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欧拉公式及其应用.doc

欧拉公式及其应用

爱你都是为了疼你
2017-09-05 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《欧拉公式及其应用doc》,可适用于职业岗位领域

欧拉公式及其应用i,摘要:本文用极限方法证明了欧拉公式并e,cos,isin,指出了它的一些应用。i,年欧拉在其著作中陈述出公式:(为e,cos,isin,,任意实数为虚数单位)欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算i中有着广泛的应用它将定义和形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。简单说明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用从而简化了常规方法的烦杂。在高等数学教学中把棣美其名曰弗公式和二项式定理结合使用可以解决用正弦或余弦表示大倍角的正弦和余弦等问题。公式的证明欧拉公式的证明有各种不同的方法好多《复变函数论》教科书上是以复幂级数为工具定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的。这里我们采用极限法给予证明。,n证明令(,,R,n,N)。f(z),(i)n首先证明。limf(z),cos,isin,n,,,,n因为arg(ii),narctg()。nnn,,,,n(i),(i)cos(narctg)isin(narctg)所以。nnnnn,,,,niinarctginarctglim(),lim()cos()sin()从而,,,,nnnnnnn,,()P(i)令,则nnn,P。ln,ln()nn把视为连续变量由洛必达法则有,,n,,,,limlnP,limln(),lim,n,,,,,,n,,,即。limP,e,n,,n,,arctg(),,n,,,,limliminarctg(ii)令则。,arg(),,nnn,,,,nn,,n故。书()limf(z),lim(i),cos,isin,,,,,nnni,其次证明。limf(z),e,,n,nln(i),,,nn(i),e因为为的主值表ln(i)ln(i)nnn,,,,,,,n,,,,nlnilnargi,,nlni,,,,,,,nnn,,,,,,limi,lime,lime所以,,n,,n,,n,,n,,,,limnlni,而limnarg(i),n,,n,,nn,ni,故()。limf(z),lim(i),e,,,,nnni,由()()便得:(证毕)e,cos,isin,公式的桥梁作用于纯虚指数值可以通过的三角函数值来计算,i,,ie,cosisin,i例如:,,e,cosisin,,,,i,ei,cosisin,,i,e,cos,isin,,,k,ie,cosk,isink,,(k,,,,,,?)由欧拉公式可以看出,在复数域内,指数函数是周期函数,,i具有基本周期任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示,从而通过指数函数来研究三角函数的性质,i,在欧拉公式中用代,则得e,cos,,isin,,,,,,i,i,ee,,icos,,,,,,ecosisin,由得,,i,,i,,i,ee,,,ecos,isin,,,,sin,,,由上式容易看出正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数引出复数的指数表示法,从而使复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式便于我们酌情使用。i,z,xyi,r(cos,isin,),re如图有:并由此看出复数指数表示是不含加、减运算的紧凑写法便于求对数。公式应用举例(转轴变换ox如图设分别为复平面上的实轴和虚轴将坐标轴沿着原oyox,oy点O依逆时针方向旋转角分别到达的位置平面与,,ox,oyxoyxoyZ平面分别简称Z平面平面。,即当把它看设Z平面上任一点z的模为r>幅角为z,re,ZZ作时同图知的幅角是模仍为r,,,(,,,)ii,,wi,wii,z,re,re,e,zez,ze所以即这就是同一复数在平面ZZ和上表示式的互算公式。z,xyiZ设,是同一复数在和平面上的代数式,将它z,xyiZ们代入上式,并注意使用欧拉公式,xyi,(xyi)(cos,isin,),(xcos,,ysin,)i(xsin,ycos,)有利用复数相等的定义,得出:,,,,xxcosysin,,y,xsin,ycos,,这就是平面解析几何的转轴公式解决一些议程根的问题cos(narccost),(n,,,,?)例证明方程至多有n个根,,,,证明令,设,cos,,tln,nn则,,sin,,,te,(cos,isin,),(ti,t)那么:ncosn,cos(narccost),Re(ti,t),nn,n,,tCt(t,)Ct(t,)?nn故是关于t的n次多项式,所以同代数学基本定理知:cos(narccost)方程至多有n个根cos(narccost),a,a,?a例设都是实常数,是实变数,,n若,和,是方程f,(),sin(a,)sin(a,)?sin(a,),nn,的两个根(其中,和,不全为零)证明:,,,,k,(k为整数)f(,),iaiaiaiaiaia(,),(,)(,),(,)(,),(,)nneeeeee,,,f(),,?证明niiiia,iaiaia,ia,ianneeeeee,i,i,,,i(?)ei(?)enniaiaianeee,(),,i?令,niaiaia,,,neee,,(?)ini,,i,,e,e,则f(,),化为由三角不等式知iaiaiaiaiaianneeeeee,,?,,,?,nn,,,?,,,nn,,所以复常数,同理复常数,,,,,f(,),,又分别满足方程即i,,i,f(,),,e,e,,i,,i,f(,),,e,e,,,i,iee()()i,,,,i,,,e,e,isin(,,,),可见行列式=,从而必存在i,,i,ee整数k使,,,,k,探求一些复杂的三角关系式例利用欧拉公式大降幂正弦大降幂:ix,ix,eesinx,()iixix,ix,ix,ix,e,e,ee,e(i)ix,ixix,ixe,ee,e,,,,(sinx,sinx)ii(i)(i)ix,ixe,esinx,()iixix,ixx,xix,ix,ix,e,e,ee,e,e,ee(i),cosx,cosx,(i)ix,ixe,esinx,()iixix,ixix,ixis,ixix,ix,ix,e,e,ee,e,e,ee,e,e(i),sinx,sinxsinx(i)综上:正弦大降幂规则如下()括号前的系数视n的奇偶而定当n=m时系数为m(i)当n=m时系数为m(i)了()括号内符号正负相同,()当n=m时括号内各项均为余弦,依次为cosmxm,mCcos(m,)x?Ccosx,当n=m时,括号内各项均为正弦,Cmmmm,Csin(m,)xCsin(m,)x?Csinx依次为,,,,sin(m)xmmmmCsinxmnn例试把和分别表示,的线cos,,cos,,?,cosn,cos,sin,性组合,,,iinee,,nnki(nk)cos,,(),Ce解,注意到,nn,knn,,,ki(n,k)m,(n,k)Ce,Ce,得到,,nnk,nm,n,,nnki(n,k),i(n,k)cos,,CC(ee),故有,nnnk,n,nnkcos,,CCcos(n,k),(),nnnk,,在()中用,,代得,n,nnn,kksin,,,C(,)Ccos(n,k),(,nnnk,由以上不难看出如果不借复指数这一工具而试图通过纯三角运算直接领导这些关系式乃是相当麻烦的甚至是很困难的(结束语三角级数求和是一个复杂的问题本文的方法奇谈怪论是利用欧拉公式化三角级数求和为指数函数求和,利用等比级数求出指数函数的和,最后再分离出实部、虚部可一次求出两个三角级数的和这是本法优点本法中用到的欧拉公式,在中学范围内无法证明,这是本方法的一个不足之处参考文献,钟玉泉编(复变函数(第,版)(北京:高等教育出版社,陈友权、蒋绍惠编。解析函数论基础(北京:北京师范大学出版社

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