=? 分析与解答: 经仔细观察、分析可以发现:一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位 数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。 63,36=(6,3)×9=3×9=27 随堂练习:利用规律计算。 (1)53,35 (2)82,28 例5:计算 (1)26×11 (2)38×11 分析:一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中 间，就是所求的积。 (1) 26×11=2(2+6)6=286 (2) 38×11=3(3+8)8=418 注意:如果两个数字的和满十，要向前一位进一。 随堂练习:计算下面各题。 (1)27×11 (2)32×11 拓展训练 1、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 (1) 79911138 44553 6 (2) 91215 36124816 2、找规律，写得数。 (1) 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111= (2)19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9= 11116+9876×9= 111115+98765×9= 3、利用规律计算。 (1)92,29 (2)61,16 (3)95,59 4、找规律计算。 (1)62+26=(6+2)×11=8×11=88 (2)87+78=(8+7)×11=15×11=165 (3)54+45=(?+?)×11=?×11=? 5、计算下面各题。 (1)39×11 (2)46×11 (3)92×11 (4)98×11 7 第4讲 变化规律 例1:两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化, 分析与解答: 一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9;假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9;和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。 随堂练习: 1，两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化, 2，两个数相加，一个数加3，另一个数也加3，和起什么变化, 例2:两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化, 分析与解答: 一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10,6=4。 随堂练习: 两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化, 例3:两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化, 分析与解答: 被减数增加8，假如减数不变，差就增加8;假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。 随堂练习: 两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化, 例4:两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化, 分析与解答: 如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍;如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8?2=4倍。 随堂练习: 两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化, 例5:两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化, 分析与解答: 如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍;如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。 随堂练习: 两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化, 拓展训练 1、两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化, 2、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化, 3、两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化, 8 4、两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化, 5、两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化, 6、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化, 7、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化, 8、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化, 9、两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化? 9 第5讲 算式谜(一) 专题简析: “算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据已学过的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。 解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。 例1:在下面算式的括号里填上合适的数。 分析与解答: 根据题目特点，先看个位:7，5=12，在和的个位( )中填2，并向十位进一;再看十位，( )+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的( )中只能填6，并向百位进1;最后来看百位、千位，6+( )+1的和的个位是2，第二个加数的( )中只能填5，并向千位进1;因此，和的千位( )中应填8。 随堂练习: (1) 在括号里填上合适的数。 (2)在方框里填上合适的数。 例2:下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。 分析与解答: 先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7;再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代表6;再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1。 随堂练习: 例3:下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字, 10 分析与解答: 这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0。确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“车”是1;再由十位上的情况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。 随堂练习: 例4:将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。 ?×?=?=??? 分析与解答: 要求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位数。显然，方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。 0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2×6=12(2将出现两次)，2×5=10(经试验不合题意)，2×4=8(7个数字中没有8)，2×3=6(6不能成为商)。因此，0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得:3×4=12=6=?5 随堂练习: (1)将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。 ?×?=?=??? 例5:把“，、,、×、?”