2015年浙江省绍兴市高考
数学
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一模
试卷
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（理科）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．若x∈R，则“x＞1”，则“x2＞1”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件[来源:学。科。网Z。X。X。K] D． 既不充分又不必要条件
2．某快递公司快递一件物品的收费规定：物品不超过5千克，每件收费12元，超过5千克且不超过10千克，则超出部分每千克加收1.2元；…，现某人快递一件8千克物品需要的费用为（ ）
A． 9.6元 B． 12元 C． 15.6元 D． 21.6元
3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
4．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线且交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|=（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
5．已知函数f（x）=sin（ϖx+φ）（ϖ＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期是π，且当x=时，f（x）取得最大值，则f（+x）+f（﹣x）=（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
6．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（ ）
A． 9 B． 9 C． 6 D． 6
7．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：=n，=2n，n∈N*，设θn为﹣和﹣的夹角，则（ ）
A． θn随着n的增大而增大
B． θn随着n的增大而减小
C． 随着n的增大，θn先增大后减小
D． 随着n的增大，θn先减小后增大
8．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=2+，则直线B1P与直线AD1所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． [0，] B． [0，] C． [，] D． [，]
二、填空题（本大题共7题，第9小题每空2分，第10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分）
9．设函数f（x）=log2（x﹣1），则函数y=f（x）的定义域为 ，f（3）= ，方程f（x）=0的解x= ．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2=S4=3，则公差d= ，a5+a6= ．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长等于 ，体积等于 ．
12．已知x∈R，函数f（x）=为奇函数，则t= ，g（f（﹣2））= ．
13．在边长为1的正△ABC中，点P1，P2满足==，则+的值为 ．
14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为﹣2的直线交双曲线的渐近线于P，Q两点，M为线段PQ的中点，若直线MF1平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．
15．当且仅当x∈（a，b）∪（c，d）（其中b≤c）时，函数f（x）=2x2+x+2的图象在函数g（x）=|2x+1|+|x﹣t|图象的下方，则b﹣a+d﹣c的取值范围为 ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角A的大小；[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（2）若a=3，求b+c的最大值．[来源:Z_xx_k.Com]
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2，AP=PC=CB=2．
（1）求证：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．
18．已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．[来源:学科网ZXXK]
（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），求实数m，n的值．
19．如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．
20．已知数列{an}满足：a1=a∈（0，1），且0＜an+1≤an2﹣an3，设bn=（an﹣an+1）an+1
（Ⅰ）比较a1﹣a2和的大小；
（Ⅱ）求证：＞an+1；
（Ⅲ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜．
2015年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．若x∈R，则“x＞1”，则“x2＞1”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 常规题型．
分析： 直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
解答： 解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，
所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．
故选A．
点评： 本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．
2．某快递公司快递一件物品的收费规定：物品不超过5千克，每件收费12元，超过5千克且不超过10千克，则超出部分每千克加收1.2元；…，现某人快递一件8千克物品需要的费用为（ ）
A． 9.6元 B． 12元 C． 15.6元 D． 21.6元
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 将8千克分为5千克加3千克，从而求费用即可．
解答： 解：由题意得，
某人快递一件8千克物品需要的费用为12+（8﹣5）×1.2=15.6（元）；
故选C．
