季节性水准测量的最小二乘平差

季节性水准测量的最小二乘平差 暮雄{连知部彖,哮寺法 一 舛季节性水准测量的最小二乘平差 P?4 删亚] /4Nyar 见 baAnartg , a 4/4/钳彳’/珥见力,j,【摘蔓1在1988年10H~1989年9月一年色列北部(海法港东北)的儿 个控毒{点的车节性垂直位移进行7研究.本文的目的在于J}I色列t部的若干水; 环作为例子,叶各种水准测量平差方法,即传统的最小方差估计,自由同平差法和 最小:秉配置法之间的数学等价性进行比较.结果表明,自由同平差法与最小:秉 配置法Lsc)之问浸有显着的区别.用自由同平差法和条件平差法计 算的水堆点之 问的高差相同,但高程不同.尽管LSC方法较为蔓杂和费时,但它验证 了基岩上点 的稳定性和高压极上点的垂直位移.因此,自由同平差法或法都可用 于精密水 准测量的数据处理. 溉述. 对水准踏量的不特值可以采用兰种平差 方法,即 1,条件呼差法’ 2,自由网平差法’ 3,最小二乘配置法(LsC). 其中,后两种方法更受重视.如图1所 示的水准网,点261A,4835和755A为基本 水准点,91NB瓤1166为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 水准点.其余 均为高压电极上的螺栓垒薛分为四个水准 观测期,除了第一期为三个目台环外,其余 每期均为四午环.第四环是由于怀疑第三环 有系统误差丽布设的.不符值限值为,lmm i.k为两水准点之间的距离(以km计). 水准环被季节性地测量,观测时间为t第一 期}夏季,1988.10.18,1988.11.23’第二 期I冬季,1989.1.23~1989.2.17,第三 期l春季,1989.3.22~1989.6.6’第四期: 夏季,1989.9.14~1989.9.27. 各水准环的长度为:第一环2.63km, 第二环2.21kin,第三环2.49kin,第四环1.79 km,环绕垒网的单程水准路线总长为8.4krn. 18 备环均用双程水准观铡.观铡中使用配有平 行玻璃板测微器的水准仪,还使用了差座和 因瓦标尺.根据测区酌l堍形单均挽线长为 26m,沿公路干线和铁路翁遵循测量环闭 合差的范围在0.2mm,5铷l之间., 图1水准网 条件平墓法 条件法平羞的一般情形,最初不考虑基 准,条件式为:’ 矗:一?(1) 式中,矗为条件方程式的设计矩阵,秩等于 ,为改正数向量或高差1酌_拽差向量,?为 环的闭合差向量.平差中包含14条观测线 )和11个控制点(“) 单位权方差按下式计算; o;=?(P)(2) 这里,条件数;:4,P为权矩阵. 自由网平差法 在水准测量中运用自由网平差,不仅是 为了研究位于基岩上的控制点(点261A, 4835和755A)的稳定性,而且可以检验观测 值.. 对外业数据作自由网平差的法方程系数 是奇异的,因此,需要选择一个水准点,即 755A作为计算的基准亏缺.一种用于这类 平差的数学方法已由Perelmuter(1979), Papo和Perelmuter(1982)建立.它是将观测 值表示为参数的函数,观测方程为; L=AX—(3) 式中,A为观测方程的设计矩阵,L为观测 值向量,x为高程近似值的改正数向量,为 残差向量,观测值数=14,待求的参数(控 制点个数)”=11.’ 由于观测值系统的基准亏缺,高差观测 值和l1个待估参数是不可估量.因此,平差 中必须提出如下两个假设t 1,除基准亏缺外,网的几何图形应该 没有形亏(Welsch,1979), 2,观测值数目应该多于待估参数的数 目,即n>(“一d)(Papo1985),d为绮束 方程的个数. 就本网而言,向量x分解为X-和lx”其 维数分别是(“一d)=10和(d)=1,A矩阵 也作相应分块,因此有 L:AiXl+A2X2一(4) 式(4)的分块不是唯一的,只要分解 后保持A为(“一d)满秩. 为了对式(4)求解,需要列出满足条 件VPV=rain的(x,2)的方法程式. 