分别放在适当的圆圈中(运算符号只能用一次)，并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。 36?0?15=15 21?3?5=? 分析与解答: 先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36×0+15=15 因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“,”、“?”可以填，题目要求在方框中填整数，已知3不能被5整除，所以“?”只能填在21与3之间，而3与5之间填“,”。 随堂练习: 把“，、,、×、?”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成立。 ? 9?13?7=100 14?2?5=? ? 17?6?2=100 5?14?7=? 11 拓展训练 1、下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。 2、 3、 4、(1)填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 ???=??? (2)用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式:(1+3)×7=28。请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。 5、将1 ~ 9这九个数字填入?中(每个数字只能用一次)，组成三个等式。 ?，?=? ?,?=? ?×?=? 12 第6讲 算式谜(二) 专题简析: 解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点: 1(认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断; 2(利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字; 3(试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的; 4(算式谜解出后，要验算一遍。 例1:在下面的方框中填上合适的数字。 分析与解答: 由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31??0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。 随堂练习: 在?里填上适当的数。 例2:在下面方框中填上适合的数字。 分析与解答: 由商的十位是1，以及1与除数的乘积 的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一 次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只 可能是7、8、9。如果是7，除数的个位是0， 那么最后必有余数;如果被除数是8，除数的 个位就是1，也不能除尽;只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。 完整的竖式是: 13 随堂练习: 在?内填入适当的数字， 使下列除法竖式成立。 例3:下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字, 分析与解答: 因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1;d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0(1已经用过);再由b=0，可推知c=8。 随堂练习: 求下列各题中每个汉字所代表的数字。 例4:在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“，、,”两种运算符号，使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 分析与解答: 先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。 比如:123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。因为45与67相差22，8与9相差1，所以得到一种解法:123，45,67，8,9=100 再比如:89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法:123，45,67，8,9=100 14 随堂练习: (1)在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99(数字的顺序不能改变)。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99 例5:在下面的式子里添上括号，使等式成立。 7×9，12?3,2 = 23 分析与解答: 采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减2，那么前面式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9，12又正好等于75，所以，应给前面两步运算加括号。 (7×9，12)?3,2 = 23 随堂练习: 在下面的式子里添上括号，使等式成立。 7×9，12?3,2 = 75 拓展训练 1、在?里填上适当的数。 2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。 3、(1)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 (2)添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100 4、在下面的式子里添上括号，使等式成立。 (1)7×9，12?3,2 = 47 (2)88，33,11?11×2 = 5 15 第7讲 应用题 专题简析: 大家都希望自己成为一个“小高斯”。这一周，我们来学习一些需要较高解题技巧的应用题，它们的解题思路往往比较独特，并且容易做错。如:书本的页码问题，较复杂的植树问题，以及其他智巧问题。这些智巧问题正是训练你成为“小高斯”的好题目。 例1:第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字, 分析与解答: 从1到153按数的位数分，可以分为:一位数、两位数、三位数，它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页，要用9个数字;从第10页到第99页，要用2×90=180个数字;从第100页到153页，要用3×54=162个数字，所以，一共要用9，180，162=351个数字。 随堂练习: 一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字, 例2:排一本辞典的页码共用了2886个数字，这本辞典共有多少页, 分析与解答: 排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字;排第10页到99页的页码，要用2×90=180个数字;这样，剩下的页码要用2886,9,180=2697个数字。2697?3=899页，即页码是三位数的排了899页。这样，这本辞典共有9，90，899=998页。 随堂练习: 排一本科幻小说的页码共用了270个数字，这本科幻小说共有多少页, 例3:两棵杨树相距75米，在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米, 分析与解答: 根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树，可知75米内共栽树14，2=16棵，共有16,1=15段，每段长75?15=5米。而第1棵到第9棵之间有9,1=8段，所以，第9棵到第1棵之间相距5×8=40棵。 随堂练习: 两棵树相隔45米，在中间以相等距离增加8棵树后，第8棵与第1棵相隔多少米, 例4:一个圆形花坛，绕着它走一圈是90米，如果沿着它的周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻两株丁香花之间等距离地栽两株月季花。问丁香花和月季花各栽了多少株, 分析与解答: 在圆形花坛的周围栽花，栽丁香花的株数正好等于分成的段数，所以，丁香花栽了90?6=15株。由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽两株月季花，所以月季花栽了2×15=30株。 随堂练习: 一个圆形花坛的周长是60米，沿着它的周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插一面绿旗。红旗和绿旗各插了多少面, 16 例5:有80个零件，分装成8袋，每袋装10个。在其中的7袋里面装的零件每个都是50克，有一袋里面的每个零件都是49克。