点评： 本题考查了函数实际问题中的应用，属于基础题．
3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（ ）[来源:Z。xx。k.Com]
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由约束条件作出可行域，令z=x﹣y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答： 解：由约束条件作出可行域如图，
设z=x﹣y，则y=x﹣z，
联立，解得，即B（3，2），
由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为zmax=3﹣2=1．
故选：C．
点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线且交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|=（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由题意，过抛物线焦点的直线L斜率存在且不等于0，由点斜式设出L的直线方程，与抛物线方程组成方程组，消去未知数y，得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和线段AB中点的横坐标，得k的值，再由线段长度公式求出|AB|的大小．
解答： 解：∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），
设过F点的直线L为：y=k（x﹣1），且k≠0；
∴由得：
k2（x﹣1）2=4x，
即k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
由根与系数的关系，得：
x1+x2==4，x1x2=1；
∴k2=2，
∴线段AB的长为：
|AB|=|x1﹣x2|
=
=×=6．
故选：B．
点评： 本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，线段中点坐标通常和根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．
5．已知函数f（x）=sin（ϖx+φ）（ϖ＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期是π，且当x=时，f（x）取得最大值，则f（+x）+f（﹣x）=（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2
考点： 三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析： 首先根据函数的周期确定ω的值，进一步利用最大值确定φ的值，最后确定解析式，再根据函数的解析式确定函数的值．
解答： 解：f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的最小正周期是π，
所以：，
解得：ω=2．
当x=时，f（x）取得最大值，
所以：f（x）=sin（2•+φ）=1
进一步求得：φ=，
所以：f（x）=sin（2x+）
则：f（+x）+f（﹣x）=sin（2x+π）+sin（π﹣2x）=0．
故选：B
点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，利用函数的关系式求函数的值．
6．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（ ）
A． 9 B． 9 C． 6 D． 6
考点： 三角形中的几何计算．
专题： 解三角形．
分析： 设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值，求出x即可．
解答： 解：设AB=AC=2x，AD=x．
设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，
∴sinθ====，
根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，
∴当 x2=45时，三角形面积有最大值．此时x=3．
AB的长：6．
故选：D．
点评： 本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．
7．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：=n，=2n，n∈N*，设θn为﹣和﹣的夹角，则（ ）
A． θn随着n的增大而增大
B． θn随着n的增大而减小
C． 随着n的增大，θn先增大后减小
D． 随着n的增大，θn先减小后增大
考点： 数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），然后根据=n，=2n，可求的坐标，进而可求出cosθn，结合余弦函数的单调性即可判断
解答： 解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系，则=（1，0），=（0，1），
设=（xn，yn），
∵=xn=n，=yn=2n，
∴，
∴=（n+1，2n+1）﹣（n，2n）=（1，2n），
∴=（1，2n+1），
∴cosθn===，
==（*），
∵x∈[0，π]时，余弦函数y=cosx是单调递减函数，
当n增加时（*）递增，即cosθn递增，θn递减．
故选：B．
点评： 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．
8．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=2+，则直线B1P与直线AD1所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A． [0，] B． [0，] C．[来源:Zxxk.Com] [，] D． [，]
考点： 异面直线及其所成的角．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 取BC1的中点E，作点B1在平面A1BC1内的投影O，过O作OF∥BC1交A1B于点F，连结B1D、A1E，以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用cos＜，＞=计算即可．
解答： 解：取BC1的中点E，作点B1在平面A1BC1内的投影O，
过O作OF∥BC1交A1B于点F，连结B1D、A1E，
以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，易得D（0，0，﹣2），B1（0，0，），B（，，0），C1（﹣，，0），