因此,矩阵分块后建立了以下方法程式t (APA)x+(ATpA2)x一(ATPL)=0 (5) (APA.)x+(ATPA2)xj一(AP工)=0 (6) 式(5)和式(6)可简写为, NIlXl+N_?X2一W1=0(7) N?lx1+N2?x2一W}=0(8) 式(4)的最小方差解缸在引入d=1 个独立约束时才能得到.自由网约束条件的 , 般形式是解向量x必须满足x’P.x=rain (Perelmuter1979jPapo19, 85),此处 . rP1lPl21 P=fI(9) LP?IP,2J 其中,P为x的先验权矩阵,PIl为与 所存控制点有关的10×10矩阵,P为与 755A(基准亏缺)有关的1×1矩阵,P2 和P-为零矩阵.单位权方差为 害(10)丽丁(1o) 根据单位权方差和观测值的法赢程矩脖,可 得出每期控制点的方差t R=N一on1) ?Ib=曩配置法(LsC) 配置的主要目的是预计信号量.信号是 可变物理量的分量.噪声是测量误差中不受 累统误差影响的部分..- 般情琬下,观测值和参数的关系式为 L=AX+Bs一,(12) 0=s+n(13) 式中为噪声或对观澍值的改正数IB为由所 有A矩阵合并的设计矩阵(包括各期的设计 矩阵),为参数先验估计的误差向量,L, A,x已如前文定义.因此,观测量L包含一 个系统部分AX和两个随机部分Bs,V.令z =Bs—v,可得l Z=L—AX(14) 中,z代表”中心化即减去其平均值 后的观涣4值,也就是观测值的纯随机部分 19 (Moritz1972). ., 方蔓一协方蔓蜓阵 如果设C为观测闭合差的协方差矩阵; Css为信号的协方差lC.为信号和观测值 的交互协方差,R为观测值协方差,可得出 向量s和L的方差,协方差阵0t rssCsL1 口=JI(16) LcLsCLLJ CsL=Cov(s,L)=F{[s—E(s)][L— EcL)])=EsL=EEs(Bs—v] =El-s(sXB一)]:EEssZB一s] = EE()B一(s)] =E(ssT)8一E(s)=CssB一0 =CssB(16) 同a,同 时根据经验检验得出它们最佳拟台值为0.1. 控制点信号的标准差由E;的对角元素 的平方根给出.最小二乘配置的一个缺点是 它需要估计信号的协方差矩阵Cov(S,s). 由于它对S和Ess的结果有影响,因此,在取 其估值时要加以注意. 统计检验 用F检验对水准测量网的残差作统计分 析(95置信区间),以研究各条路线误差 分布.计算统计量F.:o:/a:,此处o为路 线之间的方差,o;为路线内部的方差.将F. 与临界值Fc比较,由表l可见,F.>Fc. 在所有四期中的检验均失败了,这说明在水 准路线中存在系统误差.这可能是由于在夏 季有折光差影响,而在其它季节则因阴天, 暴雨,以及其它因素导致三角架和基座垂直 位移. 几种平墓方法的比较 寰l方差检验 将自由网平差法与条件平差法进行比- 分析 寰2水准点膏程(权P.l/L) 条件平差按自由网分期平差自由网 平差水准点(平均) 第2期第3期第4期(平蛐配置法第l期 (mm)(mm)(mm)(ram).(mm)(盯un)(ram) (1)(2)-(3)(4)(5)(6j.(7)强.8) 261A5,229.85,234.45,232.35,233.65,234.25,233.65,233.7 48359,728.19,730.29,731.19,732.69,728.59,730.69,730.7 755A30,000. 030,001.330,002.529,g99730,003.230,001o73O,?1.5 HT33,218.43,223.13,220.23,217.43,208.83,217.43221oq HT125,902.95.903.55.906.15,905:75;902.15,904.4594.O HT62,539.12,535.52,541.02,539.82,533.92,537.62;537.6 HT42,960.32,959.82,962.52,964.32,957.12,960.92,961.2 