【doc】内含报酬率求解的一种计算机
方法
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——牛顿迭代法
内含报酬率求解的一种计算机方法——牛
顿迭代法
1
f.,
1997年12月
第15卷第4期
长沙铁道学院
JOURNAIOFCHANGSHARA1LWAYUN1VERSITY -'~-4
DeC.1997
内含报酬率求解的一种
计算机方法牛顿迭代法
汤盎易堕
({乏抄铁道学院经营院.怔社.{:0075)
摘要本文根据求解内合报酬率的非线性模型.运用牛顿送代法的逼近原理,在计算机
上可以迅速精确地求出给定误差范围内的内含报酬率.
关键词内含报酬率4-顿迭代法净现金流量给误差.,?
分类号TB114.1,二——,
AealculationMeodvComputerforFinding
Newton'SIterativeMethod InherentPaymentrate——
7nngDaiyanYiKmttmH
(EconomicandManagementCollege,ChangshaRai[wayUniversiW.Changsha.410075)
Abstract
Keywords
Inthispaper,accordingrothenonlinearfunctionmodelandbyapplyingthe
approachprincipleofNewton'sInterativemethod.inherentpaymentraleof
businesscanbefoundquicklyandpreciselybymeansofcomputeringiven
arithmeticerror.
inherentpaymentrate,Newton'Siterativemethod,netflowofcash.arith-
meticerrorgiven
内含报酬率亦称内部收益率或内部报酬率.它是指能使投资项目的净现值等于零的折现
率.这是长期投资决策中的一个主要评价指标,也是工程项目可行性研究中应考虑的重要因
素.目前,有关教科书和研究文献中大都采用线性解法求得,如线性插值法…,线I生
图解
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法
等.用这类方法求得的内含报酬率存在以下问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
;
(1)传统的方法为试探法和近似法,计算步骤繁复,工作量大.
(2)由于求解内含报酬率的数学模型不是线性函数模型而是非线I生模型用线性解法计算
内含报酬率不但在理论上存在一定问题,其计算结果也会出现一定误差. (0)不能在给定的误差范围内直接求出比较精确的内含报酬率. 因此.研究比较精确有效的算法和应用比较先进的计饽手段无论在理论上和应用上部有
收稿阿蚓I906_--6一怍暂涌『t焱哥.3鞋授
*本院数力系
第4期汤代焱等:内舍报酬率求解的一种计算机方法——牛顿迭代法101 重要意义.特别是在当今计算机得到广泛应用的情况下,手工算法在很大程度上失去了实际
应用价值本文根据内含报酬率计算式的非线性函数特点,采用牛顿选代法在计算机上求解,
克服了传统算法的不足之处,其结果精确,运算迅速,易于操作. 1牛顿迭代法的计算原理
设有一个长期投资项目,其初投资额为R元,建设期为零,使用寿命为年.投产后每
年
净现金流量分别为.,n一元.刚求内含报酬率的数学表达式为: ?P【净现值)一一R__号一+…一一0(1) 对于给定的常数m(一1,2,…,)及R,(.可正可负)要求出内含报酬率%,使之满足方程
(1)
为解方程(1),令=,将(1)式改写为
厂()=一R+d5F+d十…+d.:0(2)
则问题变为求方程(2)的根.
牛顿选代法求解方程(2)的基本原理是:
(1)选一个接近f)的真实根.的近似根(.称为初始选代值). (2)通过求出,(),在几伺图上就是作交,()于f(x),见图1. (3)通过f(x)作f(x)的切线交轴于,由于
,f.):盟
】一Z?
故可由下面
公式
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求出32"
f(x1).
2一而
(4)通过35"!求出,(z)
(j)再通过,(z)作,)的切线交轴于..
(6)通过.作出f(x.),…,如此进行,至到接近
f(x)的真实根32".
可知,牛顿迭代法的一般公式为
f(x)
一-一而
当相邻两次求出的根之差lL一.0l?,(E为事先任意 设定的允许误差或计算精确度,如可设e:1O).亦可 fl×
./
图l
认为L.足昭接近于真实根,即得到相当精确的内含报酬,%. 计算机流程匿为图2所示.