设P（x，y，0），则=（﹣x，﹣y，﹣2），=（﹣x，﹣y，），=（﹣3，0，0），
∵|PD|+|PB1|=2+，
∴+=2+，
∴||=2，即x2+y2=1，
记α为直线B1P与直线BC1所成的角，则α即为直线B1P与直线AD1所成的角，
∴cos＜，＞===，
∵点P的轨迹在平面A1BC1内是以O为圆心，1为半径的单位圆，
∴﹣1≤x≤1，∴﹣≤cos＜，＞≤，
又∵α为锐角，∴0≤cos＜，＞≤，
故选：A．
点评： 本题考查求空间中线线角的三角函数值，建立恰当的坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
二、填空题（本大题共7题，第9小题每空2分，第10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分）
9．设函数f（x）=log2（x﹣1），则函数y=f（x）的定义域为 （1，+∞） ，f（3）= 1 ，方程f（x）=0的解x= 2 ．
考点： 函数的定义域及其求法；函数的零点．
分析： 首先利用对数有意义的条件求出函数的定义域，进一步利用函数的关系式求出对数的值，进一步解对数的方程．
解答： 解：①f（x）=log2（x﹣1），
则：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
函数的定义域为（1，+∞）
②由于f（x）=log2（x﹣1），
所以：f（3）=log2（3﹣1）=1，
③f（x）=log2（x﹣1）=0，
所以：x﹣1=1，
解得：x=2．
故答案为：①（1，+∞）②1③2
点评： 本题考查的知识要点：对数函数的定义域的求法，利用函数的关系式求出对数的值，对数方程的解法．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2=S4=3，则公差d= ，a5+a6= ﹣3 ．
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得S2，S4﹣S2，a5+a6成等差数列，由已知数据易得答案．
解答： 解：∵S2=S4=3，
∴S4﹣S2=0，
∴S4﹣S2﹣S2=4d=﹣3，
∴d=，
∴a5+a6=S4﹣S2+4d=﹣3
故答案为：，﹣3
点评： 本题考查等差数列的性质，属基础题．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长等于 ，体积等于 ．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 画出满足条件的几何体，进而分析出这个几何体最长棱长，由勾股定理可得答案，再由其底面面积和高，可得体积．
解答： 解：如图该几何体为三棱锥，
其直观图如图所示：
由图可得：OB=OC=OD=1，OA=2，
则BD=2，BC=CD=，AB=AC=AD=，
即该几何体的最长棱长等于，
棱锥的底面△BCD的面积S=，
高h=0A=2，
故棱锥的体积V==，
故答案为：，．
点评： 本题考查的知识点是由三角形求体积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键．
12．已知x∈R，函数f（x）=为奇函数，则t= ﹣1 ，g（f（﹣2））= ﹣7 ．
考点： 分段函数的应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数是奇函数，直接求解t，通过函数的奇偶性求出g（f（﹣2））．
解答： 解：因为函数是连续函数并且是奇函数，所以f（0）=0，
可得20+t=0，解得t=﹣1．
函数f（x）=为奇函数，g（f（﹣2））=g（﹣f（2））=g（﹣3）=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣7．
故答案为：﹣1；﹣7．
点评： 本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
13．在边长为1的正△ABC中，点P1，P2满足==，则+的值为 ．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题：[来源:学科网] 平面向量及应用．
分析： 利用已知将+表示为）+（，利用等边三角形的性质解答．
解答： 解：因为边长为1的正△ABC中，点P1，P2满足==，
则+=）+（
=
=1﹣+1﹣﹣+++
=．
点评： 本题考查了向量加法的三角形法则以及向量的数量积公式的运用；属于基础题．
14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为﹣2的直线交双曲线的渐近线于P，Q两点，M为线段PQ的中点，若直线MF1平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离．
分析： 通过题意，分析可得PM=MQ=QF2，利用相似比的性质可得Q点纵坐标的3倍等于P点纵坐标，再通过离心率的公式计算即可．
解答： 解：如图，设F2（c，0），根据题意，得直线PF2的方程为：y=﹣2（x﹣c），
双曲线的渐近线为，
联立，解得Q（，），
联立，解得P（，），
∵M为线段PQ的中点，若直线MF1平行于其中一条渐近线，
∴PM=MQ=QF2，所以3×=，
化简得：b=4a，所以e====，
故答案为：．
点评： 本题考查双曲线，相似比的性质，找出关系PM=MQ=QF2是解决本题的关键，属于中档题．
15．当且仅当x∈（a，b）∪（c，d）（其中b≤c）时，函数f（x）=2x2+x+2的图象在函数g（x）=|2x+1|+|x﹣t|图象的下方，则b﹣a+d﹣c的取值范围为 （0，2] ．
考点： 函数的图象．
专题： 数形结合；函数的性质及应用．
分析： 化简函数的解析式，再画出f（x）、g（x）的图象，结合题意可得1＜t≤，运用二次方程的两根之差，求出b﹣a，d﹣c关于t的函数，可得d﹣c+b﹣a的范围．
解答： 解：作出函数f（x）=2x2+x+2的图象，
由函数g（x）=|2x+1|+|x﹣t|的图象可得t=1时，
当x＜﹣时，g（x）=﹣2x﹣1+1﹣x=﹣3x，
由2x2+x+2=﹣3x，即有x2+2x+1=0，
f（x）的图象和g（x）的图象相切，
当b=c=﹣时，即有g（﹣）=|﹣﹣t|=2×﹣+2，
解得t=（﹣舍去），
由题意可得1＜t≤，
当x＜﹣时，g（x）=﹣2x﹣1+t﹣x=﹣3x+t﹣1，
由f（x）=g（x），可得2x2+4x+3﹣t=0，
即有b﹣a==，
当﹣＜x＜t时，g（x）=2x+1+t﹣x=x+t+1，
由f（x）=g（x），即为2x2=t﹣1，解得x=±，
可得d﹣c=，
则b﹣a+d﹣c=2，
由1＜t，可得b﹣a+d﹣c∈（0，2]．
故答案为：（0，2]．
点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求b+c的最大值．