91NB3,289.93,288.43,292.73,294.43,287.33,290.73,29023 HT55,634.15,622.15,635.75,633.45,625.35,629.15,629.1 HT75,699.55,702.95,700.95,703.65.702.5’~;699.8 116517,776.617,776.717,778.8l7,776.817,778.417,777.717.778.3 衰3水准点直程(杈P=1|/o) l条件平差扶自由同分期平差自由网 平差配置法水准点J(平均) 第1期第2期第3期】第4期(平均) I(iTln1)(mil1)I(ram)(ram)一(mni(ram)(ram) (1)(2)(3)l(4)(5)l(6)(7)(8) 261A5,229.85,234.45,232.45,233.65,234.25,233.65.233.8 48359,728.19,730.59,731.39,732.69,728.59,730.79,730.8 755A30,000.030,000.930,002.229,999.730,003.130,001.530,000.3 片T33,218.43,223.23,220.33,217.53,208.83,217.53,221.1 HTl25,902.95,903.65,906.35,905.75,902.15,904.45,904.2 HT62,539.12,535.62,541.02,540.02,533.92,537.62,537”.7 HT42,960.32,959.92,962.52,961.42,957.12,961.02,961.3 9lN日3,289.93,288.53,292.83,294.33,287.33,290.73,290.5 HT55,634.15,622.35,635.75,633.55,625.35,629.25,629.2 HT7&,699.55,703.15,700.95,703.65,702.55,699.7 11651’罩76.617,776.717,778.517,776.817,778.317,777.617.778.2 较,发现它们对观测值的改正数相同,仅在 高程方面有差别,因此二者没有显着差异. 对表2和表3盼结果进行比较可看出所 有控制点在每个季节性观谢期间的高程变 化.两表中的高程以mill为单位,其中表2 用控制点问的距离定权(1/r.),而表3按 两控制点之间高差测量的平均方差定叔 (1/a).由两种平差方法所得控制点的高 程之间的差异与术准测量的标准差相比并非 垒都显着,这里按距离定权和按平均方差定 权肘的标准差分别为2mm和1.63ram.四期 中的每一期的高程甩自由阿平差法求出,求 解时均使用高程近似值.如前所述,755A 是基准亏缺,但它并不固定.最初任意令其 高程为3OJrI,以确定其它点的近似高程.将 这些近似高程甩于计算各种平差方法的高程 估值,这样就可以检测任意点的任何季节性 垂直位移. 每种平差法中,按两种定权方法求解的 最大差值为1.2ram,最小差值为0.1mm由 表2和表3可见,当权定为p=I/L和P= 22 /a:时,自由网法与最小二乘配置法之间的 最大差值分别为3.6ram和3.5ram(HTs), 最小值为0.1mm.条件平差法与自由网法 i平均值)之间有明显差异,而自由网法与 最小二乘配置法剐基本上相同. 自由网法和最小二乘配置法中由控制点 协方差矩阵求得的标准差见表4(按P=I/L 定权),表中只列出了自由网法平差的第1 期,而最小二乘配置法的第l期贝f』由E (式27)计算.水准网的标准差为2ram. 点261A,4835和755A系基岩上的水准点, 它们的标准差约为0.3ram,远远小于水准网 的标准差,因此基岩上的水准点比较稳定. 面象HT和Ht.这样的水准点,其标准差达 6.5ram可见这些点不可靠. 在表s中表示出各控制点上作为可变物 理量的信号值,以mm为单位.表中的数字 表明了在第1,2,3,4期各控制点的信 号正值增大而负值减小,表中还列出了相应 的标准差信号和标准差_分别用Sj和u表 示.