这8袋混在一起，你能用秤称一次，就把装49克重的零件的那一袋找出来吗, 分析与解答: 将8袋零件依次编上序号:1、2、3、4、5、6、7、8。从第1袋中取出1个零件，从第2袋中取出2个零件，„，从第8袋中取出8个零件，共取出1，2，3，„，8=36个零件，总重量应少于50×36=1800克。将这些零件放在秤上称一下，总重量比1800克少几克，第几号袋中装的零件就是49克的。 随堂练习: 60只橘子分装6袋，每袋装10只，其中5袋里装的橘子的重量都是50克，另一袋装的每只的重量都是40克。这6袋橘子混在一起，你能用秤称一次，就把装40克重的那一袋找出来吗, 拓展训练 1、一本辞典共1008页，编印这本辞典的页码共要用多少个数字, 2、一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次, 3、排一本学生词典的页码，共用了3829个数字。这本词典共有多少页, 4、一本故事书的页码，用了39个0，这本书共有多少页, 5、两棵树相隔92米，在中间以相等距离增加22棵后，第10棵与第1棵间相隔多少米, 6、两盆花相隔12米，在中间以相等距离增加11盆花后，第9盆与第3盆花之间相隔多少米, 7、有一个圆形花圃，周长是120米，每隔6米栽一棵黄杨树，每两棵黄杨树之间等距离地栽3棵月季花。花圃周围栽了多少棵黄杨树,栽了多少棵月季花, 8、有一条公路长450米，在两旁栽树，两端各栽一棵，每隔18米栽一棵柳树，每两棵柳树之间以相等的距离栽了3棵槐树。柳树、槐树各栽了多少棵, 9、袋装的洗衣粉共有10堆(每堆不少于10袋)，已知9堆是合格产品，每袋1千克，1堆是不合格产品，每袋0.9千克，从外形看不出。能否只称一次找出不合格产品, 10、有9只外形完全相同的乒乓球，其中8只是正品，另一只是次品，且正品与次品重量不相同。如果用天平(无砝码)称，至少几次可把次品找出来, 17 第8讲 逻辑推理 专题简析: 解答推理问题常用的方法有:排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑: 1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断; 2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论; 3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的; 4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。 例1:有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说:“兰兰做的比静静多。”兰兰说:“冬冬做的比静静多。”静静说:“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多,谁做的好事最少, 分析与解答: 我们用“,”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。 兰兰,静静 冬冬,静静 冬冬,兰兰 所以，冬冬,兰兰,静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。 随堂练习 卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道:卢刚和医生不同岁;医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问:谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员, 例2:有一个正方体，每个面分别写上汉字:数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字, 克学林 林数奥数奥 匹 (3)(2)(1) 分析与解答:如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。 从图(1)可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图(2)可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。 从图(2)可知，“数”的对面不是“奥”、“学”;从图(3)可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。 随堂练习 下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黄色的对面是什么颜色,白色的对面是什么颜色,红色的对面是什么颜色, 18 白绿黄 黄红红黑 白蓝 (A)(B)(C) 例3:甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说:“是丙打碎的。”乙说:“我没有打碎破璃。”丙说:“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃, 分析与解答:由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。 如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。 如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。 如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。 随堂练习 已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说:“我会开汽车。”乙说:“我不会开。”丙说:“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车, 例4:甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后: 甲说:“丙是第一名，我是第三名。”乙说:“我是第一名，丁是第四名。”丙说:“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗, 分析与解答:推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析。 (1)乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。 (2)由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。 (3)这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 重新推理: (1)由甲说的“我是第一名”推出丙说的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是 19 第一名”是对的。 (2)由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。 (3)从表中我们可看出:乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。 随堂练习 甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说:“甲是第二名，丁是第三名。”有的说:“甲是第一名，丁是第二名。”有的说:“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名, 例5:A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计:A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一盘。问小强已经赛了几盘, 分析与解答:用五个点表示这5个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘，由于D只赛了1盘，是和A赛的，所以B应该与C连。(B、A已连线)C已连了2条线，小强也连了2条线，所以小强已赛了2盘。 随堂练习 上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛了3场，辽宁队赛了2场，山东队赛了1场。问北京队赛了几场, 拓展训练 1、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。小张年龄比工程师大;小李和数学家不同岁;数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师, 2、江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知: 江波和语文老师是邻居;吴萌和语文老师不是邻居;吴萌和数学老师是同学。