考点： 正弦定理；余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （1）由正弦定理结合已知整理可得：sin（A﹣B）=sin（C﹣A），即可解得角A的大小；
（2）由余弦定理结合已知可得b2+c2﹣bc=9，既有bc=，从而可求b+c的最大值．
解答： （本题满分15分）
解：（1）∵，
∴由=得，
整理可得：sinAcosB﹣cosAsinB=sinCcosA﹣cosCsinA，
既有：sin（A﹣B）=sin（C﹣A），
∴A﹣B=C﹣A或A﹣B+C﹣A=π（不合题意，舍去），
即2A=B+C，又A+B+C=π
∴A=．
（2）由a2=b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2﹣bc=9，
即：（b+c）2﹣3bc=9，
所以bc=，
解得b+c≤6，
当且仅当b=c=3时，b+c有最大值6．
点评： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2，AP=PC=CB=2．
（1）求证：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．
考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）通过已知条件，可得AC2=PA2+PC2，进而可得AP⊥平面PBC；
（2）在平面APC内作PQ⊥AC于Q、过Q作QR⊥AB于R，连结PR，则∠PRQ即为二面角P﹣AB﹣C的平面角，计算即可．
解答： （1）证明：∵BC⊥平面APC，AC、AP⊂平面APC，
∴BC⊥AP，BC⊥AC，
∵AB=2，CB=2，∴AC=2，
又∵AP=PC=2，∴AC2=PA2+PC2，故AP⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴AP⊥平面PBC；
（2）解：∵BC⊥平面APC，∴平面APC⊥平面ABC，
在平面APC内作PQ⊥AC于Q，则PQ⊥平面ABC，
过Q作QR⊥AB于R，连结PR，则∠PRQ即为二面角P﹣AB﹣C的平面角，
在RT△APC中，PQ=，
在RT△ABC中，QR=，
故，
从而二面角P﹣AB﹣C的大小为．[来源:学科网]
点评： 本题考查线面垂直的判定定理，二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．
（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），求实数m，n的值．
考点： 并集及其运算．
专题： 集合．
分析： （Ⅰ）若a=b=2c，解方程即可求集合B；
（Ⅱ）根据A∪B={0，m，n}，则0∈A∪B，讨论0与集合A．B的关系即可得到结论．
解答： 解：（Ⅰ）∵a=b=2c≠0，
∴由f（x）=cx+a得ax2+bx+c=cx+a，
即2cx2+2cx+c=cx+2c，
得2cx2+cx﹣c=0，即2x2+x﹣1=0，
解得x=﹣1或x=，即B={﹣1，}
（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），
则①当0∈A，0∈B时，即a=b=c，则不符号题意．
②当0∈A，0∉B时，即a≠c，b=c，
则A={0，}，B={}，
则此时必有c=0，则m=﹣1，n=1．
③当0∉A，0∈B时，即a=c，b≠c，即B={0，}，
由cx2+bx+c=cx+b得cx2+（b﹣c）x+c﹣b=0，
∵b≠c，∴∉A，
则判别式△=（b﹣c）2﹣4c（c﹣b）=0，
解得b=﹣3c，解得m=2，n=4，
综上m=﹣1，n=1．或m=2，n=4．
点评： 本题主要考查集合的基本运算，利用一元二次方程的性质是解决本题的关键．
19．如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：[来源:学科网] 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）确定2a=4，2c=2，求出b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，利用韦达定理，结合|CM|=|DN|，求出m的范围，再求的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）因为2a=4，2c=2，
所以a=2，c=，
所以b=1，
所以椭圆E的方程为；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k2+1）x2+x8mk+4m2﹣4=0．
设D（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，
又M（﹣，0），N（0，m），
由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN，所以﹣=﹣，所以k=（k＞0）．
所以x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2．
因为直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），
所以﹣≤﹣2m≤且m≠0，
所以（）2=[]2=
===，
所以==﹣1﹣．
点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
20．已知数列{an}满足：a1=a∈（0，1），且0＜an+1≤an2﹣an3，设bn=（an﹣an+1）an+1
（Ⅰ）比较a1﹣a2和的大小；
（Ⅱ）求证：＞an+1；
（Ⅲ）设Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜．
考点： 数列的求和；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （I）作差a1﹣a2﹣=≥=，即可得出；
（II）由an＞0，可得．可得，＜，于是bn=（an﹣an+1）an+1＞，即，即可证明．
（III）由可得：=﹣，可得，因此Tn≤≤，利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答： （I）解：∵a1﹣a2﹣=≥=＞0，
∴a1﹣a2＞；
（II）证明：∵an＞0，∴=﹣．
∴．∵0＜an＜a1＜1，＜，
∴bn=（an﹣an+1）an+1＞，即，
∴＞•…•=＞an+1；
（III）证明：由可得：=（an﹣an+1）an+1﹣=﹣，且，＜0，
∴，
因此Tn≤≤≤
点评： 本题考查了递推式的应用、等比数列的前n项和公式、不等式的性质、“放缩法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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