倒如HT5点,其信号值在第l期(1988 表4水准点的标准差 术准点自由网法(mm)最小二乘配置法(mm) (1)(2)(3) 261A0.30.2 HT31.51.6 HT121.91.7 HT66.56.2 HTd1.82.1 9lNB1.2l_3 48350.30.2 HT56.56.2 11651.92.1 HT70.60.8 755 .30.3 表5’水准点信号 1988年夏季1989年冬季1989年春季1989年夏季 水准点信号信号;信号信号 (mm)Ud(ram)!Ud(ram)【,d(ram)Ud (1)(2)(3)(4)I(5)(6)(7)(8)(9) 261A+O.50.8—1.00.8一O.30.81+0.BO.8 1 ,1835—0.10.8—0.10.8+1.20.7一1.10.7 _ 755A+0.I0.8+0.10.8—1.60.B+1.50.8 片T3+2. 61.4—0.31.4,一3.41.6r一10.91.6 片T6一3.32.5+1.82.5q-0.52.5—4.22.5 片T4—0.81.4+0.91.4+2.71.5】一3.01.5 9tNB一l1.4+1.71.4+3.21.5l一2.31.5 H1’S一6.-52.5+5.92.5I+4.22.4l一3.42.4 1165—0.41.40.41.4I一0.61.6l+0.81.6 年夏季)为一6.5ram,在第2期(1989年冬 季)为5.9ram,在第3期(1989年春季)为 4.2ram,在第4期(1989年夏季)为一3k4 mm,这说明该点在夏季下降,在冬季和春 季上升,又在夏季下降.第2期(冬季)相 对于第l期(夏季)有12.4ram的上升,而 第3期(春季)相对于第2期有1.7ram的下 降.点/’iT.在第1期C夏季)也有2.8枷的 上升,在第2期(冬季)下降了?O.3tn|II, 这表明相对于1988年的夏季观测期下降了 一 2.9ram. 如果我们把基岩上的水准点,例如4拈5 与高压极上的水准点作个比较,可以看出水 准点4835的信号值为一0.1ram,一0.1ram, 23 表6 1988年夏季 (mm) 水准点 (1)l(2) 自由嘲法与LSC结果之差 l989年冬季广l989年春季l989年夏季 (mm)l(mm)(mm) :(3)l(4)(5) +1.2mm,一1.lmm,标准差为0.O.8, 0.7和O.7jH的信号值为一6.5ram,+.9 证m,+4.2ran),3.4ram’,标薄差为2.5, 2.5,2.4,2.4.但水准网的标准差为2mm. 因此,高压极上的水准点不可靠.表中没有 包括HT,和H点的信号值,因为它们是 “传递点”(中间水准点),在计算控制点 的季节性位移时无用.将表S中]988年夏季 ?一期)的信号值加上用最小二乘配置法求 出的平均高程(表2)就得出第1期的平 差后高程.对另外3期可作相同的处理.表 6列出了用自由网平差法和最小二乘配置法 求出的每一期的高程差值通过比较可知它 们没有显着差异. 结论 ? 尽管几乎所有位于高压极上的控制点都一 是不稳定的,但自由网差海和最小二乘配 置法得出_几乎树等的结果表明了平差方法中 的某些致怪?这就是说用这两种勇之一 进行精密水准测量平差较为方便. , . 1 24 位于基岩上控制点(2’61A-;483”5和755A) 雕信号值验证了这些点的稳定性.任意一点 髓垂直位移,饲如赢胛往自由向平差法中 也可检测出来.将某期的信号与最小乘配 置法得出的高程估值相加,便可以得到各期 的高程估值. 尽管在计算中可能得出没有明显差异的 高差和残差值,但是用自由网平差法求出的 高程和用条件平蕃法求出的高程具有不嗣的 意义,因为自由网法存在基准亏缺., 将每一期用自由嗣法和最小二乘配置法 计算的控制点高程估值加以比较,就会发现 两者之间没有显着差别.不论用1/L或1~o: 定权,都能对高程估值和信号得出橱佩的站 果., 参囊文礅(略),,一 辑千东译自j|目《蔫-工程》9t 第2期.. …..一 ? 聱r先进棱.’.