请问:三个老师分别教什么科目, 2，一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗, E BF CADD CA 20 3，五个相同的正方体木块，按相同的 顺序在上面写上数字1~6，把木块叠成下 5 图，那么，2的对面是几,4的对面是几, 24 5的对面是几, 56 63 4 6 53 4、某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。A说:“是B做的。”B说:“不是我做的。”C说:“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的, 5、A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说:“是C或D打碎的。”B说:“是D打碎的。”C说:“我没有打碎玻璃。”D说:“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃, 6、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜:“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜:“第二名蓝色，第四包红色。”丙猜:“第三包蓝色，第五包白色。”丁猜:“第三包蓝色，第五包白色。”戌猜:“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子, 7、张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码，这五个同学只认对了一半。他们是这样回答的: 甲:2是巢湖，3是洞庭湖;乙:4是鄱阳湖，2是洪泽湖;丙:1是鄱阳湖，5是太湖;丁:4是太湖，3是洪泽湖;戌:2是洞庭湖，5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊。 8、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，兰兰握了5次手，静静握了2次，思思握了1次手。问毛毛握了几次手, 9、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场, 21 第9讲 数数图形 专题简析: 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点: 1、弄清被数图形的特征和变化规律。 2、要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。 例1: 数一数下图中共有多少个三角形。 DABC 分析与解答: 图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。 随堂练习: 数一数下面图中各有多少个三角形。 例2: 数一数下图中共有多少个三角形。 O EF ABDC 22 分析与解答: 与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面 的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形也是 1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。 随堂练习: 数一数下面各图中各有多少个三角形。 拓展训练 1、数数下图有多少条线段。 2、下列各图中各有多少个锐角, (2)(3)(1) 3、下图中有多少个三角形。 4、下图中有多少长方形。 AB DC 23 24 第10讲 容斥原理 专题简析: 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理:对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类(如图)，那么具有性质a或性质b的事物的个数=N，N,N。 abab NabNbNa 例1:一个班有48人，班主任在 班会 初三期末考动员班会考试后心理调适班会暑假期间安全主题班会九年级下学期开学班会考前心理辅导主题班会 上问:“谁做完语文作业,请举手～”有37人举手。又问:“谁做完数学作业,请举手～”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完,”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 分析与解答: 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37，42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有:79,48=31人。 随堂练习: 五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人, 例2:某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对, 分析与解答: 已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25,15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10，23=33人。所以，两题都答得不对的有36,33=3人。 随堂练习: 五(1)班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加, 例3:某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人, 分析与解答: 要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数:56,25=31人， 25 再求两科竞赛同时参加的人数:28，27,31=24人。 随堂练习: 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人, 例4:在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个, 分析与解答: 从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100?5=20个，6的倍数有16个(100?6=16„„4)，其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100?30=3„„10)。因此，是6或5的倍数的个数是16，20,3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是:100,33=67个。 随堂练习: 1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个, 2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个, 3，五(1)班做广播操，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是:从前面数第5个，从后面数第8个。这个班共有多少个学生, 例5:光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅, 分析与解答: 由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24，22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。(24，22,10)?2=18幅。 随堂练习: 科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件, 拓展训练 1、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人, 2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人, 3、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人, 4、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了， 26 有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人, 5、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人, 6、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人, 7、六(1)儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅, 8、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅, 27 第11讲 简单的统筹规划问题 专题简析: 