率乃法用TRUBASIC语言编制的程序计算.语句精炼.操作简便输入给定数据和
初始
迭代值后,运行几秒钟即可打印出结果-
2关于牛顿迭代法解的讨论
用牛顿选代法求解方程(2)时,山于是高次方程.从数学角度上看方程有多解-但根
据问
题的性质.其解十分强烈地依赖给定的初始迭代值.于是?()-二0的解可能会出现
两种情形
102长沙铁道学院1997年
(】】方程f(ar)一0的解满足0<z<1(一0时, 必有一0,这是没有意义的.),此时%一一1> ,
0,若在区间(0,1】内,方程(2)的解又是唯一的,由此 得到的内含报酬率一%也是唯一的.如果方程(2)的 解满足0<<】,但不唯一,则可令初始选代值一 10,这时由牛顿选代法求解的解一定使内含报酬率 i%达最大.决策者可根据市场利率或社会平均获利 水平判断投资项目的可行程度,
(2)方程,(a-)一0的解不在(0,1)内,此时有
<0或.-T?】.由此得,%一{1?0,内含报酬率 等于零可以认为在不考虑货币时间价值的条件下(即 静态条件下)把未来的收益当作现值看待才使(1)式 成立.内舍报酬率为负时,在长期投资项目评估中没 有实际意义,因此在计算内含报酬率和评估投资项目 优劣时只要考虑l,()=0的解满足0<<1的情
况.
练上所述,在使用牛顿选代法求解内旨报酬率
时,给定初始迭代值,的步长为0.[)],在(0,1)范围
匿F=alxl~鎏a:xZ~-..+a,,x,--Ri一x.一ll
?
扣印N,x,X.
L一
1—
1
I
内搜索,再将求得的解由小到大进行排列,其最小值所对应的内含报酬率即为所求,若求得的
解不在(O】)区间内,则打印内含报酬率为负,即该长期投资项目无实际意义,总之,该标法程
序在搜索过程中可以自动判断(O.】】区间内是否有解即是否存在大于零的内含报酬率,因而
保证了计算的准确性
显然,本方法通过程序控制和对解的约束不但适用于,>0的情形,同样适用于,<0的
情形,对于一次和多次(分期)投资均可在设定的允许误差范围内求出内含报酬率.与目前采
用的线I生解法相比,算法理论科学严密,计算结果也足够精确.不失为求解内舍报酬率的通用
方法.
3实例计算
算倒]某长期投资项目,其原始投资一次投入1500万元,根据
资料
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显示,近三年的现金
净流入量分别为900万元,600万元和500万元,求内含报酬率. 解:该问题的数学表达式为
NI一o+++=o
文献[2]中用线性图解法求得的,%:l7.0%(计算过程略,下犀).用牛顿迭代法编制计 算机程序上机.输入t=3一900.一600,d=500,=l500,,一]0(培定的/tm)的 误差).初始值=0,2,运行一秒钟,输出结果为i%=17.9%
算例2设某企业拟购买设备一台,买价为20000元,可用5年,年现金净流量为5000元
6000元,8000元,10000元和12000元,试求内含报酬率.
一
第4期溺代焱等:内含报酬率求解的一种计算机方法牛顿迭代涪l03 解:文献[】]运用线性内插法,经过几次试算,得i%一24.9%. 用牛顿迭代法在计算机上输入d.及R和,(,一10),运算2秒钟得出%=24.92% 算例3某项目各年净现金流量如下:
年末
净现金流量
01
】0060
2
50
34
200150
解:输入一3,d『=60,d:=50,3=一200,日{一150,d=100,R一100,,=10,运行 一
秒钟,输出结果为%=12.974]%.
从上述计算结果可知.虽然用牛顿迭代法与用线性解法所得的结果误差不十分大,但对于
巨额投资的工程建设项目,内含报酬率的微小差异也会造成净现值绝对数的人差异,加上现
金流量预测值的偏离,甚至会掩盖投资效益的真实性.
此外.本方法还可进行投资项目的随机模拟.如设"=50.r,…,和尺由计算机模拟 给定.计算机都能在2秒钟内给出项目可行性情况的准确答复.限于篇幅,不作赘述 参考文献
1曹惠民主编.管理会计.上海社科院出版社,1994
2潘飞.求解内含报酬率的数学摸型.会计研究.1996(6) 3钱颂迪主编.运筹学.清华大学出版社,1991