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益(因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用(作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的( 例1 妈妈让小明给客人烧水沏茶(洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟(洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟(小明估算了一下，完成这些工作要20分钟(为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了, 分析:烧水沏茶的情况是:开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取(怎样安排工作程序最省时间呢, 办法甲:洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝( 办法乙:先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝( 办法丙:洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝( 谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”( 开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件(它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示( 箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如?表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟(从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟( 洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图( 解:先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟(又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的( 28 说明:本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的( 随堂练习: 妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼(他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟(如下图)，请你 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个顺序，使花费的时间最少( 例2 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼(如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各需1分钟)，问煎1993个饼至少需要几分钟, 分析: 由于1993数目较大，直接入手不容易(我们不妨先从较小的数目来进行探索规律( 如果只煎1个饼，显然需要2分钟; 如果煎2个饼，仍然需要2分钟; 如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟:因为先煎2个饼要2分钟;再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟(但是，这不是最佳 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 (最优方法应该是: 首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟; 其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟; 最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟;这样总共只用3分钟就煎好了3个饼( 解:如果煎1993个饼，最优方案应该是: 煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟;煎后面1990个饼时，每两个饼需要2分钟，分1990?2=995(次)煎完，共需要2×995=1990(分钟);这样总共需要3+1990=1993(分钟)( 说明:通过本例可以看出，掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率( 随堂练习: 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼(如果煎一个饼需要4分钟(假定正、反面各需1分钟)，问煎7个饼至少需要几分钟, 例3 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟(如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小,并求出最小值( 分析: 5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了(凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些(考虑用“逐步调整”法来严格求解( 解:首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置( 假如第一位置的人打水时间要a分钟(其中2?a?5)，而打水需1分钟的人排在第b位(其中2?b?5)(我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动(这样调整以后 29 第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了(a-1)分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了(换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省( 其次，根据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置;将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位(所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省(这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是 1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35(分钟)( 随堂练习: 三车货物同时到达仓库门口，A车货物卸完需要20分钟，B车货物卸完需要10分钟，C货物卸完需要30分钟，只能一车一车卸货，怎么安排顺序，才能使三辆货车等候时间的总和最少, 例4 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升(问如何选派车辆才能使运输耗油量最少,这时共需用油多少公升, 解:依题意，大卡车每吨耗油量为10?5=2(公升);小卡车每吨耗油量为5?2=2.5(公升)(为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=5×31+2， 因此，最优调运方案是:选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×31+5×1=315(公升) 随堂练习: 一个中医诊所，同时来了一位老奶奶，一位上完自习的中学生和一位请假来看病的李师傅，大夫给老奶奶和李师傅诊断，每人需用时间10分钟，给中学生诊断需用7分钟，另外给每人抓药均需要5分钟，请你想一想，怎样安排他们的就诊顺序是最合理的,要说明充分的理由，并要计算大夫给三人看完病、抓完药共同了多长时间, 拓展训练 1、妈妈开始做饭，切菜3分钟，从冰箱取肉并解冻5分钟，切肉4分钟，倒油烧油3分钟，炒菜7分钟，你给妈妈安排一个合理的顺序，节省时间。并计算使用你安排的顺序，共需用多少分钟, 2(用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼(如果煎一个饼需要4分钟(假定正、反面各需2分钟)，问煎9个饼至少需要几分钟, 3(小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病(小明打针要5分钟(小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟(问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少,并求出这个时间( 4(赵师傅要加工某项工程急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟(问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少,这个时间是多少, 30 5(某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满(若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲、乙两管合放最少需要多少小时, 6(山区有一个工厂(它的十个车间分散在一条环行的铁道上(四列货车在铁道上转圈，货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物(当然，装卸工可以固定在车间等车(各车间所需装卸工人数如图所示);也可以坐在货车到各车间去;也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分坐车(问怎样安排才能使装卸工的总人数最少,最少需多少名工人, 31 第12讲 图形问题 专题简析: 解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点: 1、细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决; 2、从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。 例1:人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米, 分析与解答: 用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是(90+10)×(45+5)=5000平方米，操场原来的面积是90×45=4050平方米。所以，现在的面积比原来增加5000,4050=950平方米。 随堂练习: 有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米, 例2:一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米;如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米, 分析与解答: 由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54?6=9米;由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36?3=12米。所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。 随堂练习: 一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米;如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米, 例3:下图是一个养禽专业户 用一段16米的篱笆围成的一个长 方形养鸡场，求它的占地面积。 分析与解答: 根据题意，因为一面利用着墙， 所以两条长加一条宽等于16米。而 宽是4米，那么长是(16,4)?2=6米， 占地面积是6×4=24平方米。 随堂练习: 右图是某个养禽专业户用一段长13 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求 养鸡场的占地面积。 32 例4:街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米, 分析与解答: 把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。 因此，一个长方形的面积是12?4=3平方米。因为 水泥路宽1米，所以小长方形的长是3?1=3米。从 图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与 宽的差，所以小正方形的边长是3,1=2米。中间花 坛的面积是2×2=4平方米。 随堂练习: 有一个正方形的水池，如右下图 的阴影部分，在它的周围修一个宽8 米的花池，花池的面积是480平方米， 求水池的边长。 例5:一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形(如图)，面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少, 分析与解答: 把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来(如右上图)，再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，原来正方形的边长是221?13=17分米。 随堂练习: 一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方米，求原来正方形的边长。 拓展训练 1、一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米, 2、一块长方形地，长是80米，宽是45米。如果把宽增加5米，要使面积不变，长 33 应减少多少米, 3、一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米;如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米, 4、一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。求这个长方形原来的面积。 5、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大, 6、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大, 7、四个完全相同的长方形和一个 4小正方形拼成了一个大正方形(如右上图)， 大正方形的面积是64平方米，小正方形 第2题的面积是4平方米，长方形的短边是多少米, 8、已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米(如下图)。问大小正方形的面积各是多少, 496平方厘米 4 9、一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。 10、一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大, 34 第13讲 错中求解 专题简析: 在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。 例1:小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13，还余52。正确的商是多少, 分析与解答: 要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数:13×56，52=780。所以，正确的商是:780?65=12。 随堂练习: 小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。正确的商应该是多少, 例2:小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应该是多少, 分析与解答: 根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。 随堂练习: 小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正确的商应该是多少, 例3:小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，而余数正好相同。正确的商和余数是多少, 分析与解答: 因为被除数137被错写成了173，被除数比原来多了173,137=36，又因为商比原来多了3，而且余数相同，所以除数是36?3=12。又由137?12=11……5，所以余数是5。 随堂练习: 小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数正好相同。正确的除数和余数是多少, 例4:小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1，乘得的结果是525，实际应为600。这两个两位数各是多少, 分析与解答: 一个因数的个位4错当作1，所得的结果比原来少了(4,1)个另一个因数;实际的结果与错误的结果相差600,525=75，75?3=25，600?25=24。所以一个因数是24，另一个因数是25。 随堂练习: 小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作3，得345，实际应为420。这两个因数各是多少, 35 例5:方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。那么，正确的积应是多少, 分析与解答: 由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84?14=6;又由“圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168?14=12。所以正确的积应是12×6=72。 随堂练习: 两个数相乘，如果一个因数增加10，另一个因数不变，那么积增加80;如果一个因数不变，另一个因数增加6，那么积增加72。原来的积是多少, 拓展练习 1、甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少, 2、小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正确的商应该是多少, 3、小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。正确的商应该是多少, 4、小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。正确的商应该是多少, 5、李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3，而余数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。 6、刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3，余数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。 7、小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实际应为418。这两个两位数各是多少, 8、李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得2150，这道题的正确积应是900。这两个两位数各是多少, 9、两个数相乘，如果一个因数增加3，另一个因数不变，那么积增加18;如果一个因数不变，另一个因数减少4，那么积减少200。原来的积是多少, 10、小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字5误写成3，得出的乘积是552;另一个学生却把这个5写成8，得出的乘积是672。正确的乘积是多少, 36 第14讲 数学开放题 专题简析: 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一答案。 一般而言，数学开放题具有以下三个特征: 1、条件不足或多余; 2、没有确定的结论或结论不唯一; 3、解题的策略、思路多种多样。 解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。我们一般可以从以下几方面考虑: 1、以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决; 2、根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解; 3、避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案。 例1:A、B都是自然数，且A，B=10，那么A×B的积可能是多少,其中最大的值是多少, 分析与解答: 由条件“A、B都是自然数，且A，B=10”，可知A的取值范围是0 ~ 10，B的取值范围的10 ~ 0。不妨将符合题意的情形一一列举出来: 0×10=0 1×9=9 2×8=16 3×7=21 4×6=24 5×5=25 A×B的积可能是0、9、16、21、24、25。当A=B=5时，A×B的积的最大值是25。 从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。 随堂练习: 甲、乙两数都是自然数，且甲，乙=32，那么，甲×乙的积的最大值是多少, 例2:把1 ~ 5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是9。 分析与解答: 每条直线上三个圆圈内各数的和是9，两条 直线上数的和等于9×2=18(其中中间圈内的数 重复加了一次)。而1、2、3、4、5的和为15， 18,15=3。所以，中间圈内应填3。这样，两条 直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。 这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的七个解。 随堂练习: 把1 ~ 5五个数分别填入图中 的五个圆圈内，使每条直线上三个 圆圈内各数的和是10。 37 例3:把1 ~ 6六个数分别填入 图中的六个圆圈中，使每条边上三个 数的和都等于9。 分析与解答: 每边上三个数的和 都等于9，三条边上数的和等于9×3=27， 27,(1，2，3，4，5，6)=6。所以，三 个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。在1 ~ 6，只有1，2，3=6，故三个顶点只能填1、2、3。这样就得到一组解:1、5、3;1、6、2;3、4、2。 随堂练习: 把1 ~ 6六个数分别填入图中的六 个圆圈中，使每条边上三个数的和都 等于12。 例4:在一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。共打了多少场比赛,(两名运动员之间比赛一次称为一场) 分析与解答:8名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下4名运动员;第二轮赛2场后，剩下2名运动员;第三轮只需再赛1场，就能决出冠军。所以，共打了4，2，1=7场球。 还可以这样想:8名运动员进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，需要进行1场比赛，整个比赛共需要淘汰8,1=7名运动员，所以共打了7场比赛。 随堂练习: 在一次乒乓球比赛中，32名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共打了多少场球, 例5:一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度前进，就可以提前5分钟到校。这个学生出发时离上学时间有多少分, 分析与解答: 解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也有所不同。例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。可这样分析:由“每分钟行50米，要迟到8分钟”，可知学校上课时，这个学生还离学校50×8=400米;由“每分钟行60米，可以提前5分钟到校”，可知距学校上课时，他还可走60×5=300米。两种不同的速度，在相同的时间内路程相差400，300=700米，而两种速度每分钟相差60,50=10米。因此，这个学生出发时离上课时间为:700?10=70分钟。 解法一:(50×8，60×5)?(60,50)=70分; 解法二:60×(5，8)?(60,50),8=70分; 解法三:50×(8，5)?(60,50)，5=70分。 随堂练习: 38 李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟80米，他将迟到5分钟;如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校。李老师出发时离上班时间有多少分, 1、A、B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，它们的和最小, 2、A、B、C三个数都是自然数，且A，B，C=18，那么A×B×C的积的最大值是多少, 3、把3 ~ 7五个数分别填入 图中的五个圆圈内，使每条直线 上三个圆圈内各数的和相等而且 最大。 4、把1 ~ 7七个数分别填入 图中的七个圆圈内，使每条直线 上三个圆圈内各数之和相等。 5、把1 ~ 8八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于21。 6、把1 ~ 9这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边上四个数的和相等而且最小。 7、在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了11场球，最后决出冠军。共有多少支足球队参加了这次比赛, 8、有13个队参加篮球赛，比赛分两个组。第一组7个队，第二组6个队。各组先 39 进行单循环赛(即每队都要与其他各队比赛一场)，然后由各组的前两名共4个队再分成两组进行淘汰赛，最后决出冠、亚军。共需比赛多少场, 9、一位小学生从家到学校，如果以每分50米的速度行走，就迟到3分钟;如果以每分70米的速度行走，就可以提前5分到校。求他家到学校的距离。 10、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟;于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果比上课提前了3分钟。这个学生家离学校有多远, 40 第15讲 数数与计数 例1 数一数，下图中有多少个点, 分析与解答: 方法1:从上至下一层一层地数，见下图( 总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45( 方法2:补上一个同样的三角形点群(但要上下颠倒放置)和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立(见下图): 三角形点数=长方形点数?2 因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9 而长方形点数=10×9=(1+9)×9 代入上面的文字公式可得: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 =(1+9)×9?2=45( 进一步把两种方法联系起来看: 方法1是老老实实地直接数数( 方法2可以叫做“拼补法”(经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了( 即1+2+3+4+5+6+7+8+9 =(1+9)×9?2( 这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了(这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了( 再进一步，若脱离开图形(点群)的背景，纯粹从数的方面找规律，不难发现下述事实: 41 这个等式的左边就是从1开始的连续自然数相加之和，第一个数1又叫首项，最后一个数9叫末项，共有9个数又可以说成共有9项，这样，等式的含义就可以用下面的语言来表述: 从1开始的连续自然数前几项的和等于首项加末项之和乘以项数的积的一半(或是写成下面的文字式: 和=(首项+末项)×项数?2 这个文字式通常又叫做等差数列求和公式( 随堂练习: 数一数，下图中有多少个点, 例2 数一数，下图中有多少个小三角形, 分析与解答: 方法1:从上至下一层一层地数，见下图( 小三角形总数=1+3+5+7=16个( 方法2:补上一个同样的图形，但要上下颠倒放置、和原来的一起拼成一个大平行四边形如下图所示( 42 显然平行四边形包含的小三角形个数等于原图中的大三角形所包含的小三角形个数 的两倍，即下式成立( 大三角形中所含=平行四边形所含?2 平行四边形所含=8×4=(1+7)×4(个) 大三角形中所含=1+3+5+7=16 代入上述文字式: 1+3+5+7,(1+7)×4?2 这样，我们就得到了一个公式: 小三角形个数=(第一层的数+最末层的数)×层数?2 脱离开图形的背景，纯粹从数的方面进行考察，找找规律，不难发现下述事实: 等式左边就表示一个等差数列的前几项的和，它的首项是1，末项是7，公差是2， 项数是4(这样这个等式的含义也就可以用下面的语言来表述: 等差数列前几项的和等于首项加末项之和乘以项数之积的一半( 写成较简单的文字式: 和=(首项+末项)×项数?2( 随堂练习: 数一数，下图中共有多少个小三角形, 1、数一数，下图中的三角形点群有多少个点, 2、数一数，下图中的三角形点群有多少个点, 43 3(数一数，下图中有多少个小正方形, 4(数一数，下图中共有多少个小三角形, 44 四年级数学思维训练试卷 1 班级________ 姓名________ 分数_______ 一、简便计算(12分) 1，3，5，7，9 87―56，13 38，23，62，177 , , , , , , , , , 2，4，6，8，10 337―69―31―37 299，293，302，301 , , , , , , , , , 二、填空(76分，每空4分) 1、 找规律填数: (1) 2，3，5，8，13，( )，( )。 (2) 1，4，9，16，( )，36，( )。 2、小明在计算除法时，把除数72看成了27，结果得到商26还余18。正确的商是( )。 3、某年的9月份有5个星期一，5个星期二。这一年的国庆节是星期( )。 4、有红、白、蓝、黄、黑5个盒子，其中蓝盒比黄盒大，但比黑盒小;黄盒比白盒大;黑盒比红盒小。那么( )盒最大，( )盒最小。 5、经过纸上的2个点可以画出一条直线;经过3个点中的每两个点画直线，最多可以画3条。那么经过4个点中的每两个点最多可以画( )条直线。 6、爸爸、妈妈今年的年龄和是70岁，爸爸比妈妈大2岁。今年爸爸( )岁，妈妈( )岁。 7、停车场上停放三轮车和自行车，一共有39辆车，其中自行车的辆数是三轮车的2倍。问三轮车有( )辆，自行车有( )辆。 8、一条路每隔30米有一盏路灯，连两端一共有16根，这条路一共长( )米。 9、1+2+3+4+5„„+97+98+99=( ) 10、下面一共有( )个三角形。 11、一只平地锅只能煎两条小黄鱼。用他煎一条小黄鱼要2分钟(正反面各1分钟)，煎3条小黄鱼至少要( )分钟。 12、甲、乙、丙三人中有一人做了一件好事，他们各自说了一句话，而其中只有一句话是真的。 甲说:“是乙做的。” 乙说:“不是我做的。” 丙说:“也不是我做的。” 45 请你分析一下，到底是( )做了好事。 13、江阴市的出租车的起步价是7元，可以行3千米(不足3千米也收7元)，以后每1千米2元，小红乘了8千米，要付车费( )元。 14、小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米，两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。 15、兄弟二人早晨五点各推一车菜同时从家出发去集市。哥哥每分钟行100米，弟弟每分钟行60米，哥哥达到集市后蛹分钟卸好菜，立即返回，中途接到弟弟，这时是5时55分。问集市距离他们家多少千米,(14、15题每题6分) 46 四年级数学思维训练试卷2 班级________ 姓名________ 分数_______ 一、简算与计算。(题写出简算过程，共20分，每小题5分) (1) 395-283+154+246-117 (2) 8795-4998+2994-3002-2008 (3) 125×198?(18?8) (4) 2772?28+34965?35 二、填空。(共36分，每小题4分) 1(被除数是3320，商是150，余数是20，除数是( )。 2(3998是4个连续自然数的和，其中最小的数是( )。 3.有一个两位数，在它的某一位数字的前面加上一个小数点，再和这个两位数相加，得数是20.9。这个两位数是( ) 4(填一个最小的自然数，使225×525×( )积的末尾四位数字都是0。 5(在下面的式子中填上括号，使等式成立。 5×8+16?4-2=20 6(从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数中，任取3个数组成一组，使它的平均数是5，有( )种取法。 7(某地的邮政编码可用ABCCDD表示，已知这六个数字的和是8，A与B的和等于2个D，A是最小的自然数。这个邮政编码是( )。 8(两个数之和是444，大数除以小数商11，且没有余数，大数是( ) 9(把5、11、14、15、21、22六个数填入下面的括号内，使等式成立。 ( )×( )×( )=( )×( )×( ) 三、解决问题。(共44分，1-----4每小题5分，5----8每小题6分)。 1(祖父今年75岁，3个孙子的年龄分别是17岁、15岁和13岁，多少年后3个孙子的年龄和等于祖父的年龄, 2(王雪读一本故事书，第一天读了8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了32页正好读完。她一共读了多少天, 3(学校买来一些毽子，分给全校各班。如果每班16个，恰好分完;如果少给2个班，每个班多分1个，还剩10个。班级和毽子各多少个, 4(花店有菊花、玫瑰、郁金香共78支，其中菊花是玫瑰的2倍多4支，玫瑰是郁金香的3倍少2支。问这三种花各有多少支, 5(从甲城往乙城运58吨货物，如果用载重5吨的大卡车运一趟，运费150元;用载重2吨的中卡车运一趟，运费80元;用载重1吨的小卡车运一趟，运费50元。要想用最少的钱一次运完这批货物，需大、中、小卡车各多少辆,(只填写得数，不写算式) 大卡车( )辆，中卡车( )辆。 6(一张长方形彩纸长21厘米，宽15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸上剪下一个最大的正方形。这时纸的长是6厘米。( ) 7(一个箱子里放着几顶帽子，除2顶以外都是红的，除2顶以外都是蓝的，除2顶 47 以外都是黄的。箱子中一共有3顶帽子。( ) 8(一个占地1公顷的正方形苗圃，边长各加长100米，苗圃的面积增加3公顷。( ) 48